Estudo do Plano

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9- ESTUDO DO PLANO 
 
9.1- EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 
ax + by + cz + d = 0 
 
 9.1.1 - O Plano Definido Por Um Ponto e Um Vetor 
 
 Considere um plano  que passa por um ponto A(x0, y0, z0) e é ortogonal a um vetor 
não nulo �⃗� = (a, b, c). 
 Sendo P(x, y, z) um ponto genérico de , tomemos o vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x – x0, y – y0, z – 
z0), note que: 
 
 P    �⃗� e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ são ortogonais  �⃗� . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
 
  a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 
  ax + by + cz – ax0 – by0 – cz0 = 0, 
 
 fazendo – ax0 – by0 – cz0 = d, temos a equação geral do plano 
 
ax + by + cz + d = 0 
 
 É importante observar que os coeficientes de x, de y e de z são, nesta ordem, as 
componentes de um vetor normal ao plano, �⃗� = (a, b, c). Este mesmo vetor n, também é 
normal a qualquer plano paralelo a . 
 
Exemplos: 
 
1- Dados A(2, 1, -1) e �⃗� = (3, -1, 4), determine a equação do plano  que passa por A e é 
ortogonal a �⃗� . 
 
 
 
 
 
 
2- Dada a equação 2x + 3y + 2z – 6 = 0 que representa um plano  no IR3. Dê: 
 
a) um vetor normal a . 
b) pontos de . 
c) uma reta de intersecção do plano  com o plano xy. 
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9.1.2- O Plano Definido Por Três Pontos 
 
Considere o plano  definido por três pontos dados, A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) e C(x3, 
y3, z3), não colineares. 
 
 Sendo P(x, y, z) um ponto qualquer de , considere os vetores 
 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x – x1, y – y1, z – z1) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) 
 
note que P    𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares  [𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗] = 0. Assim obtemos a 
equação do plano calculando o determinante. 
 
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx



 = 0 
 
Exemplo: Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(1, 2, -1), B(0, 1, -4) e 
C(3, -1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1.3- Outras Formas de Determinação da equação de um Plano 
 
Existem outras formas de determinação de um plano tendo um de seus pontos e um 
vetor normal ao plano. Assim, existe apenas um plano que: 
 
a) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ não colineares. 
Neste caso: �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗  𝑣2⃗⃗⃗⃗ . 
 
b) passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor 𝑣 não colinear ao vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
Nesse caso: �⃗� = 𝑣  𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
c) passa por três pontos A, B e C não em linha reta. Nesse caso: �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗  𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
d) contém duas retas r1 e r2 concorrentes. Nesse caso: �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗  𝑣2⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ vetores 
diretores de r1 e r2. 
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e) contém duas retas r1 e r2 paralelas. Nesse caso: �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗  𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , sendo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ um vetor 
diretor de r1 (ou r2) e A1  r1 e A2  r2. 
 
f) Contém uma reta r e um ponto B  r. Neste caso: �⃗� = 𝑣  𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo 𝑣 um vetor diretor 
de r e A  r. 
 
Exemplos: 
 
1- Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1, -3, 4) e é paralelo aos 
vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (3, 1, -2) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1, -1, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta r: 





3
4
y
x
 e o ponto 
B(-3, 2, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2- EQUAÇÕES DA RETA NO ESPAÇO 
 
 9.2.1- Reta Definida por um Ponto e um Vetor Diretor 
 
 9.2.1.1- Equação Vetorial 
 
 Considere uma reta r, do IR3, que passa por um ponto A(x0, y0, z0) e tem a 
direção do vetor não nulo �⃗� = (a, b, c). Seja X(x, y, z) um ponto genérico de r 
 
 Note que X  r  𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ = t𝑣  X – A = t𝑣 , com t  IR, 
 
 então, a equação vetorial da reta r é dada por 
 
X = A + t𝑣 
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 9.2.1.2- Equações Paramétricas 
 
 As equações paramétricas são obtidas a partir da equação vetorial: 
 
X = A + t𝑣 
 
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c) 
 








ctzz
btyy
atxx
0
0
0
 
 
 9.2.1.3- Equação Simétrica 
 
 Partindo das equações paramétricas, supondo a . b . c ≠ 0. 
 








ctzz
btyy
atxx
0
0
0
  








ctzz
btyy
atxx
0
0
0
  t = 
c
zz
b
yy
a
xx 000 



 
 
 Assim, a equação simétrica da reta é dada por 
 
c
zz
b
yy
a
xx 000 



 
 
 
 
Exemplo: Em cada caso, dar as equações da reta r que passa por A e tem a direção do 
vetor 𝑣 , nas formas paramétricas e simétrica: 
 
a) A(2, 0, 3) e 𝑣 = (5, 1 -2) 
 
 
 
 
 
 
 
b) A(3, -2, 4) e 𝑣 = (0, 2 -1) 
 
 
 
 
 
 
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 9.2.1.4- Equações Reduzidas da Reta 
 
 Partindo das equações simétricas, 
 
c
zz
b
yy
a
xx 000 



 
 
isolando as variáveis y e z e expressando-as em função de x, temos as seguintes equações 
reduzidas: 
a
xx
b
yy 00 

 a
xx
c
zz 00 

 
 
00 yx
a
b
x
a
b
y  00 zxa
c
x
a
c
z 
 
 
 
 fazendo 
m
a
b

 e 
nyx
a
b
 00
, vem que fazendo 
p
a
c

 e 
qzx
a
c
 00
, vem que 
 
y = mx + n z = px + q 
 
 Exemplo: Obter as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e B(4, 0, -2). 
 
 
 
 
 
 
9.3- EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
 
 As equações paramétricas do plano são obtidas a partir da equação vetorial: 
 
X = A + h�⃗� + t𝑣 
 
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2) 
 








tchczz
tbhbyy
tahaxx
210
210
210
 
 
Ex: Dê as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo aos vetores 
�⃗� = (-3, -3, 1) e 𝑣 = (2, 1, -2). 
 
 
 
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9.4- POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r1 e r2, no espaço, podem ser: 
 
a) Coplanares 
 
Def.: Duas retas r1 e r2 são coplanares se estam situadas no mesmo plano. 
 
Nesse caso, as retas poderão ser: concorrentes ou paralelas. 
 
b) Reversas 
 
Def.: Duas retas r1 e r2 são reversas se não estam situadas no mesmo plano. 
 
 
 A igualdade (𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) = 0 é a condiçãode coplanaridade de duas retas que passam, 
respectivamente, pelos pontos A1 e A2 e têm como vetores diretores os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . Caso 
(𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) ≠ 0, então as retas são reversas. 
 
Exemplos: 
 
1- Estudar a posição relativa das retas 
z
yx
r 



1
1
2
:1
 e 








12
2
42
:2
tz
ty
tx
r
. 
 
 
 
 
 
2- Estudar a posição relativa das retas 
4
5
32
2
:1


 zyx
r
 e 








tz
ty
tx
r
27
2
5
:2
. 
 
 
 
 
 
 
3- Estudar a posição relativa das retas 
zyxr :1
 e 





xz
y
r
2
3
:2
. 
 
 
 
 
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9.5- INTERSEÇÃO DE PLANOS 
 
 9.5.1- Interseção de Dois Planos 
 
 Considere o sistema abaixo, formado pelas equações de dois planos,  e ’, do IR3 
 
 S = 





'''' dzcybxa
dczbyax
 
 
 Toda solução (x, y, z) de S é formada pelas coordenadas de um ponto de intersecção dos dois 
planos. 
Sabe-se que �⃗� = (a, b, c) e �⃗� ’= (a, b, c) são vetores normais aos planos  e ’, nesta ordem 
e as possíveis posições relativas de  e ’ constituem uma solução de S. 
 
1) Se 
'' b
b
a
a

 ou 
'' c
c
b
b

  o sistema S é possível e indeterminado (com grau de 
indeterminação igual a 1), ou seja, admite infinitas soluções e nesse caso os planos são 
concorrentes. 
 
2) Se 
'''' d
d
c
c
b
b
a
a

  o sistema S é possível e indeterminado (com grau de indeterminação 
igual a 2), ou seja, admite infinitas soluções e nesse caso os dois planos são paralelos 
coincidentes. 
 
3) Se 
'''' d
d
c
c
b
b
a
a

 o sistema S é impossível, ou seja, não admite solução e nesse caso os 
planos são paralelos distintos. 
 
 
 
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Ex.: Resolva e classifique quanto às posições relativas de  e ’: 
 
 a) S = 





032
623
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 b) S = 





86104
4352
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 9.5.2- Interseção de Três Planos 
 
 Considere o sistema abaixo, formado pelas equações de três planos, ,  e , do IR3 
 
 S = 








3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
 
 
 Toda solução (x, y, z) de S é formada pelas coordenadas de um ponto de intersecção dos três 
planos. 
 Os casos possíveis são: 
 
1) ,  e  possuem um único ponto em comum 
 
 
 
 
 
 
2) ,  e  possuem em comum uma reta 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, o sistema S admite uma única solução, ou seja, 
o sistema S é possível e determinado e os planos  e  são 
concorrentes numa reta r e o plano  intercepta r num ponto P. 
 
Nesse caso, o sistema S admite infinitas soluções, ou seja, o 
sistema S é possível e indeterminado (com grau de 
indeterminação igual a 1). 
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3) ,  e  são coincidentes 
 
 Nesse caso, o sistema S admite infinitas soluções, que são as coordenadas dos pontos de , 
ou seja, o sistema S é possível e indeterminado (com grau de indeterminação igual a 2). 
 
4) ,  e  não têm ponto comum 
 
 Nesse caso, o sistema S não tem solução, ou seja, o sistema S é impossível. 
Isto ocorre quando dois dos planos são paralelos distintos ou quando os três planos são 
concorrentes dois a dois em retas paralelas distintas. 
 
 
 
Ex.: Resolva e classifique os sistemas abaixo: 
 
a) S = 








510113
732
142
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
b) S = 








352
022
1
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
c) S = 








173
5622
13
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Determinar a equação do plano que contém o ponto P e é ortogonal ao vetor n nos casos: 
 
a) P = (1, -1, 1) e �⃗� = (2, 4, 1) b) P = (4, 2, 1) e �⃗� = (2, -3, 0) 
 
2- Dê a equação do plano que passa pelo ponto A(1, 2, 0) e é paralelo aos vetores �⃗� = (1, 1, 1) e 
𝑣 = (2, 1, 3). 
 
3- Determine a equação do plano que passa pelos pontos A, B e C nos casos: 
 
a) A(1, 2, 4), B(2, 3, 5) e C(3, 4, 7) b) a) A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) e C(3, 1, 2) 
 
4- Em cada caso, dar as equações da reta que passa por A e tem direção do vetor 𝑣 , nas formas 
paramétrica e simétrica. 
 
a) A = (3, 2, 5), 𝑣 = (7, 1, -4) b) A = (-1, 0, -2), 𝑣 = (3, 5, 4) 
 
5- Dar as equações paramétricas da reta que passa por A e B nos casos: 
 
a) A= (1, 1, 2) e B = (2, 3, 4) b) A = (-7, -1, 8) e B = (1, -2, 2) 
 
6-Determinar as equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, -1) e é perpendicular ao plano 
: 3x – 2y + z – 1 = 0. 
 
7- Determinar a equação do plano que passa por P(2, 0, 3) e é perpendicular à reta de equações 
paramétricas 








tz
ty
tx
21
2
1
 
 
8- Qual é o ponto de intersecção da reta 
3
2
7
3
4
2 



 zyx
 com o plano xy. 
 
9- Obter as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pontos 
A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1). 
 
10- Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos 
pontos P1(-1, 0, 3) e P2(1, 2, 7). 
 
11- Determinar a posição relativa dos planos  e ’nos casos: 
 
a) : 3x + 2y – 4z – 1 = 0 e ’: 5x – 4y + 2z + 1 = 0 
b) : x + 2y – 5z + 4 = 0 e ’: 2x + 4y + 10z + 9 = 0 
c) : x – 3y + 2z – 1 = 0 e ’: -3x + 9y – 6z + 3 = 0 
 
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 80 
12- Determinar a condição sobre k e m para que o sistema 





142
22
kzyx
mzyx
 
não tenha solução. 
 
13- Determinar o ponto de intersecção dos planos ,  e  nos casos: 
 
a) : 3x + y – 2z = 4, : 2y + z = 3/2 e : 2z = 3 
b) : x + y + z = 7, : x + 2y + 3z = 12 e : 2x + 4y + 9z = 33 
c) : x + y + 2z = 0, : x + 3y + z = -2 e : 4x + y + z = 3 
 
14- Classificar cada sistema seguinte em determinado, indeterminado e impossível: 
 
a) 








652
243
632
zyx
zyx
zyx
 
 
b) 








104
12
4
zyx
zyx
zyx
 
 
c) 








423
22
42
zyx
zyx
zyx
 
 
d) 








819125
3852
232
zyx
zyx
zyx
 
 
e) 







63
6522
33
zyx
zyx
zyx
 
15- Para que valores de k o sistema 








kzyx
zkyx
zyx
453
02
123
 admite uma única solução? 
RESPOSTAS 
 
1- a) 2x + 4y + z + 1 = 0; b) 2x – 3y – 2 = 0. 2- 2x – y – z = 0. 3- a) x – y + 1 = 0; b) x + y + z – 6 = 0. 4- a) x = 3 + 7t, 
y = 2 + t, z = 5 - 4t; (x - 3)/7 = (y - 2)/1 = (z - 5)/-4; b) x = -1 + 3t, y = 5t, z = -2 + 4t; (x + 1)/3 = y/5 = (z + 2)/4. 
5- a) x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = 2 + 2t; b) x = -7 + 8t, y = -1 - t, z = 8 - 6t. 6- x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = -1 + t. 7- x – y + 2z – 
8 = 0. 8- (14/3, 5/3, 0). 9- y = (1/2)x – (5/2) e z = -2x + 5. 10- x = (1/2)z – (5/2) e y = (1/2)z – (3/2). 11- a) concorrentes; 
b) paralelos distintos; c) coincidentes. 12- k = -4 e m ≠ 5. 13- a) (7/3, 0 , 3/2); b) (5, -1, 3); c) (1, -1, 0). 14- a) SPD; 
b) SI; c) SPI d) SPI; e) SPD. 15- k ≠ 1.