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Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas Centro de TecnologiaCentro de Tecnologia Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil Disciplina: Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Mecânica dos Sólidos 1 CódigoCódigo ECIV018ECIV018Código: Código: ECIV018ECIV018 Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages Forças Distribuídas: Momentos Forças Distribuídas: Momentos de Inérciade Inérciade Inérciade Inércia Maceió/ALMaceió/AL MotivaçãoMotivação M MotivaçãoMotivação Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas dA y M dA y kdF = y xy ∫= dFR ∫= A kydA ∫= A ydAk xkQ= Ayk= 0= 0y = ∫= ydFM ∫= A 2dAky ∫= A 2dAy k MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas 1 2 ConsumindoConsumindo--se um se um mesmomesmo volume de material, é volume de material, é possívelpossível modificarmodificar a a rigidezrigidez à à flexãoflexão da da estruturaestrutura.. MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação Pressão sobre comportasPressão sobre comportas x Pressão sobre comportasPressão sobre comportas ∫= dFR ∫ γ= ydA ∫γ= ydA dAdF γ A A xQγ= Ay γ= dAydF γ= y dA ∫= ydFM ∫ γ= A 2dAy ∫γ= A 2dAy A A Momento de Inércia ou Momento de Inércia ou Momento de 2ª OrdemMomento de 2ª Ordem y Momento de 2 OrdemMomento de 2 Ordem y y dA Momento de inércia ou de 2a ordem em relação ao eixo x y ∫= A 2 x dAyI xx A Momento de inércia ou de 2ax ∫= 2y dAxI ordem em relação ao eixo y ∫ A y Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ∫= dAyI 2 ∫= dAxI 2∫= dAyIx ∫= dAxIy Em princípio, para quantificação dos momentos p p , p q ç de 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses são calculados a partir de integrais duplas no d míni p s nt ti d iã st d d domínio representativo da região estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a r r m conveniência das coordenadas de descrição da região dtratada. Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla ( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤= d ∫= dAyI 2xy dA=dxdy ∫ ∫= d c b a 2dxdyy d dx dy c [ ]∫= d ba2 dyxy ( )∫ −= d 2dyyab b c a x c c ( ) d3yab ⎥⎤⎢⎡ −=ba ( ) c3 ⎥⎦⎢⎣ ( )( )cdab 33 −−( )( ) 3 cdab = Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla ( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤= Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla d ∫= dAxI 2yy dA=dxdy ∫ ∫= d c b a 2dxdyx d dx dy c ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= d b3 dy 3 x ∫ −= d 33 dy3 ab b c a x ⎦⎣c a3 c 3 d33 yab ⎥⎤⎢⎡ −=ba c y 3 ⎥⎦⎢⎣ ( )( )cdab 33( )( ) 3 cdab −−= Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= x a by0 e ax0|yx, D Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla b ∫ dAyI 2 y ∫ ∫a x a b 2dydxy ⎭⎩ a dA=dxdy b ∫= dAyIx ∫ ∫= 0 0 dydxy ⎤⎡a x b 3 a 3d a x ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= a 0 x a 0 3 dx 3 y ∫= a 0 3 3 3 dxx a3 bdx dy a a4 3 3 4 x 3a b ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 12 ab 3 = 043a ⎦⎣ 12 Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= x a by0 e ax0|yx, D Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla b ∫ dAxI 2 y ∫ ∫a x a b 2dydxx ⎭⎩ a dA=dxdy b ∫= dAxIy ∫ ∫= 0 0 dydxx [ ]a b a bd a x [ ]∫= 0 x a 0 2 dxyx ∫= 0 3dxx a b dx dy a a4 4 x a b ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 4 ba 3 = 04a ⎦⎣ 4 Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias ∫= dAyI 2 ∫= eldI Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias ∫= dAyIx ∫= dAxI 2y ∫ xdI ∫= elydI A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo momento de inércia já é conhecido inércia já é conhecido. Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias y Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias y ∫= dAyI 2x ∫= elxdI(x,y(x)) ∫= b a 3 dx 3 y(x) a bdx ∫= dAxI 2y ∫= elydIx ∫y ∫= b 2y(x)dxx ∫ y dx 3 )x(ydI 3 el x = dx)x(yxdI 2el = adx)x(yxdIy = Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo::pp Determine por integração os momentos de inércia da superfície 3a hk = de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h. a a h 3kx)x(y = h Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): I ∫ ∫a h 2d d de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração dupla =xI ⎤⎡a h3 ∫ ∫ 0 x a h 2 3 3 dydxy ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= a 0 x a h 3 dx 3 y 3 3 ⎞⎛a 33 a ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= a 0 9 9 33 dxx 3a h 3 h a⎤⎡ hdxdx dydy a 0 10 9 33 10 x 3a hx 3 h ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 3 3 3 xa h)x(y = 10 ah3 3 =( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ∫ ∫a h 2dydxxExemploExemplo (continuação):(continuação): =I de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ∫ ∫ 0 x a h 3 3 dydxxpp ( ç )( ç ) Por integração dupla (cont.) =yI [ ]∫= a 0 h x a h2 dxyx 3 3a ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= a 0 5 3 2 dxx a hhx hdxdx dydy a 0 6 3 3 6 x a h 3 hx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=33 xa h)x(y = 6 ha 3 =( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração de fatias ∫= xx dII ⎤⎡a 33 a ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= a 0 33 dx 3 )x(y 3 h ⎤⎡a 933 hh h ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= a 0 9 933 dx a3 xh 3 h a⎤⎡ 3 3 xa h)x(y = a 0 9 1033 a30 xh 3 xh ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 3 ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 10 ah3 3 = Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração de fatias ∫= yy dII a a [ ]∫ −= a 0 2 dx)x(yhx ⎞⎛a h h ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= 0 3 3 2 dxx a hhx a63 hh ⎤⎡ 3 3 xa h)x(y = 0 3 63 a6 hx 3 hx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= h3 ( )⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 6 ha 3 = Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): ∫ de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração de fatias ∫= xx dII ∫= h 2 dy)y(xy a ∫= 0 dy)y(xy ∫h 3 7 dy hh 3 1 h ya)y(x ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫= 0 3 1 dy h ya h 3 10 y3 ⎤⎡ 3 3 xa h)x(y = ⎠⎝ 0 3 1 3 h y 10 3a ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = 3 ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≤≤≤≤= 3 1 h yax0 e hy0|yx, D 3ah 10 3 = Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): ∫ de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração de fatias ∫= yy dII ∫= h 3 dy)y(x a ∫= 0 dy 3 ∫h 3 dyya hh 3 1 h ya)y(x ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫= 0 dy h3 y h23ya ⎥⎤⎢⎡3 3 xa h)x(y = ⎠⎝ 0h6 y ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ha3 ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≤≤≤≤= 3 1 h yax0 e hy0|yx, D 6 ha = Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia y Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia ∫= 20 dArJ y y dA Ay dA r xx0 Presente no estudo de Presente no estudo de barras sob torçãobarras sob torção x Momento Polar de Inércia Momento Polar de Inércia e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia y e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia y y dA 222 xyr += y dA r ( )∫ += 220 dAxyJ xx0 ( )∫ A 0 y ∫∫ += 220 dAxdAyJx ∫∫ + AA 0 dAxdAyJ 0 IIJ += yx0 IIJ + Raios de GiraçãoRaios de Giração y Raios de GiraçãoRaios de Giração ∫ 2dAI y dA ∫= A 2 x dAyI y dA r ∫= A 2 y dAxI xx0 ∫= A 2 0 dArJ x Cada Cada raio de giraçãoraio de giração representa a distância ao representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode A eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se tenha o mesmo momento de inércia.modo que se tenha o mesmo momento de inércia. Raios de Giração Raios de Giração kkxxRaios de Giração Raios de Giração kkxx y ∫ 2 y dA ∫= A 2 x dAyI x0 r Axx0 A y =xI Ak2x xkx x0 A Ik xx = Raios de Giração Raios de Giração kkyyRaios de Giração Raios de Giração kkyy y ∫ 2 y dA ∫= A 2 y dAxI x0 r Axx0 A y =yI Ak2y yk x0 A I k yy = Raios de Giração kRaios de Giração k00Raios de Giração kRaios de Giração k00 y ∫ 2 y dA ∫= A 2 0 dArJ x0 r A xx0 y =0J Ak20 0k x0 A Jk 00 = Teorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos Paralelos ∫ 2dAIdA ∫ 2dAYCCC C y ∫A 2dAy=CCI =I CEdyY += ∫ A dAYCCY dCE =EEI ( )∫ += 2CEEE dAdyI E E ( )∫ ++= 2CECE2 dAdyd2y∫ A ( )∫ A ∫∫∫ ++= A 2 CE A CE A 2 dAdydAd2dAy AdII 2CECCEE += AAA AdQd2I 2CECCCECC ++= 0 Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Superfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies Compostas Quando se estiver interessado nos momentos de i é i d iõ ã id tifi d inércia de regiões que são identificadas como composições de regiões elementares, aplicam-se essas composições nas avaliações das integrais p g referentes às propriedades desejadas. ∫ + = 21 AA 2 x dAyI Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia ExemploExemplo::pp Determine os momentos de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos centroidais paralelo e perpendicular ao lado ABao lado AB. Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia ExemploExemplo (continuação):(continuação): Determinação do centróide d C Eixo de Eixo de simetriasimetria ( ) 90455279075135135904575135d ⋅⎟⎞⎜⎛ +⎟⎞⎜⎛ ⋅ = - ( ) 2 5,27 3 75135 22 75135d ⋅⎟⎠⎜⎝ +−⋅⋅=⎟⎠⎜⎝ −⋅ mm 70d = Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia ExemploExemplo (continuação):(continuação): Determinação dos momentos de inércia 70 mm y xC = - -= - 1 2 3 Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia ExemploExemplo (continuação):(continuação): Determinação dos momentos de inércia Ix =xI 75135 3⋅ 5,2290 3⋅− 12 5,2290 3⋅− 4 x mm 4575234,4I = x 12 12 12 Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia ExemploExemplo (continuação):(continuação): Determinação dos momentos de inércia Iy ⎤⎡ ⎞⎛ 13513575 23=yI ( )⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⋅ 13575 2 13570 12 13575 3 ⎪⎬ ⎫⎪⎨ ⎧ ⎥⎤⎢⎡ ⋅⎥⎤⎢⎡ ⎟⎞⎜⎛ +−+⋅− 905,225,279070905,222 23 4 y mm 14212968,8I = ⎪⎭ ⎬⎪⎩ ⎨ ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ ⎟⎠⎜⎝ ++ 25,27370362 Produto de InérciaProduto de Inércia y Produto de InérciaProduto de Inércia y dA ∫= Axy xydAI M Flexão retaFlexão reta xx M Flexão oblíquaFlexão oblíqua Quando pelo menos um dos eixos cartesianos é de simetria, o produto de inércia é nulo. Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por Integração ∫= xydAI ∫= xydAIxy Em princípio, para quantificação do produto de p p , p q ç p inércia, esse é calculado a partir de integral dupla no domínio representativo da região st d d nd s d s l m nt estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas de descrição da região tratada. Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla ( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤= d ∫= xydAIxyy dA=dxdy ∫ ∫= d c b a xydxdy d dx dy c a ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= d b2 dyy 2 x ∫ −= d 22 ydy2 ab b c a x ∫ ⎦⎣c a2 ∫c 2( ) d222 yab ⎥⎤⎢⎡ −= Neste caso, igual ao produto da área do ba c4 ⎥⎦⎢⎣ = ( )( )cdab 2222produto da área do retângulo pelas coordenadas do centróide do mesmo. ( )( ) 4 cdab −−= Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= x a by0 e ax0|yx, D Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla b ∫= xydAIxy y ∫ ∫= a x a b xydydx ⎭⎩ a dA=dxdy b ∫y ∫ ∫ 0 0 ∫ ⎤⎡a x a b 2xy ∫a 32bd a x ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 0 0 dx 2 xy ∫= 0 3 2 dxxa2 b a2 ⎤⎡ 22 dx dy a a 0 4 2 2 x 8a b ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 8 ba 22 = Em geral, não é igual ao produto da área pelas coordenadas do centróide da mesma. Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias ∫ xydAI ∫ eldI Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias ∫= xydAIxy ∫= xydI A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo produto de inércia já é conhecido inércia já é conhecido. Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias y Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias y ∫= xydAIxy ∫= elxydI(x,y(x)) ∫= b a 2 dx 2 y(x)x a bdx x dx 2 )x(yxdI 2 el xy = Determinaçãodo Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo::pp Determine por integração o produto de inércia da superfície 3a hk = inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h. a a h 3kx)x(y = h Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): I ∫ ∫a h d d de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração dupla =xyI ⎤⎡a h2 ∫ ∫ 0 x a h 3 3 xydydx ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= a 0 x a h 2 dx 2 yx 3 3 ⎞⎛a 722 a ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= a 0 6 722 dx 2a xh 2 xh a⎤⎡ hdxdx dydy a 0 6 8222 16a xh 4 xh ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 22 3 3 xa h)x(y = 16 ha3 22 =( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração de fatias ∫= xyxy dII a a [ ]∫ −= a 0 22 dx 2 x)x(yh ⎤⎡a 722 hh h ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= a 0 6 722 dx a2 xh 2 xh a8222 ⎤⎡ 3 3 xa h)x(y = a 0 6 8222 a16 xh 4 xh ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 22 ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 16 ha3 22 = Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração ExemploExemplo (continuação):(continuação): ∫ de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração pp ( ç )( ç ) Por integração de fatias ∫= xyxy dII ∫= h 2 dyy)y(x a ∫= 0 dy 2 ∫h 3 52 dya hh 3 1 h ya)y(x ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫= 0 3 2 dy h2 y h 3 82ya3 ⎤⎡ 3 3 xa h)x(y = ⎠⎝ 0 3 2 3 h16 ya3 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = 22 ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≤≤≤≤= 3 1 h yax0 e hy0|yx, D 16 ha3 22 = Teorema dos Eixos Paralelos Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia ∫ ′′ dAyx=′′yxI para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia y'y dA ∫ xydAx'y' ∫ A yyx =xyIx x' xxx ′ +′= ∫ A x y CC y x ( )( )∫ +′+′=xy dAyyxxI yyy +′= x ( )∫ +′+′+′′= dAyxyxyxyx( )( )∫ A xy yy ( )∫ A yyyy ∫∫∫∫ +′+′+′′= AAAA dAyxdAyxdAxydAyx AyxII yxxy += ′′ AAAA AyxQxQyI xyyx +++= ′′′′ 0 0 Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais y dA y dA ∫ ∫ A 2dAy=xI ∫ ∫ ′ A 2dAy=′xI ∫ xydA ∫ ′′ dAyx=′′I=I ∫ A 2dAx=yI ∫ ′ A 2dAx=′yI θ+θ−=′θ+θ=′ cosysinxy e sinycosxx ∫ A xydA ∫ A dAyx′′yxIxyI xx θ θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2y2xy yyy θ+θ−=′′ 2cosI2sin2 II I xy yx yx Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2y2xy yyy θ+θ−=′′ 2cosI2sin2 II I xy yx yx0 A soma dos momentos de inércia independe do ângulo de giro do sistema de referência, ou seja, IIII +=+ J=yxyx IIII +=+ ′′ Isso é fato pois a soma dos momentos de inércia leva ao momento polar de inércia, que depende apenas do ponto referente à origem do sistema de referência que não foi modificado 0J= à origem do sistema de referência, que não foi modificado. Vamos fazer uso dessa identidade para estabelecer Iy’ sem fazer uso da expressão que depende do ângulo θ. Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx II θ+θ−=′′ 2cosI2sin2 II I xy yx yx As equações de Ix’ e Ix’y’ definem parametricamente uma circunferência para parametricamente uma circunferência para um sistema de coordenadas retangulares com Ix’ de abscissa e Ix’y’ de ordenada, para um l d d d valor dado de θ. Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais I ( )yxI ′′ xyI θ2 ( )yxx I,I ′′′ θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx xI ′I yI R θ2 I θ+θ−=′′ 2cosI2sin2 II I xy yx yx xI xyI− medI JII + 2II ⎞⎛ − 2 J 2 II I 0yxmed =+= 2xyyx I2 II R +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=e Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′ I xyI R θ2 2 J 2 II I 0yxmed =+= xI ′ xI yI medI 22 2 xy 2 yx I 2 II R +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= AB xyI− xy2 ⎟⎠⎜⎝ Os pontos A e B são os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor valor do momento de inércia, também denominados momentos principais d i é i d d de inércia, dados por RII RII medminmedmax −=+= e Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′ I xyI R θ2 2 J 2 II I 0yxmed =+= xI ′ xI yI medI 22 2 xy 2 yx I 2 II R +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= AB xyI− xy2 ⎟⎠⎜⎝ Ainda em relação aos pontos A e B, o produto de inércia é nulo, o que permite determinar as orientações dos eixos principais de inércia 02cosI2sin 2 II 0I mxym yx yx =θ+θ−∴=′′ yx xy m II I2 2tan −−=θ Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais ExemploExemplo:: Inércia PrincipaisInércia Principais m mpp Para a cantoneira em L mostrada, determine a i ã d i 1 2 , 5 m orientação dos eixos centroidais e principais de inércia, bem como os respectivos valores do momento de inércia. 1 2 5 m m 1 75 mm 12,5 mm Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais ExemploExemplo (continuação):(continuação): Inércia PrincipaisInércia Principais pp ( ç )( ç ) 1 2 , 5 m m y mm75,18x = ( ) 69,3417963,9765x25,7815,1562 +=+ m m 1 mm 75,43y = ( ) 81,488225,97656y25,7815,1562 +=+ 1 2 5 m 12,5 mmx 2 4 x mm 95,3692626I = 34,110880561,2583821Ix += 4074259468264485I +75 mm x 4 y mm 08,1007080I = 40,74259468,264485Iy += 8873242194366210I 4 yx mm 81,1098632I −= 88,73242194,366210I yx −−= Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais ExemploExemplo (continuação):(continuação): Inércia PrincipaisInércia Principais pp ( ç )( ç ) 2 , 5 m m y 4 x mm 95,3692626I = 4081007080I m 1 2 y 4 y mm08,1007080I = 4 yx mm 81,1098632I −= y 4522349853I 1 2 5 m m 12 5 x C (18,75;43,75)mm 4 med mm52,2349853I = 4mm 12,1734945R = 4mm634084798I = 75 mm 12,5 mmx max mm63,4084798I = 4 min mm 40,614908I = o6,19=θmax 6,19θ o min 6,109=θ Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais ExemploExemplo (continuação):(continuação): Inércia PrincipaisInércia Principais pp ( ç )( ç ) 4 x mm 95,3692626I = 4081007080I2 , 5 m m y 4 y mm08,1007080I = 4 yx mm 81,1098632I −= 4634084798Im 1 2 y y 4 max mm63,4084798I = 4 min mm 40,614908I = o619θ 1 2 5 m m 12 5 x C (18,75;43,75)mm 19,6º o max 6,19=θ o min 6,109=θ75 mm 12,5 mmx
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