Geometria Analítica: Cônicas e Parábolas

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13- CÔNICAS 
 
13.1- LUGAR GEOMÉTRICO 
 
Def.: É um conjunto de pontos que satisfaz uma propriedade geométrica. 
 
 Equação de um lugar geométrico do plano cartesiano é toda equação nas incógnitas x e y 
cujas soluções (x, y) são coordenadas dos pontos do lugar geométrico (l.g.). 
 
Exemplos: 
 
1- Determinar o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes das retas r: 3x + 4y = 0 e s: 4x – 3y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Dados A(0, 0) e B(0, 4), determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que dAP = 3dBP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.2- CÔNICA 
 
Def.: Considere um cone de duas folhas, uma figura que pode ser gerada pela revolução de uma reta 
g (geratriz) em torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo  em um ponto V. 
Considere agora o conjunto de todos os planos que não passam por V. A curva que resulta da 
intersecção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção cônica ou, simplesmente, uma 
cônica. 
 
 Elipse Parábola Hipérbole 
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13.3- Parábola 
 
Def.: É o lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto fixo F e de 
uma reta dada d, F  d, desse plano. 
 
 O ponto F chama-se foco e a reta d 
chama-se reta diretriz da parábola. 
 
P  parábola  dPF = dPd 
 
13.3.1- Elementos da Parábola 
 
Parâmetro da parábola: É a distância entre o foco e a diretriz, representada por 2p. 
 
Vértice da parábola: É o ponto de interseção da parábola com o seu eixo, representado pela letra 
V, tal que dVF = dVd = p. 
 
 Eixo focal da parábola (ou eixo de simetria da curva): É a reta (VF) que passa pelo foco e é 
perpendicular a diretriz. 
 
 Corda (da parábola): É o segmento que une dois pontos da parábola. 
 
 Corda Focal: É uma corda da parábola que passa pelo Foco. 
 
 
 13.3.2- A Equação da Parábola 
 
 A equação da parábola com reta diretriz paralela a um dos eixos coordenados é da forma 
 
y = ax2 + bx + c ou x = ay2 + by + c 
 
 onde a, b e c são números reais, sendo a ≠ 0. 
 
 Exemplo: 
 
 1- Obtenha equação da parábola de foco F






0,
2
1
 e cuja diretriz é a reta de equação 2x + 1 = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 A equação da parábola com reta diretriz paralela ao eixo y é dada da seguinte forma: 
 
 Considere o caso da parábola de concavidade para direita, com vértice V(x0, y0), foco F(x0 + 
p, y0) e diretriz d de equação x = x0 – p, isto é, x – (x0 – p) = 0. 
 
Temos que P  parábola  dPd = dPF, então 
 
22
0
10
)(

 pxx
= 
   20
2
0 yypxx 
 
 
[(x – x0) + p]2 = [(x – x0) – p]2 + (y – y0)2 
(x – x0)2 + 2p(x – x0) + p2 = (x – x0)2 – 2p(x – x0) + p2 + (y – y0)2 
4p(x – x0) = (y – y0)2 
 x – x0 = 
p
yy
4
)( 20
 
 (1) 
 x = 
2
4
1
y
p
 – 
y
p
y
2
0
 + 






 0
2
0
4
x
p
y
 
 
 Fazendo 
p4
1
 = a, –
p
y
2
0
 = b e 
0
2
0
4
x
p
y

 = c 
 
Obtemos, sendo a > 0, a equação 
 
x = ay2 + by + c 
 
 Como 
p4
1
 = a  p = 
a4
1
 
 – 
p
y
2
0
 = b  y0 = – 2pb = –2.
a4
1
.b = 
a
b
2

 
 
0
2
0
4
x
p
y

 = c  x0 = 
p
y
4
2
0
 + c = 
a
acb
4
42 
 
 
 Logo, a distância entre o vértice e o foco é p = 
a4
1
 
e as coordenadas do vértice são dadas por xV = 
a
acb
4
42 
 e yV = 
a
b
2

 
 
 No caso da parábola de concavidade para a esquerda obtém-se p = 
a4
1

 (a < 0) e as 
coordenadas do vértice são xV e yV dadas pelas mesmas fórmulas acima. 
 
 
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 No caso das parábolas de concavidade para cima ou para baixo, a equação é da forma 
 
y = ax2 + bx + c 
 
 sendo a > 0 ou a < 0, respectivamente, e temos neste caso: 
 
 p = 
a4
1
, xV = 
a
b
2

 e yV = 
a
acb
4
42 
. 
 
Exemplos: 
 
1- Determinar o vértice e o foco da parábola de equação x = 2y2 – 4y + 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2- Determinar a equação da parábola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Determinar a equação da parábola que passa pelos pontos (0, 1), (1, 0) e (3, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13.3.3- Equação Reduzida da Parábola 
 
A equação da parábola de vértice na origem do sistema cartesiano e eixo paralelo ao eixo 
dos x é dada a partir da equação (1), onde: 
 
x – x0 = 
p
yy
4
)( 20
 
 
(y – y0)2 = 4p(x – x0) 
 
Como V(0, 0), logo 
 
y 2 = 4px 
 
Analogamente, no caso do eixo da parábola ser paralelo ao eixo dos y, temos a seguinte 
equação: 
 
x 2 = 4py 
 
 Exemplos: 
 
1- Determinar a equação da parábola de vértice V(0, 0) e Foco(1,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determinar a equação da parábola de vértice V(0, 0) e diretriz y = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Determinar a equação da parábola de vértice V(0, 0) passa pelo ponto (-2, 5) e tem 
concavidade voltada para cima. 
 
 
 
 
 
 
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13.3.4- Translação dos Eixos 
 
Considere no plano xOy um ponto O’(h, k) qualquer. Para obter um novo sistema x’y’ tal 
que os eixos O’x’ e O’y’tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo 
sentido dos eixos Ox e Oy, basta fazer uma translação de eixos da seguinte forma: 
 
Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: 
 
x e y em relação ao sistema xOy, 
 
e 
 
x’e y’ em relação ao sistema x’O’y’, 
 
Pela figura, temos que: 
 
x = x’ + h e y = y’ + k 
 
ou 
 
x’ = x – h e y’ = y – k 
 
que são as fórmulas de translação, ou seja, as fórmulas que permitem transformar coordenadas 
de um sistema em outro. 
 
A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma das equações. 
 
Exemplo: 
 
1- Determinar a equação da parábola dada por x’2 = 4y’de centro O’(3, 2). 
 
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13.3.5- Equação da Parábola de Vértice Fora da Origemdo Sistema 
 
 1° caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y 
 
 Seja a parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coordenadas de 
V em relação ao sistema xOy e seja P(x, y) um ponto qualquer desta parábola. 
 
 Considerando um novo sistema x’O’y’ com a origem O’em V, temos que a equação da 
parábola referida ao sistema x’O’y’é 
 
 x’2 = 4py’ 
 
Como, x’ = x – h e y’ = y – k, daí vem: 
 
(x – h)2 = 4p(y – k) 
 
Analogamente, no caso do eixo da parábola ser paralelo ao eixo dos x, temos a seguinte 
equação: 
 
(y – k)2 = 4p(x – h) 
 
Exemplo: 
 
1- Determinar a equação da parábola de vértice V(3, -1), sabendo que y – 1 = 0 é a equação de 
sua diretriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determinar a equação da parábola de foco F(1, 2), sendo x = 5 a equação da diretriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13.3.6- Posições Relativas de uma Reta em Relação à uma Parábola 
 
 
 
 
 
Se  < 0 a reta é externa a Parábola Se  = 0 a reta é tangente a Parábola Se  > 0 a reta é secante a parábola 
 
Exemplos: 
 
1- Determinar os pontos de intersecção da reta 3x – 2y + 6 = 0 e da parábola y2 = 6x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determinar a posição da reta em relação à parábola: 
 
a) x – y + 2 = 0 e y2 = 8x 
 
 
 
 
 
 
 
b) 8x + 3y – 15 = 0 e x2 = –3y 
 
 
 
 
 
 
 
c) 5x – y – 15 = 0 e y2 = –5x 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A(-1, 2) e B(3, 0). 
 
2- Dados A(1, 0) e B(4, 0), determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que dAP = 2dPB. 
 
3- Determinar a equação da parábola sendo dados: 
 
a) F = (2, 0) e d: x + 2 = 0 
 
b) F = (0, -1) e d: y – 1 = 0 
 
c) V(0, 0) e d: y = -2 
 
d) V(0, 0) e F = (0, -3) 
 
e) V(0, 0) e F = (-3, 0) 
 
f) V(-2, 3) e F = (-2, 1) 
 
g) V(2, -1) e F = (5, -1) 
 
h) V(1, 3), eixo paralelo ao eixo dos x e passando pelo ponto P(-1, -1). 
 
i) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(0, 0), B(1, 1) e C(3, 1). 
 
j) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos P(0, 1), Q(1, 0) e R(2, 0). 
 
4- Determinar o vértice e o foco das parábolas abaixo: 
 
a) y = 4 – x2. 
 
b) x2 = -12y 
 
c) y2 = -100x 
 
d) x2 + 4x + 8y + 12 = 0 
 
e) y2 + 4y + 16x - 44 = 0 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- 2x – y –1 = 0. 2- É a circunferência x2 + y2 – 10x + 21 = 0. 3- a) x = y2/8; b) y = -x2/4; c) x2 = 8y; d) x2 = -12y; 
e) y2 = -12x; f) x2 + 4x + 8y - 20 = 0; g) y2 + 2y – 12x + 25 = 0; h) (y – 3)2 = -8(x – 1); i) y = -x2/3 + 4x/3; 
j) y = x2/2 - 3x/2 + 1. 4- a) V(0, 4) e F(0, 15/4); b) V(0, 0) e F(0, -3); c) V(0, 0) e F(-25, 0); d) V(-2, -1) e F(-2, -3); 
e) V(3, -2) e F(-1, -2).