Elipse: Definição, Elementos e Equações

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13.4- ELIPSE 
 
Def.: É o lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois 
pontos fixos desse plano, F1 e F2, é uma constante 2a (maior que a distância 𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ). 
 
P  elipse  𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = 2a 
 
 
 13.4.1- Elementos da Elipse 
 
Focos: São dados por F1 e F2. 
 
Distância Focal: É a distância entre F1 e F2 que é igual a 2c. 
 
Centro da Elipse: É o ponto médio C do segmento F1F2. 
 
 Vértices da elipse: São os pontos dados por A1, A2, B1, e B2. 
 
 Eixo maior: É o segmento dado por 𝐴1𝐴2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ de comprimento 2a. 
 
 Eixo menor: É o segmento dado por 𝐵1𝐵2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ de comprimento 2b. 
 
 Excentricidade: É o número e dado por e =
a
c
 (0 < e < 1) 
 
 Corda: É um segmento que une dois pontos da elipse. 
 
 Corda Focal: É uma corda que passa por um dos focos. 
 
 Diâmetro da elipse: É qualquer corda que passe pelo centro. 
 
Diretrizes da elipse: São duas retas r e r’ perpendiculares ao eixo focal, distando a/e do centro 
da elipse. 
 
 Relação entre a, b, e c: a2 = b2 + c2 
 
 
 13.4.2- A Equação da Elipse 
 
 A equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano e eixo maior no eixo dos x é 
dada da seguinte forma: 
 
 Sendo F1 = (-c, 0) e F2 = (c, 0) 
 
 Temos que P  elipse  𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = 2a, então 
 
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  22 ycx 
+ 
  22 ycx 
 = 2a 
 
 
2
22




  ycx
=
  
2
222 



  ycxa
 
 
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a
  22 ycx 
 + x2 – 2cx + c2 + y2 
 
 4a
  22 ycx 
= 4a2 – 4cx 
 
 (a
  22 ycx 
)2 = (a2 – cx)2 
 
 a2[x2 – 2cx + c2 + y2] = a4 – 2a2cx + c2x2 
 
 a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2 
 
 a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 
 
 (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) 
 
 Dividindo por a2(a2 – c2) fica 
 
 
1
22
2
2
2



ca
y
a
x
 
 
Fazendo a2 – c2 = b2, temos então a equação da elipse dada por 
 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
 Observações: 
 
 1: a2 – c2 = b2 > 0 
 
2: Caso o centro seja na origem do sistema cartesiano e o eixo maior no eixo dos y, temos a 
equação 
1
2
2
2
2

a
y
b
x
 
 
3: Caso a elipse tenha os seus eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados, e centro no 
ponto C = (x0, y0), temos as equações: 
 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx e 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



a
yy
b
xx 
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Exemplos: 
 
1- Usando a definição, obter a equação da elipse de focos F1(-1, 0) e F2(1, 0) e eixo maior 2a = 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Dar a equação da elipse de focos F(3, 0) e F’(-3, 0) e que passa pelo ponto A(5, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Dar a equação da elipse de focos F(1, 0) e F’(-1, 0) e que passa pelo ponto B(0, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Escrever a equação da elipse de eixo maior igual a 20 e excentricidade igual a 3/5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 13.4.3- Posições Relativas de uma Reta em relação à uma Elipse 
 
 
 
 
 
Se  < 0 a reta é externa a elipse Se  = 0 a reta é tangente a elipse Se  > 0 a reta é secante a elipse 
 
Exemplos: 
 
1- Determinar a posição da reta 2x – y – 3 = 0 em relação à elipse 
1
916
22

yx
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determinar os valores de m para que a reta y = -x + m seja tangente à elipse 
1
520
22

yx
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Usando a definição, obter a equação da elipse de focos F1(0, -1) e F2(0, 1) e eixo maior 2a = 4. 
 
2- Dar a equação da elipse de focos F(0, 5) e F’(0, -5) e que passa pelo ponto A(0, 13). 
 
3- Dar a equação da elipse de focos F(12, 0) e F’(-12, 0) e eixo menor igual a 10. 
 
4- Dar a equação da elipse de focos F(0, 3) e F’(0, -3) e que passa pelo ponto B(2, 0). 
 
5- Determinar a equação de uma elipse de centro C(3, 2) e tangente aos eixos coordenados, sabendo 
que os eixos de simetria são paralelos aos eixos x e y. 
 
6- Dada a equação da elipse 16x2 + 9y2 = 144, pede-se: 
 
a) a equação canônica; 
b) a excentricidade; 
c) as coordenadas dos focos; 
d) as coordenadas dos vértices; 
e) o gráfico. 
 
7- Obter a equação da elipse com centro na origem do sistema cartesiano, eixo focal coincidente 
com o eixo x, que passa pelo ponto P(1, 1) e cuja excentricidade é igual a 
2
/2. 
 
8- Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- (x2/3) + (y2/4) =1. 2- (x2/144) + (y2/169) =1. 3- (x2/169) + (y2/25) =1. 4- (x2/4) + (y2/13) =1. 5- [(x – 3)2/9] + 
[(y – 2)2/4] =1. 6- a) (x2/9) + (y2/16) =1; b) 
7
/4; c) F1= (0, 
7
) e F2= (0, -
7
); d) A1 = (0,4), A2 = (0,-4), B1 = (-3,0) 
e B2 = (3,0). 7- x2 + 2y2 = 3. 8- (x2/16) + (y2/25) =1 e (x2/14) + (y2/5) =1.