Forcas Distribuidas - Momentos de Inercia

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Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas
Centro de TecnologiaCentro de Tecnologia
Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil
Disciplina: Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Mecânica dos Sólidos 1 
CódigoCódigo ECIV018ECIV018Código: Código: ECIV018ECIV018
Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages
Forças Distribuídas: Momentos Forças Distribuídas: Momentos 
de Inérciade Inérciade Inérciade Inércia
Maceió/ALMaceió/AL
MotivaçãoMotivação
M
MotivaçãoMotivação
Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas
dA
y M
dA y kdF =
y xy ∫= dFR ∫=
A
kydA ∫=
A
ydAk
xkQ= Ayk= 0= 0y =
∫= ydFM ∫=
A
2dAky ∫=
A
2dAy k
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas
1 2
ConsumindoConsumindo--se um se um mesmomesmo volume de material, é volume de material, é 
possívelpossível modificarmodificar a a rigidezrigidez à à flexãoflexão da da estruturaestrutura..
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Pressão sobre comportasPressão sobre comportas
x
Pressão sobre comportasPressão sobre comportas
∫= dFR ∫ γ= ydA ∫γ= ydA
dAdF γ
A A
xQγ= Ay γ=
dAydF γ=
y
dA
∫= ydFM ∫ γ=
A
2dAy ∫γ=
A
2dAy 
A A
Momento de Inércia ou Momento de Inércia ou 
Momento de 2ª OrdemMomento de 2ª Ordem
y
Momento de 2 OrdemMomento de 2 Ordem
y
y dA
Momento de inércia ou de 2a
ordem em relação ao eixo x
y
∫=
A
2
x dAyI
xx
A
Momento de inércia ou de 2ax
∫= 2y dAxI
ordem em relação ao eixo y
∫
A
y
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫= dAyI 2 ∫= dAxI 2∫= dAyIx ∫= dAxIy
Em princípio, para quantificação dos momentos p p , p q ç
de 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses 
são calculados a partir de integrais duplas no 
d míni p s nt ti d iã st d d domínio representativo da região estudada, 
onde se deve escrever o elemento infinitesimal 
de área dA de acordo com a r r m
conveniência das coordenadas
de descrição da região 
dtratada.
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de 
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
d
∫= dAyI 2xy dA=dxdy ∫ ∫=
d
c
b
a
2dxdyy
d
dx
dy
c
[ ]∫= d ba2 dyxy ( )∫ −= d 2dyyab
b
c
a
x
c c
( )
d3yab ⎥⎤⎢⎡ −=ba ( )
c3
⎥⎦⎢⎣
( )( )cdab 33 −−( )( )
3
cdab =
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de 
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
d
∫= dAxI 2yy dA=dxdy ∫ ∫=
d
c
b
a
2dxdyx
d
dx
dy
c
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
d b3
dy
3
x ∫ −= d 33 dy3 ab
b
c
a
x
⎦⎣c a3 c 3
d33
yab ⎥⎤⎢⎡ −=ba
c
y
3 ⎥⎦⎢⎣
( )( )cdab 33( )( )
3
cdab −−=
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de 
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= x
a
by0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫ dAyI 2
y
∫ ∫a
x
a
b
2dydxy
⎭⎩ a
dA=dxdy
b ∫= dAyIx ∫ ∫=
0 0
dydxy
⎤⎡a x
b
3 a 3d
a
x ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0
x
a
0
3
dx
3
y ∫= a
0
3
3
3
dxx
a3
bdx
dy
a
a4
3
3
4
x
3a
b ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
12
ab 
3
=
043a ⎦⎣ 12
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de 
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= x
a
by0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫ dAxI 2
y
∫ ∫a
x
a
b
2dydxx
⎭⎩ a
dA=dxdy
b ∫= dAxIy ∫ ∫=
0 0
dydxx
[ ]a b a bd
a
x
[ ]∫=
0
x
a
0
2 dxyx ∫=
0
3dxx
a
b
dx
dy
a
a4
4
x
a
b ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4
ba 
3
=
04a ⎦⎣ 4
Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de 
Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns
Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de 
Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de 
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= dAyI 2 ∫= eldI
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= dAyIx
∫= dAxI 2y
∫ xdI
∫= elydI
A idéia desta sistemática é considerar que a 
região de interesse é formada pela composição 
de infinitas fatias infinitesimais cujas formas 
correspondem a regiões cujo momento de 
inércia já é conhecido inércia já é conhecido. 
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de 
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
∫= dAyI 2x ∫= elxdI(x,y(x))
∫= b
a
3
dx
3
y(x)
a bdx ∫= dAxI 2y ∫= elydIx ∫y
∫= b 2y(x)dxx
∫ y
dx
3
)x(ydI
3
el
x =
dx)x(yxdI 2el = adx)x(yxdIy =
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo::pp
Determine por 
integração os momentos 
de inércia da superfície 
3a
hk =
de inércia da superfície 
mostrada em relação aos 
eixos coordenados em 
termos de a e h.
a a
h
3kx)x(y =
h
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
I ∫ ∫a h 2d d
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração dupla
=xI
⎤⎡a h3
∫ ∫
0 x
a
h
2
3
3
dydxy
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0 x
a
h
3
dx
3
y
3
3
⎞⎛a 33
a
∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
a
0
9
9
33
dxx
3a
h
3
h
a⎤⎡
hdxdx
dydy
a
0
10
9
33
10
x
3a
hx
3
h ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3
3
3 xa
h)x(y =
10
ah3 
3
=( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫ ∫a h 2dydxxExemploExemplo (continuação):(continuação): =I
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫ ∫
0 x
a
h 3
3
dydxxpp ( ç )( ç )
Por integração dupla (cont.)
=yI
[ ]∫= a
0
h
x
a
h2 dxyx 3
3a
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=
a
0
5
3
2 dxx
a
hhx
hdxdx
dydy
a
0
6
3
3
6
x
a
h
3
hx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=33 xa
h)x(y =
6
ha 
3
=( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xx dII
⎤⎡a 33
a ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
a
0
33
dx
3
)x(y
3
h
⎤⎡a 933 hh
h
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
a
0
9
933
dx
a3
xh
3
h
a⎤⎡
3
3 xa
h)x(y =
a
0
9
1033
a30
xh
3
xh ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3
( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= hyx
a
h e ax0|yx, D 33 10
ah3 
3
=
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= yy dII
a
a [ ]∫ −=
a
0
2 dx)x(yhx
⎞⎛a h
h
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= 0
3
3
2 dxx
a
hhx
a63 hh ⎤⎡
3
3 xa
h)x(y =
0
3
63
a6
hx
3
hx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
h3
( )⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= hyx
a
h e ax0|yx, D 33 6
ha 
3
=
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação): ∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xx dII
∫= h 2 dy)y(xy
a
∫=
0
dy)y(xy
∫h 3
7
dy
hh
3
1
h
ya)y(x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
∫=
0 3
1 dy
h
ya
h
3
10
y3 ⎤⎡
3
3 xa
h)x(y =
⎠⎝
0
3
1
3
h
y
10
3a ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
3
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤≤≤≤= 3
1
h
yax0 e hy0|yx, D
3ah
10
3 =
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação): ∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= yy dII
∫= h 3 dy)y(x
a
∫=
0
dy
3
∫h 3 dyya
hh
3
1
h
ya)y(x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
∫=
0
dy
h3
y
h23ya ⎥⎤⎢⎡3
3 xa
h)x(y =
⎠⎝
0h6
y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
ha3
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤≤≤≤= 3
1
h
yax0 e hy0|yx, D 6
ha =
Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
y
Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
∫= 20 dArJ
y
y dA Ay dA
r
xx0
Presente no estudo de Presente no estudo de 
barras sob torçãobarras sob torção
x
Momento Polar de Inércia Momento Polar de Inércia 
e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia
y
e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia
y
y dA
222 xyr +=
y dA
r ( )∫ += 220 dAxyJ
xx0
( )∫
A
0 y
∫∫ += 220 dAxdAyJx ∫∫ +
AA
0 dAxdAyJ
0 IIJ += yx0 IIJ +
Raios de GiraçãoRaios de Giração
y
Raios de GiraçãoRaios de Giração
∫ 2dAI
y dA
∫=
A
2
x dAyI
y dA
r
∫=
A
2
y dAxI
xx0
∫=
A
2
0 dArJ
x
Cada Cada raio de giraçãoraio de giração representa a distância ao representa a distância ao 
eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode 
A
eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode 
concentrar toda a área da superfície estudada de concentrar toda a área da superfície estudada de 
modo que se tenha o mesmo momento de inércia.modo que se tenha o mesmo momento de inércia.
Raios de Giração Raios de Giração kkxxRaios de Giração Raios de Giração kkxx
y
∫ 2
y dA
∫=
A
2
x dAyI
x0
r
Axx0 A
y
=xI Ak2x
xkx
x0 A
Ik xx =
Raios de Giração Raios de Giração kkyyRaios de Giração Raios de Giração kkyy
y
∫ 2
y dA
∫=
A
2
y dAxI
x0
r
Axx0 A
y
=yI Ak2y
yk
x0 A
I
k yy =
Raios de Giração kRaios de Giração k00Raios de Giração kRaios de Giração k00
y
∫ 2
y dA
∫=
A
2
0 dArJ
x0
r
A
xx0
y =0J Ak20
0k x0
A
Jk 00 =
Teorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos Paralelos
∫ 2dAIdA
∫ 2dAYCCC C
y ∫A
2dAy=CCI
=I
CEdyY +=
∫
A
dAYCCY
dCE
=EEI
( )∫ += 2CEEE dAdyI
E E
( )∫ ++= 2CECE2 dAdyd2y∫
A
( )∫
A
∫∫∫ ++=
A
2
CE
A
CE
A
2 dAdydAd2dAy
AdII 2CECCEE +=
AAA
AdQd2I 2CECCCECC ++=
0
Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de 
Superfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies Compostas
Quando se estiver interessado nos momentos de 
i é i d iõ ã id tifi d inércia de regiões que são identificadas como 
composições de regiões elementares, aplicam-se 
essas composições nas avaliações das integrais p g
referentes às propriedades desejadas.
∫
+
=
21 AA
2
x dAyI
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo::pp
Determine os momentos de inércia da superfície mostrada 
em relação aos eixos centroidais paralelo e perpendicular 
ao lado ABao lado AB.
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação do centróide
d C Eixo de Eixo de 
simetriasimetria
( ) 90455279075135135904575135d ⋅⎟⎞⎜⎛ +⎟⎞⎜⎛ ⋅
= -
( )
2
5,27
3
75135
22
75135d ⋅⎟⎠⎜⎝ +−⋅⋅=⎟⎠⎜⎝ −⋅
mm 70d =
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia
70 mm
y
xC
= - -= -
1 2 3
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia Ix
=xI 75135
3⋅ 5,2290 3⋅−
12
5,2290 3⋅−
4
x mm 4575234,4I =
x 12 12 12
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia Iy
⎤⎡ ⎞⎛ 13513575 23=yI ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅ 13575
2
13570
12
13575 3
⎪⎬
⎫⎪⎨
⎧
⎥⎤⎢⎡
⋅⎥⎤⎢⎡ ⎟⎞⎜⎛ +−+⋅− 905,225,279070905,222
23
4
y mm 14212968,8I =
⎪⎭
⎬⎪⎩
⎨ ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ ⎟⎠⎜⎝ ++ 25,27370362
Produto de InérciaProduto de Inércia
y
Produto de InérciaProduto de Inércia
y dA ∫= Axy xydAI
M
Flexão retaFlexão reta
xx
M
Flexão oblíquaFlexão oblíqua
Quando pelo menos um dos eixos cartesianos é de simetria, 
o produto de inércia é nulo.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de 
Inércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por Integração
∫= xydAI ∫= xydAIxy
Em princípio, para quantificação do produto de p p , p q ç p
inércia, esse é calculado a partir de integral 
dupla no domínio representativo da região 
st d d nd s d s l m nt estudada, onde se deve escrever o elemento 
infinitesimal de área dA de acordo com a 
conveniência das coordenadas
de descrição da região 
tratada.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de 
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
d
∫= xydAIxyy dA=dxdy ∫ ∫= d
c
b
a
xydxdy
d
dx
dy
c a
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
d b2
dyy
2
x ∫ −= d 22 ydy2 ab
b
c
a
x
∫ ⎦⎣c a2 ∫c 2( ) d222 yab ⎥⎤⎢⎡ −=
Neste caso, igual ao 
produto da área do 
ba
c4
⎥⎦⎢⎣
=
( )( )cdab 2222produto da área do retângulo pelas 
coordenadas do 
centróide do mesmo.
( )( )
4
cdab −−=
Determinação do Produto de Determinação do Produto de 
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= x
a
by0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫= xydAIxy
y
∫ ∫= a
x
a
b
xydydx
⎭⎩ a
dA=dxdy
b ∫y ∫ ∫
0 0
∫ ⎤⎡a
x
a
b
2xy ∫a 32bd
a
x
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0 0
dx
2
xy ∫=
0
3
2 dxxa2
b
a2 ⎤⎡ 22
dx
dy
a a
0
4
2
2
x
8a
b ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
8
ba 
22
=
Em geral, não é igual ao produto da área 
pelas coordenadas do centróide da mesma.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de 
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫ xydAI ∫ eldI
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= xydAIxy ∫= xydI
A idéia desta sistemática é considerar que a 
região de interesse é formada pela composição 
de infinitas fatias infinitesimais cujas formas 
correspondem a regiões cujo produto de 
inércia já é conhecido inércia já é conhecido. 
Determinação do Produto de Determinação do Produto de 
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
∫= xydAIxy ∫= elxydI(x,y(x))
∫= b
a
2
dx
2
y(x)x
a bdx
x
dx
2
)x(yxdI
2
el
xy =
Determinaçãodo Produto Determinação do Produto 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo::pp
Determine por 
integração o produto de 
inércia da superfície 
3a
hk =
inércia da superfície 
mostrada em relação aos 
eixos coordenados em 
termos de a e h.
a a
h
3kx)x(y =
h
Determinação do Produto Determinação do Produto 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
I ∫ ∫a h d d
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração dupla
=xyI
⎤⎡a h2
∫ ∫
0 x
a
h 3
3
xydydx
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0 x
a
h
2
dx
2
yx
3
3
⎞⎛a 722
a
∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
a
0
6
722
dx
2a
xh
2
xh
a⎤⎡
hdxdx
dydy
a
0
6
8222
16a
xh
4
xh ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
22
3
3 xa
h)x(y =
16
ha3 
22
=( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação do Produto Determinação do Produto 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xyxy dII
a
a [ ]∫ −=
a
0
22 dx
2
x)x(yh
⎤⎡a 722 hh
h
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
a
0
6
722
dx
a2
xh
2
xh
a8222 ⎤⎡
3
3 xa
h)x(y =
a
0
6
8222
a16
xh
4
xh ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
22
( ) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≤≤≤≤= hyx
a
h e ax0|yx, D 33 16
ha3 
22
=
Determinação do Produto Determinação do Produto 
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação): ∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xyxy dII
∫= h 2 dyy)y(x
a
∫=
0
dy
2
∫h 3
52
dya
hh
3
1
h
ya)y(x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
∫=
0 3
2 dy
h2
y
h
3
82ya3 ⎤⎡
3
3 xa
h)x(y =
⎠⎝
0
3
2
3
h16
ya3
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
22
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤≤≤≤= 3
1
h
yax0 e hy0|yx, D 16
ha3 
22
=
Teorema dos Eixos Paralelos Teorema dos Eixos Paralelos 
para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia
∫ ′′ dAyx=′′yxI
para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia
y'y
dA
∫ xydAx'y'
∫
A
yyx
=xyIx
x'
xxx
′
+′=
∫
A
x
y
CC
y
x
( )( )∫ +′+′=xy dAyyxxI
yyy +′=
x
( )∫ +′+′+′′= dAyxyxyxyx( )( )∫
A
xy yy ( )∫
A
yyyy
∫∫∫∫ +′+′+′′=
AAAA
dAyxdAyxdAxydAyx
AyxII yxxy += ′′
AAAA
AyxQxQyI xyyx +++= ′′′′
0 0
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
y
dA
y
dA
∫
∫
A
2dAy=xI
∫
∫ ′
A
2dAy=′xI
∫ xydA ∫ ′′ dAyx=′′I=I
∫
A
2dAx=yI ∫ ′
A
2dAx=′yI
θ+θ−=′θ+θ=′ cosysinxy e sinycosxx
∫
A
xydA ∫
A
dAyx′′yxIxyI
xx
θ
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx
θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2y2xy yyy
θ+θ−=′′ 2cosI2sin2
II
I xy
yx
yx
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx
θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2y2xy yyy
θ+θ−=′′ 2cosI2sin2
II
I xy
yx
yx0
A soma dos momentos de inércia independe do ângulo de giro do 
sistema de referência, ou seja,
IIII +=+ J=yxyx IIII +=+ ′′
Isso é fato pois a soma dos momentos de inércia leva ao momento 
polar de inércia, que depende apenas do ponto referente
à origem do sistema de referência que não foi modificado
0J=
à origem do sistema de referência, que não foi modificado.
Vamos fazer uso dessa identidade para estabelecer Iy’
sem fazer uso da expressão que depende do ângulo θ.
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx
II θ+θ−=′′ 2cosI2sin2
II
I xy
yx
yx
As equações de Ix’ e Ix’y’ definem 
parametricamente uma circunferência para parametricamente uma circunferência para 
um sistema de coordenadas retangulares com 
Ix’ de abscissa e Ix’y’ de ordenada, para um 
l d d d valor dado de θ.
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
I ( )yxI ′′
xyI θ2
( )yxx I,I ′′′
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2y2xx xI ′I
yI
R
θ2
I
θ+θ−=′′ 2cosI2sin2
II
I xy
yx
yx
xI
xyI−
medI
JII + 2II ⎞⎛ −
2
J
2
II
I 0yxmed =+= 2xyyx I2
II
R +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=e
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′
I
xyI
R
θ2
2
J
2
II
I 0yxmed =+=
xI ′
xI
yI
medI
22
2
xy
2
yx I
2
II
R +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
AB
xyI−
xy2 ⎟⎠⎜⎝
Os pontos A e B são os que apresentam, 
respectivamente, o maior e o menor valor do momento 
de inércia, também denominados momentos principais 
d i é i d d de inércia, dados por
RII RII medminmedmax −=+= e
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′
I
xyI
R
θ2
2
J
2
II
I 0yxmed =+=
xI ′
xI
yI
medI
22
2
xy
2
yx I
2
II
R +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
AB
xyI−
xy2 ⎟⎠⎜⎝
Ainda em relação aos pontos A e B, o produto de inércia 
é nulo, o que permite determinar as orientações dos 
eixos principais de inércia
02cosI2sin
2
II
 0I mxym
yx
yx =θ+θ−∴=′′
yx
xy
m II
I2
2tan −−=θ
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo::
Inércia PrincipaisInércia Principais
m
mpp
Para a cantoneira em L 
mostrada, determine a 
i ã d i 
1
2
,
5
 
m
orientação dos eixos 
centroidais e principais de 
inércia, bem como os 
respectivos valores do 
momento de inércia.
1
2
5
 
m
m
1
75 mm
12,5 mm
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principais
pp ( ç )( ç )
1
2
,
5
 
m
m
y mm75,18x =
( ) 69,3417963,9765x25,7815,1562 +=+
m
m 1 mm 75,43y =
( ) 81,488225,97656y25,7815,1562 +=+
1
2
5
 
m
12,5 mmx
2 4
x mm 95,3692626I =
34,110880561,2583821Ix +=
4074259468264485I +75 mm x
4
y mm 08,1007080I =
40,74259468,264485Iy +=
8873242194366210I
4
yx mm 81,1098632I −=
88,73242194,366210I yx −−=
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principais
pp ( ç )( ç )
2
,
5
 
m
m
y
4
x mm 95,3692626I =
4081007080I
m
1
2
y 4
y mm08,1007080I =
4
yx mm 81,1098632I −=
y
4522349853I
1
2
5
 
m
m
12 5 
x
C (18,75;43,75)mm
4
med mm52,2349853I =
4mm 12,1734945R =
4mm634084798I =
75 mm
12,5 mmx
max mm63,4084798I =
4
min mm 40,614908I =
o6,19=θmax 6,19θ
o
min 6,109=θ
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de 
Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principais
pp ( ç )( ç )
4
x mm 95,3692626I =
4081007080I2
,
5
 
m
m
y 4
y mm08,1007080I =
4
yx mm 81,1098632I −=
4634084798Im
1
2
y
y
4
max mm63,4084798I =
4
min mm 40,614908I =
o619θ
1
2
5
 
m
m
12 5 
x
C (18,75;43,75)mm
19,6º 
o
max 6,19=θ
o
min 6,109=θ75 mm
12,5 mmx