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A01 Principios gerais de projeto estrutural

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ESTÁTICA 
DEC - COD 3764 
I - 2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo das notas de aula do professor. 
Adaptação do material de vários professores, e do livro “Mecânica vetorial para engenheiros”, 
Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976. 
JDNC - 2007 
ESTÁTICA – DEC 3674 1
1 Morfologia das estruturas 
1.1 Definição de estrutura 
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior 
de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações 
externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações 
externas encontrarão seu sistema estático equilibrante. 
 
 
1.2 Classificação das estruturas 
Definição de componentes de uma estrutura 
Os componentes de uma estrutura são chamados de elementos, barras ou membros estruturais, 
que devem ser capazes de receber e transmitir esforços. Podem ser: 
• Unidimensionais: Vigas, pilares, barras, travessas, colunas etc. 
• Bidimensionais: Folhas: as lajes e as paredes. 
• Tridimensionais: Sólidos, blocos etc. 
 
1.2.1 Classificação quanto aos elementos estruturais 
• Estruturas reticuladas (compostas de barras): Vigas, pórticos planos e espaciais, treliças 
planas e espaciais, grelhas, etc. 
As barras são os elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras 
duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha 
central. Barras de forma prismática são retas e de seção constante. 
• Estruturas de superfícies (folhas): placas (lajes) e Chapas (paredes, vigas paredes). 
As folhas são os elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras 
duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. As placas recebem 
cargas normais ao seu plano e as chapas na direção de seu plano. 
Fundação 
P
Fundação
P P
Fundação 
 Viga 
 
 
Pilar Pilar
P 
ESTÁTICA – DEC 3674 2
• Estruturas de volume: Blocos de fundação, barragens de gravidade etc. 
São os elementos tridimensionais em que as dimensões são de mesma ordem de 
grandeza. 
 
Para caracterizar os elementos veja alguns exemplos de dimensões usuais (em centímetros): 
• Reticuladas 
Pilar de concreto: 15x15x300, viga de concreto: 12x40x400, Treliça: 2x4x120 
• Superfícies 
Laje: 300x400x10, Parede: 300x260x12 
• Volumétricas 
Bloco de fundação: 50x120x50 
 
 
Vigas 
 
Pórticos 
 
 
 
Treliças 
 
Grelhas 
 
 
Lajes 
 
Parede, viga parede 
 
 
Vigas 
 
Laje 
 
 Pilar 
ESTÁTICA – DEC 3674 3
1.2.2 Vinculações dos sistemas planos. 
Sistema plano: todos os elementos são rigidamente vinculados a um plano, isto é, podem se 
movimentar apenas nas direções contidas neste plano, e todas as forças, ativas e reativas são 
aplicadas neste plano (isto é uma idealização, não existe na realidade). 
 
Vamos esclarecer um pouco melhor os elementos estruturais para podermos relacioná-los: 
• Barra: tem a função estática de transmitir força e a função geométrica de determinar as 
distâncias de seus pontos extremos. 
• Chapa: tem a função estática de transmitir qualquer esforço e a função geométrica de 
determinar a posição relativa de vários de seus pontos. 
• Nó: é uma articulação em que são juntadas várias barras pelas suas extremidades; 
• Vínculos: são apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou, no caso 
dos apoios, à “chapa terra”. 
 
No sistema plano uma chapa tem 3 graus de liberdade, ou seja, pode se movimentar, se 
deslocar de três formas: 2 translações (eixos x e y) e uma rotação. Os vínculos têm a função 
de impedir os deslocamentos em uma determinada direção. 
Veja a figura (a) abaixo, onde uma viga AB é solicitada por uma carga inclinada P no ponto 
C. A carga P pode ser decomposta em suas componentes horizontais (Ph) e verticais (Pv) 
aplicadas no ponto C. Na forma em que se apresenta, esta chapa é solicitada verticalmente, de 
cima para baixo e, horizontalmente, da direita para a esquerda. Para que a chapa esteja em 
equilíbrio são necessárias reações verticais e horizontais. Observe que o esquema proposto na 
figura (b) equilibra apenas as forças horizontais e verticais e a chapa ainda pode girar no 
sentido horário. As figuras (c) e (d) mostram a chapa em equilíbrio, sendo que em (c) o 
equilíbrio é mostrado pelas “reações de apoio” e em (d) pelos símbolos que representam estas 
reações de apoio. 
 
 
 
Ph 
Pv P 
A C B 
a) 
RAh 
Ph
Pv P 
C B 
RAv 
b) 
RAh 
Ph
Pv P
C
RAv RBv 
c)
Ph 
Pv P 
A C B 
d) 
ESTÁTICA – DEC 3674 4
Para representar a vinculação de uma “chapa” à outra chapa, ou à “chapa terra” são usados 
símbolos para representar as vinculações ou apoios. Na tabela abaixo os traços fortes ou as 
zonas hachuradas e os traços finos as barras vinculares. 
 
 
Nome do vínculo Símbolo Representação por 
barras vinculares 
Nº graus de mobilidade 
retirados pelo vínculo 
Apoio móvel 
de 1º gênero 
 1 
Apoio fixo 
Articulação entre 
2 chapas 
(de 2º gênero) 
 2 
Engastamento 
fixo 
 
 3 
Engastamento 
móvel 
 
 2 
Articulação 
Entre 
3 chapas 
 4 
Articulação 
Entre 
n chapas 
 _____ 2 (n-1) 
 
O apoio móvel (1º gênero) impede apenas um deslocamento, no caso, o deslocamento 
vertical e permite o deslocamento horizontal e rotação (giro) em torno do apoio. 
O apoio fixo (2º gênero) impede dois deslocamentos, o vertical e o horizontal e permite a 
rotação (giro) em torno do apoio 
O engastamento (3º gênero - considera-se o fixo quando não for especificado) impede os 
deslocamentos verticais e horizontais e a rotação (giro) em torno do apoio. 
 
1 
2 
n
ESTÁTICA – DEC 3674 5
1.2.3 Classificação das estruturas quanto ao equilíbrio estático. 
a) Estruturas ISOSTÁTICAS 
Todos os esforços internos e externos podem ser determinados com a aplicação das equações 
de equilíbrio estático: Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ M(i) = 0. 
b) Estruturas HIPERESTÁTICAS 
Quando não é possível a determinação de todos os esforços externos e internos apenas com a 
aplicação das equações das equações de equilíbrio da Mecânica Geral recorre-se a equações 
de compatibilidade das deformações. 
Incógnitas hiperestáticas (ou redundantes): são os esforços externos ou internos que existem a 
mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio. 
Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três. 
Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhecidas 
todas as reações. Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre 
si, formam uma poligonal fechada. 
Hiperestaticidade total: é a soma da externa mais a interna. 
 
c) Estruturas HIPOSTÁTICAS 
Quando o número de vínculos é insuficiente. 
 
1.2.3.1 Graus de Estaticidade - Treliças 
Uma estrutura composta de barras e nós (os vínculos podem ser representados por barras) é 
uma treliça. Chamando de b o número de barras e n o número de nós (apoio móvel substituído 
por uma barra e o fixo por duas) tem-se: 
b < 2n treliça indeterminada ou móvel 
b = 2n treliça isostática 
b > 2n treliça hiperestática 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 6
A expressão b = 2n é necessária, mas não suficiente para a determinação geométrica de uma 
treliça Existem “casos excepcionais” em que as treliças apresentam mobilidade apesar de 
verificada a expressão b = 2n. Os casos mais simplesde excepcionalidade podem ser 
reconhecidos intuitivamente e os mais complexos, através do determinante dos coeficientes 
do sistema de equações de equilíbrio ∆ = 0 (bastante trabalhoso). 
 
 
Observe que são necessárias 3 vinculações de apoio, portanto, internamente → bint = 2n - 3 
 a) b) c) d) 
Barras de apoio - bap 3 3 4 3 
Barras internas - bint 7 11 19 16 
Número de nós - n 5 7 10 9 
b - 2 n = 10-2x5 = 0 14-2x7 = 0 23-2x10 = 3 19-2x9 = 1 
bap – 3 = (2+1) – 3 = 0 (2+1) – 3 = 0 (2+2) – 3 = 1 (2+1) – 3 = 1 
 Isostática Isostática Hiper. ext. e int Hiper. Int. 1 x 
 
Observe que a treliça (d) é uma vez hiperestática internamente, ou seja, tem uma barra a mais. 
Para que a treliça seja internamente determinada (isostática), vamos considerar uma treliça 
base, sem os vínculos de apoio, composta por 3 barras e 3 nós. A este triângulo podemos 
acrescentar outros nós, porém, sempre vinculados a duas barras. As treliças que formarmos 
através deste processo serão internamente isostáticas. Veja a construção da treliça (d) abaixo. 
 
 
a) b) c) d) 
 B 
1 2 
A 3 C 
4 
 D
 5 7 
 6 E
 F
 8 9
 11 
 10 G
Um nó com duas barras. 
Como está é isostática. 
 
Coloque a barra que falta e 
será 1 vez hiperestática 
12 H 
 13 
 15 
14 I
ESTÁTICA – DEC 3674 7
1.2.3.2 Graus de Estaticidade - Chapas 
Vigas e pórticos: 3eg NVA= − (NVA = Número de vínculos de apoio) 
 ( )3 1eg NVA NCLR= − − − Quando houver rótulas internas 
 NCLR = Nº de chapas ligadas à rótula 
 
 
 NVA = 3, ge = 0 NVA = 4, ge = 1 NVA = 3, NCLR = 2 , ge = -1 
 Isostática Hiperestática Hipostática 
 
 
 NR = 3, ge = 0 NR = 3, ge = 0 NR = 4, ge = 1 
 Isostática Isostática Hiperestática 
 
 NVA = , NCLR = , ge = NVA = , NCLR = , ge = NVA = , NCLR = , ge = 
 _____stática _____stática _____stática 
 
 
 NVA = , NCLR = , ge = NVA = , NCLR = , ge = Uma viga sobre duas colunas 
 _____stática _____stática Quais são as vinculações? 
 
 
 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 8
Estruturas espaciais: Sistema tridimensional de eixos ortogonais 
No sistema plano as entidades (forças, deslocamentos etc.) estão contidas neste plano. No 
sistema espacial, dado por um sistema ortogonal x, y e z, as entidades podem atuar nas três 
direções. 
 
 
No sistema tridimensional um ponto pode ter seis deslocamentos (seis graus de liberdade): 
três translações (nas direções x, y e z) e três rotações (em torno os eixos x, y e z). 
Na figura abaixo o pórtico espacial tem, entre outros, os seguintes tipos de apoios: 
 
 
Articulação espacial (apoio fixo) 
 
Apoio simples/fixo 
 
Apoio simples espacial 
 
Engaste espacial 
 
 
 
Articulação espacial: impede as 3 translações e permite as 3 rotações: GL = 3. 
Apoio simples espacial: impede 1 translação e permite as 3 rotações: GL = 4. 
Apoio simples/fixo espacial: impede 2 translações e permite as 3 rotações: GL = 5. 
Engaste espacial: impede as 3 translações e as 3 rotações: GL = 0. 
 
y 
x 
Sistema plano 
z 
y 
x 
Sistema espacial 
y 
x
z 
ESTÁTICA – DEC 3674 9
 
 
3.2 – Estruturas aporticadas 
A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas 
é a técnica da árvore. A árvore é uma estrutura em balanço, ou seja, engastada na terra 
(engastamento dado através das raízes = três vínculos) e com galhos (barras) ligadas por nós 
rígidos sem formar “anel”, isto é, sem fechar. Como a árvore é isostática, deve-se procurar 
através de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvores 
separadas. 
Quando estiver formando um “anel”, há necessidade de abrir o anel através de um corte. Uma 
ESTÁTICA – DEC 3674 10
chapa ao ser cortada perde três barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Uma barra 
interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra 
vincular. Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barra 
vincular. 
Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores, o número de barras vinculares 
retiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos, é 
o grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barras 
vinculares que supera três.

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