Sistemas de Equações Lineares (Mara Freire)
2 pág.

Sistemas de Equações Lineares (Mara Freire)


DisciplinaGeometria Analítica11.712 materiais349.261 seguidores
Pré-visualização2 páginas
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 22

4- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

4.1- EQUAÇÃO LINEAR

Def.: É uma equação da forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b

onde x1, x2, x3, . . ., xn são as variáveis, a1, a2, a3, . . ., an são os respectivos coeficientes das variáveis
e b é o termo independente.

4.2- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Def.: Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações
do tipo:

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f3

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f2

\uf8f1

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa
bxaxaxa

L

M

L

L

2211

22222121

11212111

 Podemos escrever o sistema numa forma matricial:

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

=

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

\u22c5

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

mnmnmm

n

n

b

b
b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

MM

L

MMM

K

K

2

1

2

1

21

22221

11211

ou, simplesmente na forma: A · X = B

onde A representa a matriz dos coeficientes, X representa a matriz das incógnitas e B representa a
matriz dos termos independentes.

 Também podemos associar o sistema à matriz

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

mmnmm

n

n

b

b
b

aaa

aaa

aaa

M

L

MMM

K

K

2

1

21

22221

11211

chamada de matriz ampliada do sistema.

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 23

4.3- SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

 São os valores das variáveis que satisfazem a todas as equações do sistema. Esses valores
são denominados raízes do sistema de equações lineares.

4.4- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

 4.4.1- Sistema Possível ou Compatível

 Um sistema é considerado possível ou compatível quando admite solução.

 4.4.1.1- Sistema Determinado

 Def.: É o sistema que admite uma única solução.

Ex.: Resolver o sistema
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=+

=+

2543
1832

yx
yx

4.4.1.2- Sistema Indeterminado

 Def.: É o sistema que admite mais de uma solução, ou seja, infinitas soluções.

Ex.: Resolver o sistema
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=+

=+

20048
10024

yx
yx

 4.4.2- Sistema Impossível ou Incompatível

 Def.: É o sistema de equações lineares que não admite solução.

 Ex.: Resolver o sistema
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=+

=+

1593
1293

yx
yx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 24

4.5- SISTEMAS EQUIVALENTES

Def.: Dois sistemas são equivalentes quando admitem a mesma solução.

Ex.: Resolver os sistemas:

a)
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=\u2212

=+

1242
4263

yx
yx

 b)
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=\u2212

=+

62
142

yx
yx

Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam
nele as operações elementares.

4.6- SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Def.: É o sistema de equações lineares que contém todos os termos independentes nulos.

Ex.:

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f3

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f2

\uf8f1

=\u2212+

=\u2212+

=+\u2212

=\u2212\u2212

0839
0583
0427
0352

zyx
zyx
zyx
zyx

 Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução, a solução nula, essa solução é
chamada de solução trivial.
 Qualquer outro sistema que não seja homogêneo é denominado sistema não-homogêneo.

Ex.: Resolver o sistema homogêneo de 3 equações com 3 variáveis.

\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

=+\u2212

=\u2212\u2212

=\u2212\u2212

0311
0111
0431

zyx
zyx
zyx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 25

4.7- ESTUDO E SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

 4.7.1- Sistema de n Equações Lineares com n variáveis.

 4.7.1.1- Regra de Cramer

 Para resolver a equação do sistema A.X = B, primeiramente suponhamos que
det A \u2260 0, sendo assim A admite inversa A-1. Então

(A-1)A.X = A-1B
(A-1.A).X = A-1B

InX = A-1.B
X = A-1.B

logo, para se resolver o sistema pela Regra de Cramer, basta encontrar a inversa de A
e multiplicar a inversa por B.

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

\u22c5

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

=

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee
\u2212

nnnnn

n

n

n b

b
b

aaa

aaa

aaa

x

x

x

M

L

MMM

K

K

M

2

1
1

21

22221

11211

2

1

Usando o método de calcular a matriz inversa, utilizando a matriz adj A, vem:

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

\u22c5

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

\u2206\u2206\u2206

\u2206\u2206\u2206
\u2206\u2206\u2206

=

\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9

\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef

\uf8f0

\uf8ee

nnnnn

n

n

n b

b
b

x

x

x

M

L

MMM

K

K

M

2

1

21

22221

11211

2

1

det
1

A

portanto,

Adet
1111

1
nnbbx \u2206++\u2206= K

Observe que o numerador desta fração é igual ao determinante da matriz dos
cofatores de A, substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes.
Sendo assim, pelo desenvolvimento de Laplace, temos:

1111

2

1121

nn

nnnn

n

bb
aab

aab
\u2206++\u2206= K

L

MMM

K

ou seja,

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 26

nnnn

n

nnnn

n

aaa

aaa

aab

aab

x

L

MMM

K

L

MMM

K

21

11211

2

1121

1 =

Assim para obter xi, basta substituir na matriz do numerador a i-ésima coluna pela
coluna dos termos independentes.

Ex.: Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas abaixo, resolva o mesmo utilizando
a Regra de Cramer.

\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

=\u2212

=+

=+\u2212

02
53
1732

zy
zx

zyx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 27

 4.7.1.2- Método de Gauss-Jordan

 Este método é desenvolvido da seguinte forma:

1- Coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes a matriz coluna dos termos
independentes, separada por um traço vertical.

2- Por meio de operações elementares transforma-se a matriz dos coeficientes na
matriz unidade (ou identidade).

3- Transformada a matriz dos coeficientes na matriz unidade a matriz dos termos
independentes ficará transformada, na solução do sistema.

Ex.: Resolver o sistema

\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

\u2212=++

=++

=++

12352
4224
8312

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 28

4.7.2- Sistema de m Equações Lineares com n Variáveis.

 O método para se resolver um sistema de m equações lineares com n variáveis é
semelhante ao método de Gauss-Jordan, com a diferença de que a matriz dos coeficientes
não pode ser transformada na matriz-unidade,