Espaço Vetorial IR2

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5- ESPAÇO VETORIAL IR2 
 
5.1- O CONJUTO IR2 
 
Def.: É o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. 
 
IR2 = {(x, y)/x  IR e y  IR} 
 
Exemplo de elementos do IR2: (3,4), (–2,7), (
2,2 
), 






0,
2
1
, etc. 
 Cada elemento do IR2 pode ser associado a um ponto de um plano no qual fixamos em um 
sistema de coordenadas. 
 
5.2- IGUALDADE E OPERAÇÕES COM PARES ORDENADOS 
 
 5.2.1- Igualdade 
(x1, y1) = (x2, y2)  x1 = x2 e y1 = y2 
 
 Exemplos: 1- (a, b) = (–2, 3)  2- (x + 1, y – 1) = (0, 1)  
 
5.2.2- Adição 
(x1, y1) + (x2, y2)  (x1 + x2, y1 + y2) 
 
 Ex.: (3, 1) + (2, -4) = 
 
5.2.3- Multiplicação por um número real ou multiplicação por um escalar 
 
k(x, y) = (kx, ky) 
 Ex.: 9(5, -3) = 
 
5.2.4- Propriedades: Sejam A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3)  IR2 e k e m  IR, então: 
 
i) A + B = B + A 
ii) (A + B) + C = A + (B + C) 
iii) A + 0 = A, onde 0 representa o par (0, 0) 
iv) A + (–A) = 0, onde –A = (–x, –y) representa o par oposto de A 
v) k(A + B) = kA + kB 
vi) (k + m)A = kA + mA 
vii) (km)A = k(mA) 
viii) 1.A = A 
 
Ex.: Dados A = (3, 7), B = (–2, 1) e C = (4, 4). Calcule A + B – C. 
 
 
 Por serem verdadeiras as oito propriedades, o conjunto IR2 com as operações de 
adição e multiplicação por escalar definidas é chamado de espaço vetorial real. 
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5.3- VETORES 
 
5.3.1- RETA ORIENTADA 
 
Def.: É uma reta cujo sentido de percurso é fixado, considerado positivo e indicado por uma 
seta. 
 
 r 
 
 
5.3.2- SEGMENTO ORIENTADO 
 
Def.: É um segmento determinado por um par ordenado de pontos no espaço, representado 
por AB e indicado por uma seta, onde A é origem e B é a extremidade do segmento. 
 
 B 
 
 
 A 
 
5.3.3- SEGMENTO NULO 
 
Def.: É o segmento cuja extremidade coincide com a origem. 
 
 
5.3.4- DIREÇÃO E SENTIDO 
 
Def.: Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm mesma direção se as retas suporte 
desses segmentos são paralelas. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos se eles têm mesma direção. 
 
5.3.5- SEGMENTOS OPOSTOS 
 
Def.: É o segmento que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário ao 
segmento dado. Por exemplo, se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é 
oposto de AB. 
 
 
 
 
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5.3.6- SEGMENTOS EQUIPOLENTES 
 
Def.: Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes, e indicado por AB ~ CD 
quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento ou se ambos são 
nulos. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 Propriedades: 
 
 i) AB ~ BA 
 ii) AB ~ CD  CD ~ AB 
 iii) AB ~ CD e CD ~ EF  AB ~ EF 
 iv) Dados AB e um ponto C, Ǝ! ponto D tal que AB ~ CD. 
 
 
5.4- VETORES NO PLANO 
 
 Um número real não negativo (denominado módulo), uma direção e um sentido são três 
elementos que caracterizam o que denominamos vetor, ente que é representado geometricamente 
através de segmentos orientados. 
 Em geral, todo vetor �⃗� do plano cartesiano pode ser associado a um par ordenado (a, b) do 
IR2. E se escreve como 
�⃗� = (a, b) 
 
quando a e b são, nesta ordem, as medidas algébricas das projeções de v nas direções (orientadas) 
dos eixos x e y. Dizemos que �⃗� é o vetor de componentes (ou coordenadas) a e b. 
 
5.4.1- Vetores Iguais 
 
 Def.: Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ são iguais se, e somente se, AB ~ CD. 
 
 
5.4.2- Vetor Nulo 
 
Def.: Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, 
chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0⃗⃗. 
 
 
 5.4.3- Vetores Opostos 
 
Def.: Dado um vetor �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , o vetor 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é oposto de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e se indica por -𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ou por -�⃗�. 
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5.4.4- Vetores Colineares 
 
Def.: Dois vetores �⃗⃗� e �⃗� são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, se pertencerem 
a mesma reta ou a retas paralelas. 
 
 
 5.4.5- Vetores Coplanares 
 
 Def.: São vetores que pertencem a um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
5.5- CÁLCULO DAS COMPONENTES DE UM VETOR 
 
Calculamos as componentes de um vetor �⃗� a partir das coordenadas das extremidades de um 
segmento orientado que o representa. 
 
Se �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , A = (x1, y1) e B = (x2, y2), então, 
 
�⃗� = (x2 – x1, y2 – y1) 
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = B – A 
 
Ex.: Dados A = (1, –1) e B = (5, 1), calcule as coordenadas do vetor �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
5.6- OPERAÇÕES COM VETORES 
 
5.6.1 - Adição 
 
 Dados dois vetores �⃗⃗� e �⃗�, à soma �⃗⃗� + �⃗� corresponde à soma dos pares ordenados 
associados a �⃗⃗� e �⃗�. 
 
�⃗⃗� = (x1, y1) e �⃗� = (x2, y2)  �⃗⃗� + �⃗� = (x1 + x2, y1 + y2) 
 
 Representação Geométrica 
 
 
 
 
 
 
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Propriedades: 
 
 i) �⃗⃗� + �⃗� = �⃗� + �⃗⃗� 
 ii) (�⃗⃗� + �⃗�) + �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� + (�⃗� + �⃗⃗⃗�) 
 iii) �⃗� + 0⃗⃗ = 0⃗⃗ + �⃗� = �⃗� 
 iv) �⃗� + (-�⃗�) = 0⃗⃗ 
 
 
5.6.2- Diferença de Vetores 
 
 Dados dois vetores �⃗⃗� e �⃗�, à diferença �⃗⃗� – �⃗� corresponde à diferença dos pares 
ordenados associados a �⃗⃗� e �⃗�. 
 
 Representação Geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.3- Multiplicação por escalar 
 
 Dado um escalar k e um vetor �⃗�, a multiplicação por escalar corresponde ao produto 
de k pelo par ordenado associado a �⃗�. 
 
k  IR e �⃗� = (x1, y1)  k(x, y) = (kx, ky) 
 
 Representação Geométrica 
 
 
 
 
 
Propriedades: Sejam �⃗⃗� e �⃗� vetores quaisquer e k1 e k2 números reais, então temos: 
 
 i) k1(k2�⃗�) = (k1k2)�⃗� 
 ii) (k1 + k2)�⃗� = k1�⃗� + k2�⃗� 
 iii) k1(�⃗⃗� + �⃗�) = k1�⃗⃗� + k1�⃗� 
 iv) 1�⃗� = �⃗� 
 
Ex.: Dados A = (11, -7), B = (0, 3) e C = (-1, 1). Calcule o vetor 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 5𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
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Exercícios 
 
1- Dados A = (-1, 4), B = (-3, -2) e C = (0, 5), calcular: 
 
a) A + B + C 
b) 4(A + 2B) – 3(C – B) 
 
2- Dados A = (3, 7), B = (-1, 2) e C = (11, 4), determinar os números x e y que tornam verdadeira a 
igualdade xA + yB = C. 
 
3- Calcular x e y na equação x(1, -2) + y(-2, 0) = 2(x, y) – 3(y, -x). 
 
4- Dados A = (-2, 3), B = (2, 0), C = (0, -5) e D = (-4, -2), verificar que os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ são 
iguais e que os vetores 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ e 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ são opostos. Os pontos A, B, C e D são os vértices de que 
quadrilátero? 
 
5- Dados A = (0, 1), B = (-3, 1) e C = (4, 4) e D = (5, -2), calcular os seguintes vetores: 
 
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
6- Se v = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , A = (3, 2) e �⃗� = (5, 8), então qual é o ponto B? 
 
7- Dados A = (3, 7) e B = (11, 19), determinar o ponto C tal que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
8- Os vetores �⃗⃗� = (3, 4), �⃗� = (2a, 7) e �⃗⃗⃗� = (1, 3b) satisfazem à equação 2�⃗⃗� – �⃗� + 3�⃗⃗⃗� = O, onde O 
indica o vetor nulo. Calcular a e b. 
 
9- Dar o ponto médio do segmento de extremidades A = (3, 7) e B = (11, -1). Sabendo que o ponto 
médio é dado por M = 
A+B
2
. 
 
10- Determinar as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, dados A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, 
y3). Sabendo que o baricentro é dado por G = 
A+B+C
3
. 
 
11- Obter o baricentro do triângulo ABC nos casos: 
 
a) A(0, 0), B(9, 0), C(0, 6) 
b) A(-1, -2), B(0, -4), C(1, 6) 
 
12- Num triângulo de baricentro G(0, ½), vértices A(1, 1) e B(-2, 2/3). Obtenha o outro vértice. 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) (-4, 7); b) (-37, -21). 2- x = 2 e y = -5. 3- x = y = 0. 5- a) (-1, -12); b) (-10, 15). 6- (8, 10). 7- (5, 10). 8- a = 9/2 e 
b = -1/9. 9- (7, 3). 11- a) (3, 2); b) (0, 0). 12- (1, -1/6).