Sistemas de Equações Lineares (Mara Freire)
2 pág.

Sistemas de Equações Lineares (Mara Freire)


DisciplinaGeometria Analítica11.774 materiais351.163 seguidores
Pré-visualização2 páginas
porque ela é uma matriz retangular.
Entretanto o procedimento inicial é o mesmo.

Exemplos:

1- Resolver o sistema de 3 equações com 2 variáveis:

\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

=\u2212

=\u2212

=+

3410
425

1642

21

21

21

xx

xx

xx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 29

2- Resolver o sistema de 4 equações com 2 variáveis:

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f3

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f2

\uf8f1

\u2212=\u2212

=+

=\u2212

=+

754
913
425

1642

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 30

3- Resolver o sistema de 2 equações com 4 variáveis:

\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=++\u2212

=++\u2212

1904252144
84182482

4321

4321

xxxx

xxxx

4.7.3- Sistema de Equações Lineares Homogêneo.

 O método para se resolver esse sistema é o mesmo utilizado para resolver um sistema
de m equações com n variáveis e as soluções encontradas, caso não seja a trivial, são
denominadas soluções próprias.

 Ex.: Resolver o sistema linear homogêneo de 2 equações com 3 variáveis:

\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=\u2212+

=\u2212+

0642
0963

321

321

xxx

xxx

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 31

4.8- CARACTERÍSTICA (ou POSTO) DE UMA MATRIZ

 4.8.1- Característica da Matriz Ampliada do Sistema - Ca

 Def.: É o número de linhas com elementos não todos nulos da matriz escalonada.

 Ex.: No exemplo 1 (pág. 28), Ca = 3.

 4.8.2- Característica da Matriz dos Coeficientes das Variáveis - Cv

 Def.: É o número de linhas com elementos não todos nulos da matriz dos coeficientes das
variáveis, e se representa por Cv.

 Ex.: No exemplo 1 (pág. 28), Cv = 2.

 No exemplo 1, temos um sistema com 3 equações e 2 variáveis e Ca > Cv. Nesse
caso, o sistema é impossível: a última linha é dada por 0x1 + 0x2 = -5 que não é satisfeita
para nenhum valor de x1 e de x2.

 No exemplo 2, temos um sistema com 4 equações e 2 variáveis e Ca = Cv = 2. Nesse
caso, o sistema é possível e determinado, e x1 = 2 e x2 = 3.

 No exemplo 3, temos um sistema com 2 equações e 4 variáveis e Ca = Cv = 2. Nesse
caso, o sistema é possível e indeterminado, pois x1 = 86 - 20x3 - 21x4 e x2 = 11 - 2x3 - 3x4. Os
valores de x1 e x2 são obtidos atribuindo-se valores arbitrários a x3 e x4.

4.9- CARACTERÍSTICA E NÚMERO DE VARIÁVEIS \u2013 C

 Quando Ca = Cv se diz que a característica da matriz escalonada é C.

 Se Ca = Cv = C, temos um sistema possível ou compatível, no qual temos as seguintes
considerações:

1- Quando C = n, o sistema é possível e determinado, ver exemplo 2.
2- Quando C < n, o sistema é possível e indeterminado, ver exemplo 3.

4.10- GRAU DE LIBERDADE DE UM SISTEMA

Def.: É a diferença entre o número de variáveis (n) e a característica (C) de um sistema de equações
lineares, esse valor é representado pela letra g. Logo o grau de liberdade é dado por:

g = n - C

Esse valor representa o número de variáveis livres do sistema.

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire

 32

Exercícios

1- Classifique e resolva, se possível, os seguintes sistemas:

a)
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=\u2212

=\u2212

1596
432

yx
yx

b)
\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

\u2212=\u2212\u2212

\u2212=\u2212\u2212

=\u2212+

4321
4242

8523

zyx
zyx
zyx

c)
\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

\u2212=++

\u2212=\u2212\u2212

\u2212=++

3321
38423
6642

zyx
zyx
zyx

d)
\uf8f4
\uf8f3

\uf8f4
\uf8f2

\uf8f1

=\u2212\u2212

=+\u2212

=\u2212+

0244
032

0

zyx
zyx

zyx

e)
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=\u2212\u2212\u2212

=++

0639
0426

zyx
zyx

f)

\uf8f4
\uf8f4
\uf8f4

\uf8f3

\uf8f4\uf8f4
\uf8f4

\uf8f2

\uf8f1

=+

=+

=+

=+

0
2
3

4
3

03
2
3

02412
063

yx

yx

yx
yx

g)
\uf8f4
\uf8f4

\uf8f3

\uf8f4
\uf8f4

\uf8f2

\uf8f1

=++

=\u2212+

=\u2212+

=+\u2212

12
32253

112
732

zyx
zyx

zyx
zyx

h)
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

=\u2212

=+\u2212

022
2

zy
zyx

RESPOSTAS

1- a) SI; b) SPD, x = 3, y = 2, z = 1; c) SPI, x = (-41+z)/4, y = (29-13z)/8; d) SPD, x = y = z = 0; e) SPI, x = (-y - 2z)/3 e a
solução trivial; f) SPI, x = -2y e a solução trivial; g) SPD, x = 7, y = 3, z = 2; h) SPI, x = 2, y = z.