Produto Interno no IR2

Prévia do material em texto

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 42 
6- PRODUTO INTERNO NO IR2 
 
6.1- PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES ou PRODUTO INTERNO USUAL 
 
Def.: Dados dois vetores �⃗� = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2), o produto escalar de �⃗� e 𝑣 , indicado por �⃗� . 𝑣 , é o 
número real dado por x1.x2 + y1.y2. 
 
�⃗� = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2)  �⃗� . 𝑣 = x1.x2 + y1.y2 
 
O produto escalar de �⃗� por 𝑣 , também é indicado por <�⃗� , 𝑣 >, cuja leitura é “u escalar v”. 
 
Exemplo: Sendo �⃗� = (5, 3), 𝑣 = (2, 4) e �⃗⃗� = (-6, 1). Calcule: 
 
a) �⃗� . 𝑣 = 
b) 𝑣 . �⃗⃗� = 
 
 6.1.1- Propriedades:  �⃗�  IR2,  𝑣  IR2,  �⃗⃗�  IR2 e  k  IR. 
 
 i) �⃗� . �⃗�  0 e �⃗� . �⃗� = 0  �⃗� = 0 
 ii) �⃗� . 𝑣 = 𝑣 . �⃗� 
 iii) �⃗� . (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� . 𝑣 + �⃗� . �⃗⃗� 
 iv) �⃗� .(k𝑣 ) = k(�⃗� . 𝑣 ) 
 
Exemplo: Sendo �⃗� = (1, 2), 𝑣 = (5, 3) e �⃗⃗� = (-3, 4). Calcule: 
 
a) �⃗� . (𝑣 + �⃗⃗� ) = 
b) �⃗� . 𝑣 + �⃗� . �⃗⃗� = 
 
 
6.2- MÓDULO DE UM VETOR 
 
Def.: Dado o vetor �⃗� = (x, y)  IR2, temos que o seu módulo (ou comprimento) é dado por: 
 
 |�⃗� |2= x2 + y2 
|�⃗� | =
22 yx 
 
 
 ou 
 
|�⃗� | =
uu . 
 |�⃗� | =
),(.),( yxyx 
 |�⃗� | 
22 yx  
 
O módulo de �⃗� também pode ser chamado de norma de �⃗� e indicado por |�⃗� | ou ||�⃗� ||. 
 
Exemplo: Calcule o módulo do vetor �⃗� = (-6, 8). 
 
 
 
 P 
 
u
 
 y 
 
0 x 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 43 
6.3- VETOR UNITÁRIO 
 
Def.: Um vetor 𝑣 é unitário se |𝑣 | = 1. 
 
 
6.4- VERSOR DE UM VETOR 
 
Def.: O versor de 𝑣 é um vetor unitário de mesma direção e sentido de 𝑣 , e dado por 𝑣 ’ =
v
v . 
 
Exemplo: Verifique se o versor de 𝑣 = (3, 4) é um vetor unitário. 
 
 
 
 
 
6.5- DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Def.: É o comprimento (módulo) do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Como 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (x2 – x1, y2 – y1), então temos: 
 
d 2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 
d = 
2
12
2
12 )()( yyxx 
 
 
Exemplo: Calcule a distância entre A = (1, 3) e B = (5, 6): 
 
 
 
 
 
6.6- PARALELISMO E ORTOGONALIDADE 
 
 6.6.1- Condição de Paralelismo de Dois Vetores 
 
 Quando dois vetores u e v do IR2 são paralelos, suas representações geométricas por 
segmentos orientados, a partir da origem O, ficam sobre uma mesma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 y2 B 
 d 
 y1 A 
 
 x 
 0 x1 x2 
 y 
 
 u u 
 v 
 v 
 x 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 44 
Neste caso, se 𝑣 não é nulo, podemos concluir que �⃗� é múltiplo de 𝑣 , ou seja, �⃗� = k𝑣 
onde k =
v
u

. 
 Sendo �⃗� = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2), temos: 
�⃗� = k𝑣  (x1, y1) = k(x2, y2)  





21
21
kyy
kxx 
 Se x2 . y2 ≠ 0, decorre que k = 
2
1
x
x
 e k = 
2
1
y
y
, logo a condição de paralelismo dos 
vetores �⃗� e 𝑣 é dada por: 
2
1
x
x
 = 
2
1
y
y
 
 
Exemplo: Verifique se os vetores �⃗� e 𝑣 dados são paralelos: 
 
a) �⃗� = (8, 16) e 𝑣 = (10, 20) 
 
b) �⃗� = (10, 12) e 𝑣 = (25, 40) 
 
 
6.6.2- Condição de Ortogonalidade (Perpendicularidade) de Dois Vetores 
 
 Dois vetores não nulos �⃗� e 𝑣 são ortogonais quando podem ser representados por 
segmentos orientados perpendiculares. Neste caso, temos: 
 
 
 (|�⃗� + 𝑣 |)2 = (|�⃗� |)2 + (|𝑣 |)2 
 
 (1) 
 
 
Se �⃗� = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2), então �⃗� + 𝑣 = (x1 + x2, y1 + y2) e 
|�⃗� + 𝑣 | =
2
21
2
21 )()( yyxx 
, |�⃗� | =
2
1
2
1 )()( yx 
 e |𝑣 | = 
2
2
2
2 )()( yx 
. 
 
De (1) decorre que: (x1 + x2)
2 + (y1 + y2)
2 = (x1)
2 + (y1)
2 + (x2)
2 + (y2)
2 
ou seja, 
(x1)
2 + 2x1x2 + (x2)
2 + (y1)
2 + 2y1y2 + (y2)
2 = (x1)
2 + (y1)
2 + (x2)
2 + (y2)
2 
 logo, 
2x1x2 + 2y1y2 = 0 
 portanto, podemos concluir que 
x1x2 + y1y2 = 0 
 
Como x1x2 + y1y2 = �⃗� . 𝑣 , temos que a condição de ortogonalidade é: 
 
�⃗� . 𝑣 = 0 
 
 
 u + v v 
 
 u 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 45 
 C 
 
 
 u u – v 
 
  
 A v B 
Exemplo: Verifique se os vetores �⃗� e 𝑣 dados são ortogonais: 
 
a) �⃗� = (3, 5) e 𝑣 = (10, -6) 
 
b) �⃗� = (7, -2) e 𝑣 = (-4, -15) 
 
 
6.7- ÂNGULO DE DOIS VETORES 
 
O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo formado por eles e é dado 
pelo produto dos seus módulos pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
 
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC abaixo, temos: 
 
(|�⃗� − 𝑣 |)2 = (|�⃗� |)2 – 2|�⃗� ||𝑣 |. cos  + (|𝑣 |)2, isto é: 
 
(�⃗� − 𝑣 ) (�⃗� − 𝑣 ) = �⃗� . �⃗� – 2|�⃗� ||𝑣 |. cos  + 𝑣 . 𝑣 , assim 
 
�⃗� . �⃗� – 2�⃗� . 𝑣 + 𝑣 . 𝑣 = �⃗� . �⃗� – 2|�⃗� ||𝑣 |. cos  + 𝑣 . 𝑣 
 
 
logo, – 2�⃗� . 𝑣 = – 2|�⃗� ||𝑣 |. cos  . 
 
Portanto, �⃗� . 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 |. cos  e 
vu
vu
cos
.

. 
 
Obs: 1- Se �⃗� . 𝑣 > 0, então cos  > 0, o que implica 0°   < 90°. Nesse caso,  é um ângulo agudo 
ou nulo. 
 
2- Se �⃗� . 𝑣 < 0, então cos  < 0, o que implica 90°   < 180°. Nesse caso,  é um ângulo 
obtuso ou raso. 
 
3- Se �⃗� . 𝑣 = 0, então cos  = 0, o que implica  = 90°. Nesse caso,  é um ângulo agudo. 
 
 
Exemplo: Dados �⃗� = (1, 3) e 𝑣 = (-2, 4), determine o ângulo entre eles: 
 
 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 46 
6.8- PROJEÇÃO DE UM VETOR 
 
Def.: Sejam os vetores �⃗� e 𝑣 , tal que �⃗� ≠ 0 e 𝑣 ≠ 0, e  o ângulo por eles formado, então o vetor �⃗⃗� 
será a projeção de �⃗� na direção de 𝑣 (ou sobre 𝑣 ), que se indica por 
uproj
v
 e é dada por: 
 
uproj
v 
= 
v
vv
vu
.
.
.







 
 
Do triângulo retângulo vem: 
 cos  = 
hipotenusa
adj.cateto
 = 
u
w 
 |�⃗⃗� | = |�⃗� |.|cos | 
 |�⃗⃗� | = |�⃗� |.
vu
vu. 
 |�⃗⃗� | = 
v
vu. 
 
Como �⃗⃗� e 𝑣 têm mesma direção, segue-se que �⃗⃗� = k𝑣 , com k  IR, então |�⃗⃗� | = |k||𝑣 | 
 
 ou |k| = |�⃗⃗� |.
v
1
 
= 
v
vu. .
v
1
 
portanto, k = 
2
.
v
vu 
 
logo, �⃗⃗� = 










2
.
v
vu . 𝑣 
 
assim, 
uproj
v 
= 
v
vv
vu
.
.
.






 
 
Ex.: Determinar o vetor projeção de �⃗� = (2, 3) sobre 𝑣 = (1, -1). 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 47 
6.9- DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO 
 
 Dados dois vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , não colineares, qualquer vetor 𝑣 (coplanar com 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ) pode ser 
decomposto segundo as direções de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , ou seja, pode-se determinar dois números reais a1 e a2 
tais que: 
 
𝑣 = a1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + a2𝑣2⃗⃗⃗⃗ 
 
 
Ex.: Dados os vetores �⃗� = (2, -4), 𝑣 = (-5, 1) e �⃗⃗� = (-12, 6), determine k1 e k2 tal que �⃗⃗� = k1�⃗� + k2𝑣 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o vetor 𝑣 estiver representado por 𝑣 = a1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + a2𝑣2⃗⃗⃗⃗ dizemos que 𝑣 é combinação 
linear de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . O par de vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , não colineares é chamado base do plano. Os números a1 
e a2 são chamados componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação à base {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ }. O vetor a1𝑣1⃗⃗⃗⃗ é 
chamado projeção de 𝑣 sobre 𝑣1⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . Do mesmo modo, a2𝑣2⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 
sobre 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , segundo a direção de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 
 
As bases mais utilizadas são as bases ortonormais. 
 
Uma base {𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗} é dita ortonormal se os seus vetores são ortogonais e unitários, isto é, 
𝑒1⃗⃗ ⃗  𝑒2⃗⃗ ⃗ e |𝑒1⃗⃗ ⃗| = |𝑒2⃗⃗ ⃗| =1. 
 
Existem infinitas bases ortonormais no plano xOy, porém a base formada pelos vetores 
representados por segmentos orientados com origem em O e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1) é 
a mais importante delas. Estes vetores são representados por 𝑖 e 𝑗 e a base {𝑖 , 𝑗 } é chamada base 
canônica. 
 
A representação geométrica de 𝑣 = 3𝑒1⃗⃗ ⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗, é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 48 
Exercícios 
 
1- Dados �⃗� = (6, -2), 𝑣 = (-3, 4) e �⃗⃗� = (1, 5), calcular: 
 
a) �⃗� . (𝑣 + �⃗⃗� ) b) (�⃗� + 𝑣 ) . (�⃗� − 𝑣 ) c) 4(�⃗� . 𝑣 ) 
 
2- Dados �⃗� = (6, -8) e 𝑣 = (-4, -3), calcular |�⃗� |+|𝑣 | + 2(�⃗� 𝑣 ). 
 
3- Dados �⃗� = (1, -1), 𝑣 = (-3, 4) e �⃗⃗� = (-2, 0), calcular: 
 
a) |�⃗� | b) |𝑣 | c) |�⃗� + 𝑣 | d) |𝑣 − �⃗⃗� | e) |5�⃗⃗� | 
 
4- Entre os vetores seguintes, quais são unitários? 
 
a) (1/2, 1/2)
 
b) (3/5, 4/5) 
 
5- Calcular os valores de a para os quais o vetor �⃗� = (1/2, a) é unitário. 
 
6- Determine o versor de 𝑣 nos casos: 
 
a) 𝑣 = (10, 0) b) 𝑣 = (4, 3) c) 𝑣 = (5, 5) 
 
7- Calcular a distância entre A e B nos casos: 
 
a) A = (0, 4) e B = (12, 9) b) A = (4, -1) e B = (2, 3) 
 
8- Para que valor de x o ponto A(x, 2) é eqüidistante dos pontos B(1, 0) e C(-1, 1)? 
 
9- Verificar se �⃗� e 𝑣 são paralelos em cada caso: 
 
a) �⃗� = (4, 2) e 𝑣 = (12, 6) b) �⃗� = (-6, -12) e 𝑣 = (1, 2) 
 
10- Verificar se �⃗� e 𝑣 são ortogonais em cada caso: 
 
a) �⃗� = (3, 2) e 𝑣 = (-4, 6) b) �⃗� = (5, 4) e 𝑣 = (-2, 3) 
 
11- Determinar o ângulo entre u e v nos casos: 
 
a) �⃗� = (1, 2) e 𝑣 = (-1, 3) b) �⃗� = (3, 0) e 𝑣 = (1, 
3
) 
 
12- Dado o triângulo de vértices A(0, 2), B(
3
, 5) e C(0, 6) calcular a medida do ângulo interno Â. 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) -30; b) 15; c) -104. 2- 15. 3- a) 
2
; b) 5; c) 
13
; d) 
17
; e) 10. 4- (b). 5- 
23
. 6- a) (1, 0); b) (4/5, 3/5); 
c) 
 22,22
. 7- a) 13; b) 
52
. 8- x = 3/4. 9- (a) e (b). 10- (a). 11- a) 45°; b) 60°. 12- Â = 30°.