Derivada_Definição

Prévia do material em texto

Capítulo 4
DERIVADA
4.1 Introdução
Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a
variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos.
Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posterior-
mente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao
seu significado geométrico.
4.2 Reta Tangente
Seja:
f : D ⊂ R −→ R
uma função definida num domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de
intervalos abertos, ou ainda, D tal que para todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha:
I ∩ (D − {x0}) 6= ∅.
Considere P = (x0, f(x0)) e Qi = (xi, f(xi)) (i = 1, 2, 3......) pontos no gráfico de f , P 6= Qi;
seja r1 a reta secante que passa por P e Q1; seu coeficiente angular é:
m1 =
f(x1)− f(x0)
x1 − x0 .
Fixemos o ponto P e movamos Q1 sobre o gráfico de f em direção a P , até um ponto Q2 =
(x2, f(x2)) tal que Q2 6= P ; seja r2 a reta secante que passa por P e Q2; seu coeficiente angular
é:
m2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0 .
Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3......) vão se aproximando sucessivamente do ponto P
(mas sem atingir P ), ao longo do gráfico de f ; repetindo o processo obtemos r1, r2, r3, ..., retas
secantes de coeficientes angularesm1, m2, m3, ..., respectivamente.
É possível provar, rigorosamente, que quando os pontosQi vão se aproximando cada vez mais
de P , os mi respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que
denotaremos pormx0 .
147
148 CAPÍTULO 4. DERIVADA
P
x x x x x
Q
Q
Q Q
r
r
r
r
f(x)
n
1
2
3
n 3 2 10
n
3
2
1
Figura 4.1:
Definição 4.1. A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente angular mx0 , é chamada reta
tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).
Se
mx0 = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
existe, fazendo a mudança t = x− x0, temos:
mx0 = lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
.
Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico de f para qualquer ponto (x, f(x)):
mx = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
Assim,mx só depende x.
Definição 4.2. Se f for contínua em x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = mx0 (x− x0)
se o limite existe,
Exemplo 4.1.
[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 4− x2, no ponto (1, 3).
4.2. RETA TANGENTE 149
Denotemos porm1 o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = 4− x2 passando pelo
ponto (1, f(1)) = (1, 3). Seja P = (1, 3) e Q = (x0, 4 − x20) pontos da parábola; o coeficiente
angular da reta secante à parábola passando por P e Q é:
mPQ =
f(x0)− f(1)
x0 − 1 = −(x0 + 1).
Q
1
P
x0
Figura 4.2:
Do desenho, é intuitivo que seQ aproxima-se de P (x0 aproxima-se de 1), os coeficientes angu-
lares de ambas as retas ficarão iguais; logo:
m1 = lim
x0→1
mPQ = −2.
A equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto (1, 3) é y − 3 = −2 (x− 1) ou, equivalen-
temente, y + 2x = 5.
-1 1 2
1
2
3
4
Figura 4.3: Reta tangente a y = 4− x2, no ponto (1, 3).
[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) =
1
x
, no ponto (12 , 2).
Sejam 1
2
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y =
1
x
passando pelo ponto
(
1
2
, 2). Seja P = (
1
2
, 2) e Q =
(
x0,
1
x0
)
pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à
150 CAPÍTULO 4. DERIVADA
curva passando por P e Q é:
mPQ =
f(x0)− f
(1
2
)
x0 − 1
2
= − 2
x0
.
1/2 0
P
Q
x
Figura 4.4:
Novamente do desenho, é intuitivo que se Q aproxima-se de P
(
x0 aproxima-se de
1
2
)
os coe-
ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:
m 1
2
= lim
x0→ 12
mPQ = −4.
A equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto (12 , 2) é y − 2 = −4 (x− 12) ou, equivalen-
temente, y + 4x = 4.
0.5
4
Figura 4.5: Reta tangente a y = 1
x
, no ponto (12 , 2).
[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 − x + 1, no ponto (1, 1).
Utilizemos agora diretamente a definição:
lim
t→0
f(1 + t)− f(1)
t
= lim
t→0
t (t2 + 3 t + 2)
t
= lim
t→0
(t2 + 3 t+ 2) = 2.
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 151
Logom1 = 2. A equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto (1, 1) é y − 2x = −1.
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
Figura 4.6: Exemplo [3].
Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = − 1
mx0
(
x− x0
)
, se mx0 6= 0
4.3 Funções Deriváveis
Definição 4.3. Seja f : D −→ R uma função definida num domínio D que pode ser um inter-
valo aberto ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda,D tal que para todo intervalo aberto
I que contenha x0, se tenha: I ∩ (D − {x0}) 6= ∅. f é derivável ou diferenciável no ponto x0
quando existe o seguinte limite:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
Observação 4.1.
Fazendo a mudança t = x− x0, temos:
f ′(x0) = lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
.
f ′(x0) é chamada a derivada de f no ponto x0. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos
calcular a derivada de f para qualquer ponto x ∈ Dom(f);
f ′(x) = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
Assim f ′ é função de x e f ′(x0) ∈ R.
Definição 4.4. Uma função f é derivável (ou diferenciável) em A ⊂ R, se é derivável ou dife-
renciável em cada ponto x ∈ A.
152 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Outras notações para a derivada de y = y(x) são:
dy
dx
ou Dxf.
Exemplo 4.2.
[1] Calcule f ′(
1
4
) e f ′(2), se f(x) = x2.
f ′(x) = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
= lim
t→0
(x+ t)2 − x2
t
= lim
t→0
(2x + t) = 2x.
Logo, f ′(
1
4
) =
1
2
e f ′(2) = 4.
[2] Calcule f ′(
1
2
) se f(x) =
√
1− x2.
f ′(x) = lim
t→0
√
1− (x + t)2 −√1− x2
t
= lim
t→0
− 2x + t√
1− (x+ t)2 +√1− x2 = −
x√
1− x2 .
Logo, f ′(
1
2
) = −
√
3
3
.
[3] Calcule f ′(1) se f(x) = 4− x2.
f ′(x) = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
= lim
t→0
− t (t+ 2x)
t
= lim
t→0
−(t+ 2x) = −2x.
Logo, f ′(1) = −2.
[4] Calcule f ′(
1
2
) se f(x) =
1
x
.
f ′(x) = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
= lim
t→0
1
x+ t
− 1
x
t
= lim
t→0
−1
x2 + x t
= − 1
x2
.
Logo, f ′(
1
2
) = −4.
4.4 Interpretação Geométrica
A função F : (D − {x0}) −→ R, definida por
F (x) =
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f passando
pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)).
Logo, quando f é derivável no ponto x0, a reta de coeficiente angular f ′(x0) e passando pelo
ponto (x0, f(x0)) é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).
4.4. INTERPRETAÇÃOGEOMÉTRICA 153
Se f admite derivada no ponto x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = f ′(x0) (x− x0)
A equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = − 1
f ′(x0)
(x− x0), se f ′(x0) 6= 0
Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).
Exemplo 4.3.
[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no
ponto de abscissa x0 = 1.
Se x0 = 1 então f(x0) = 2; logo, a reta tangente passa pelo ponto (1, 2) e seu coeficiente angular
é f ′(1). Temos:
f ′(x) = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
= lim
t→0
(x + t)2 + 1− (x2 + 1)
t
= 2x.
f ′(1) = 2 e as respectivas equações são: y − 2x = 0 e 2 y + x− 5 = 0.
-1 1
1
2
3
Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).
154 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) =
√
x que seja paralela à reta
2x− y − 1 = 0.
Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto (x0, y0) e do coeficiente
angularf ′(x0). Neste problema, temos que determinar um ponto.
Sejam rt a reta tangente, r a reta dada,mt em os correspondentes coeficientes angulares; como
rt e r são paralelas, então mt = m; mas m = 2 e mt = f ′(x0), onde x0 é a abscissa do ponto
procurado; como:
f ′(x0) =
1
2
√
x0
,
resolvendo a equação f ′(x0) = 2, obtemos x0 =
1
16
e f(
1
16
) =
1
4
; a equação é 16x− 8 y + 1 = 0.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico de f(x) =
√
x paralela à reta 2x− y − 1 = 0.
[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x) =
x3
3
− 1 que sejam perpen-
diculares à reta y + x = 0.
Sejam rt a reta tangente, r a reta dada,mt em os correspondentes coeficientes angulares; como
rt e r são perpendiculares, entãomtm = −1; masm = −1 emt = f ′(x0), onde x0 é a abscissa do
ponto procurado; resolvendo a equação f ′(x0) = 1, temos f ′(x0) = x20 e x0 = ±1; as equações
são: 3 y − 3x + 5 = 0 e 3 y − 3x + 1 = 0.
-2 -1 1 2
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 4.10: Exemplo [3].
4.4. INTERPRETAÇÃOGEOMÉTRICA 155
Teorema 4.1. Se f é derivável em x0 então f é contínua em x0.
Para a prova veja o apêndice.
Exemplo 4.4.
Seja f(x) = |x|. f é contínua em todo R; em particular em x0 = 0. Mas a derivada de f em 0
não existe; de fato:
f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0
|x|
x
.
Calculemos os limites laterais:

lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0
(x
x
)
= 1
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0
−(x
x
)
= −1.
Logo, f ′(0) não existe. Para x ∈ R− {0}, f ′(x) existe e:
f ′(x) =
{
1 se x > 0
−1 se x < 0.
Observações 4.1.
1. Do teorema segue que não existe a derivada de f no ponto
2. Não existe a derivada de f no ponto x0, se existe "quina"no gráfico da função contínua
no ponto de abscissa x0, como no ponto x0 = 0 do exemplo anterior.
3. Também não existe a derivada de f no ponto x0, se f é contínua em x0 e se possui reta
tangente vertical passando pelo ponto de abscissa x0. Neste caso,:
lim
x→x0
|f ′(x)| = ∞.
Figura 4.11: Funções não deriváveis.
156 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Exemplo 4.5.
[1] Seja f(x) =

x
2 sen(
1
x
) se x 6= 0
0 se x = 0.
f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0 (x sen(
1
x
)) = 0;
logo, a derivada em 0 existe; então, f é contínua em 0.
[2] f(x) = 3
√
x é contínua em todo R e não é diferenciável em x = 0. De fato:
f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0
1
3
√
x2
= +∞.
-2 -1 1 2
-1
1
Figura 4.12: Gráfico do exemplo [2].
[3] Determine as constantes a e b tais que:
f(x) =
{
ax3 se x < 2
x2 + b se x ≥ 2
seja derivável.
Devemos calcular:
f ′(2) = lim
x→0
f(x+ 2)− f(2)
x
.
Devemos determinar os limites laterais:

lim
x→0−
f(x+ 2)− f(2)
x
= lim
x→0
12 ax + 6 ax2 + ax3
x
= lim
x→0
(
12 a + 6 ax + ax2
)
= 12 a
lim
x→0+
f(x+ 2)− f(2)
x
= lim
x→0
4x+ x2
x
= lim
x→0
(
4 + x
)
= 4.
Logo, devemos ter 12 a = 4, então a =
1
3
. Por outro lado, f deve ser contínua em x0 = 2; isto é:
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) ⇐⇒ 8 a = 4 + b⇐⇒ b = −4
3
.
4.5. REGRAS DE DERIVAÇÃO 157
A função deve ser definida por:
f(x) =


x3
3
se x < 2
x2 − 4
3
se x ≥ 2
Note que f(2) =
8
3
.
-1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
Figura 4.13: Gráfico do exemplo [3].
4.5 Regras de Derivação
[1] Se u(x) = c, então u′(x) = 0.
[2] Se u(x) = mx+ b; m, b ∈ R em 6= 0, então u′(x) = m.
De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto;
logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,
u(x + t)− u(x)
t
=
mt
t
= m.
[3] Se u(x) = xn; n ∈ N, então u′(x) = nxn−1.
De fato: u(x+ t)− u(x) = xn + t [nxn−1 + t (n (n−1)2 xn−2 t..... + tn−2)]− xn e:
u′(x) = lim
t→0
u(x + t)− u(x)
t
= lim
t→0
(x+ t)n − xn
t
= lim
t→0
t
[
nxn−1 + t
(n (n−1)
2 x
n−2 t..... + tn−1
)]
t
= nxn−1.
Proposição 4.1. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis; então:
158 CAPÍTULO 4. DERIVADA
1. Regra da soma: As funções u± v são deriváveis e
(u± v)′(x) = u′(x)± v′(x)
2. Regra do produto: A função u · v é derivável e
(u · v)′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
3. Regra do quociente: A função
u
v
é derivável, e
(
u
v
)′
(x) =
u′(x) · v(x)− u(x) · v′(x)
(v(x))2
se v(x) 6= 0
Veja as provas no apêndice.
Da regra do produto temos: (k u(x))′ = k u′(x), para toda constante k. Da regra do quociente,
temos: se u(x) = xn, x 6= 0, com n < 0, então u′(x) = nxn−1.
Exemplo 4.6.
[1] Calcule u′(x), sendo u(x) =
x4 + 3x+ 1
x5
; x 6= 0.
Note que: u(x) = x−1 + 3x−4 + x−5, temos:
u′(x) = (x−1 + 3x−4 + x−5)′ = −x−2 − 12x−5 − 5x−6.
[2] Calcule u′(x) sendo u(x) = (x3 + 2x + 1) (2x2 + 3).
Aplicando diretamente as regras:
u′(x) = ((x3 + 2x + 1))′ (2x2 + 3) + (x3 + 2x + 1) ((2x2 + 3))′
e u′(x) = 10x4 + 21x2 + 4x+ 6.
[3] Calcule u′(x), sendo u(x) =
x2 + x
x3 + 1
.
u′(x) =
(x2 + x
x3 + 1
)′
=
(x2 + x)′(x3 + 1) − (x2 + x)(x3 + 1)′
(x3 + 1)2
;
logo, u′(x) =
−x4 − 2x3 + 2x + 1
(x3 + 1)2
=
1− x2
(x2 − x+ 1)2 .
[4] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x) = x2 − 3x e que passa pelo
ponto (3,−4).
O ponto dado não pertence ao gráfico de f . Por outro lado a equação da reta tangente ao gráfico
de f no ponto (x0, f(x0)) é
4.5. REGRAS DE DERIVAÇÃO 159
y(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0),
onde f ′(x0) = 2x0 − 3 e f(x0) = x20 − 3x0. O ponto (3,−4) pertence à reta tangente, logo,
obtemos:
−4 = y(3) = x20 − 3x0 + (2x0 − 3)(3− x0) = −x20 + 6x0 − 9.
Resolvendo a equação, obtemos: x0 = 1 e x0 = 5. Então, as equações obtidas são:
y + x+ 1 = 0 e y − 7x + 25 = 0.
-6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
10
15
20
25
30
Figura 4.14: Exemplo [4].
[5] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de g(x) = x3 − x, paralelas à reta
y − 2x = 0.
O coeficiente angular da reta tangente no ponto x0 é g′(x0) = 3x20 − 1 e deve ser igual ao
coeficiente angular da reta dada; então 3x20 − 1 = 2; logo, x0 = ±1. As equações das retas
tangentes são:
y − 2x + 2 = 0 e y − 2x− 2 = 0.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 4.15: Exemplo [5].
160 CAPÍTULO 4. DERIVADA
4.6 Derivada da Função Composta
Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão:
u(x) = (x9 + x6 + 1)1000
com as regras dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessiva-
mente a regra da soma ou escrever como produto de 1000 polinômios e usar a regra do produto.
Como ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função.
Seja g(x) = x1000 e f(x) = x9 + x6 + 1; é claro que u(x) = (g ◦ f)(x).
Logo, se soubermos derivar a composta de funções o problema estará resolvido.
O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta g ◦ f em termos das derivadas
de f e g, que em geral, são mais simples.
Teorema 4.2. (Regra da Cadeia) Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem definida. Se f é
derivável em x e g é derivável em f(x), então g ◦ f é derivável em x e:
(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x)
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do
teorema, temos que:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
Para a prova, veja o apêndice.
Aplicação:
Seja v(x) = (u(x))n, onde n ∈ Z. Então:
v′(x) = n (u(x))n−1 u′(x).
Exemplo 4.7.
[1] Calcule v′(x) se v(x) = (x9 + x6 + 1)1000.
Neste caso u(x) = x9 + x6 + 1; logo, u′(x) = 9x8 + 6x5 e n = 1000; então:
v′(x) = ((u(x))1000)′ = 1000 (u(x))999 u′(x) = 1000 (x9 + x6 + 1)999 (9x8 + 6x5).
[2] Calcule
dy
dt
se y = g(x) = x3 + x+ 1 e x = x(t) = t2 + 1.
Pela regra da cadeia:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
=2 t (3x2 + 1) = 6 t (t2 + 1)2 + 2 t.
4.6. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 161
[3] Seja g uma função derivável e h(x) = g(x2 + 1). Calcule h′(1) se g′(2) = 5.
Observemos que h(x) = (g ◦ f)(x), onde f(x) = x2 + 1; pela regra da cadeia:
h′(x) = g′(f(x)) f ′(x),
e f ′(x) = 2x. Logo, h′(x) = g′(x2 + 1) 2x. Calculando a última expressão em x = 1, temos que:
h′(1) = 2 g′(2) = 10.
[4] Se y = u3 + u2 + 3 e u = 2x2 − 1, calcule dy
dx
.
Pela regra da cadeia:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 4x (3u2 + 2u) = 4x (3 (2x2 − 1)2 + 2 (2x2 − 1))
= 4 (12x5 − 8x3 + x);
ou, fazemos a composta das funções:
y = u3 + u2 + 3 = (2x2 − 1)3 + (2x2 − 1)2 + 3 e y′ = 4 (12x5 − 8x3 + x).
[5] Determine f ′(1) se f(x) = h(h(h(x))), h(1) = 1 e h′(1) = 2.
Pela regra da Cadeia:
f ′(x) = h′(x)h′(h(x))h′(h(h(x)));
logo, f ′(1) = 8.
4.6.1 Teorema da Função Inversa
A seguir apresentamos um dos teoremas fundamentais em Matemática, o qual garante a exis-
tência da inversa derivável de uma função derivável. A prova deste teorema fica fora dos
objetivos deste livro.
Teorema 4.3. (Função Inversa): Seja f uma função definida num intervalo aberto I . Se f é
derivável em I e f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I , então f possui inversa f−1 derivável e:
(f−1)′(x) =
1
f ′(f−1(x))
Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada.
A fórmula pode ser obtida diretamente da regra da cadeia. De fato, (f ◦ f−1)(x) = x para todo
x ∈ I . Derivando ambos os lados, temos que:
(f ◦ f−1)′(x) = f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x) = 1.
162 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Exemplo 4.8.
[1] Seja f(x) = x2, x ≥ 0; logo sua inversa é f−1(x) = √x e f ′(x) = 2x 6= 0 se x 6= 0; logo:
f ′(f−1(x)) = 2
√
x.
Aplicando o teorema:
(f−1)′(x) =
1
2
√
x
, x 6= 0.
[2] Seja f(x) = x3; logo sua inversa é f−1(x) = 3
√
x e f ′(x) = 3x2 6= 0 se x 6= 0;
f ′(f−1(x)) = 3
3
√
x2.
Aplicando o teorema:
(f−1)′(x) =
1
3
3
√
x2
, x 6= 0.
[3] Se n ∈ N, então:
( n
√
x)′ =
x
1
n
−1
n
,
para todos os valores de x tais que n
√
x seja definida.
De fato, seja u(x) = xn; para n par, x > 0 e para n ímpar, x não tem restrições; a inversa de u é
u−1(x) = n
√
x e u′(x) = nxn−1; u′(x) 6= 0 se x 6= 0. Aplicando o teorema, temos:
(
n
√
x
)′
= (u−1(x))′ =
1
u′(u−1(x))
=
x
1
n
−1
n
.
Em geral, pela regra da cadeia, se u = u(x) é uma função derivável e:
v(x) = (u(x))α, α ∈ Q;
então:
v′(x) = α (u(x))α−1 u′(x).
[4] Calcule f ′(x), se f(x) =
√
x2 + 1.
Escrevemos f = g ◦ h, onde g(x) = √x e h(x) = x2 + 1; logo, g′(x) = 1
2
√
x
e h′(x) = 2x; então:
f ′(x) = g′(h(x))h′(x) =
x√
x2 + 1
.
[5] Determine f ′(0), se f(x) = h(x) 4
√
h(x) + 1, h(0) = 0 e h′(0) = 1.
Pela regra da cadeia:
f ′(x) =
h′(x) (4 + 5h(x))
4 4
√
(1 + h(x))3
;
logo, f ′(0) = 1.
4.7. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 163
4.7 Derivadas das Funções Elementares
A seguir apresentamos as regras de derivação para as funções elementares.
4.7.1 Função Exponencial
Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1 e u(x) = ax Então,
u′(x) = ln(a) ax
De fato, u′(x) = lim
t→0
ax+t − ax
t
= ax lim
t→0
at − 1
t
= ln(a) ax. Em particular, se a = e, temos :
(ex)′ = ex
Seja v = v(x) uma função derivável e considere a função: u(x) = av(x) Então:
u′(x) = ln(a) av(x) v′(x)
De fato, av(x) = ev(x)ln(a); usando a regra da cadeia para g(x) = ex e f(x) = v(x) ln(a), temos
que u(x) = (g ◦ f)(x); então g′(x) = ex e g′(f(x)) = ev(x)ln(a) = av(x) e f ′(x) = v′(x) ln(a); logo,
em particular,
(ev(x))′ = ev(x) v′(x)
O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função
Q(t) = Q0 e
kt, (k 6= 0)
tem a propriedadeQ′(t) = kQ(t), isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, isto é o
que caracteriza a função exponencial.
Figura 4.16: Nos desenhos, a função exponencial em azul e sua derivada em vermelho; para
0 < a < 1 e a > 1, respectivamente.
Exemplo 4.9.
164 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[1] Seja y = e
√
x.
Fazendo v(x) =
√
x, temos y′ = (ev(x))′ = ev(x) v′(x) =
e
√
x
2
√
x
.
[2] Seja y =
(1
2
) 1
x .
Fazendo v(x) =
1
x
, temos y′ = −ln(2) (1
2
) 1
x v′(x) = ln(2)
(1
2
) 1
x
1
x2
.
[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função y = e−x
2
no ponto de abscissa 1.
Derivando y′ = −2x e−x2 ; y′(1) = −2 e−1 e y(1) = e−1; logo, a equação da reta tangente
passando pelo ponto (1, y(1)), é:
y + 2x e−1 − 3 e−1 = 0.
-1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Figura 4.17: A reta tangente a y = e−x
2
, no ponto de abscissa 1.
4.7.2 Função Logarítmica
Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1 e u(x) = loga(x) .
Usando o teorema da função inversa para f−1 = u e f(x) = ax, temos que:
u′(x) =
loga(e)
x
De fato, u′(x) =
1
f ′(f−1(x))
=
1
x ln(a)
=
loga(e)
x
. Em particular, se a = e:
(ln(x))′ =
1
x
Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de u(x) = loga(v(x)) onde v(x) > 0 é uma
função derivável. Em tal caso:
4.7. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 165
u′(x) =
loga(e) v
′(x)
v(x)
Em particular, se a = e:
(ln(v(x)))′ =
v′(x)
v(x)
1
1
Figura 4.18: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para 0 < a < 1 e a > 1,
respectivamente.
4.7.3 Algumas Propriedades
(a) Para todo α ∈ R, se u(x) = xα, x > 0; então:
u′(x) = (xα)′ = αxα−1.
De fato, aplicando logaritmo à expressão y = u(x) = xα: temos, ln(y) = ln(u(x)) = α ln(x);
derivando:
[ln(y)]′ =
u′(x)
u(x)
=
y′
y
;
ou seja,
y′
y
=
α
x
; logo,
y′ = y
[
α
x
]
=
αxα
x
= αxα−1.
Observação 4.2.
Em geral, se u(x) = [v(x)]α , onde v(x) > 0 e α ∈ R, temos:
u′(x) = α (v(x))α−1 v′(x)
166 CAPÍTULO 4. DERIVADA
(b) Seja y = [u(x)]v(x) , onde u(x) > 0. Aplicando logaritmo à expressão:
y = [u(x)]v(x);
temos que, ln(y) = v(x) ln(u(x)). Derivando, temos:
y′
y
= v′(x) ln(u(x)) +
u′(x) v(x)
u(x)
e y′(x) = y(x)
[
v′(x) ln(u(x)) +
u′(x) v(x)
u(x)
]
.
Então, se y = (u(x))v(x):
y′ = [u(x)]v(x)
[
v′(x) ln(u(x)) +
u′(x) v(x)
u(x)
]
Exemplo 4.10.
[1] Calcule a derivada de y = 3
√
x + x−5 + 2 4
√
x3, x > 0.
Aqui α =
1
2
, α = −5 e α = 34 , respectivamente; logo: y′ =
3
2
x−
1
2 − 5x−6 + 3
2
x−
1
4 .
[2] Calcule a derivada de y =
√
x e
√
x
(x2 + x+ 1)4
.
Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
ln(y) = ln(
√
x) + ln(e
√
x)− 4 ln(x2 + x+ 1) = ln(x)
2
+
√
x− 4 ln(x2 + x+ 1).
Derivando:
y′
y
=
1
2x
+
1
2
√
x
− 8x + 4
x2 + x+ 1
,logo:
y′ = y(x)
[
1
2x
+
1
2
√
x
− 8x + 4
x2 + x+ 1
]
=
√
x e
√
x
(x2 + x + 1)4
[
1
2x
+
1
2
√
x
− 8x+ 4
x2 + x+ 1
]
.
[3] Calcule a derivada de y = xx, x > 0.
Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
ln(y) = x ln(x). Derivando:
y′
y
= ln(x) + 1 e,
y′ = y(x) (ln(x) + 1) = (ln(x) + 1) xx.
[4] Calcule a derivada de y = x
√
x, x > 0.
Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
ln(y) = ln(x)
√
x. Derivando:
y′
y
=
ln(x)
2
√
x
+
1√
x
, logo:
y′ = y(x)
[
ln(x)
2
√
x
+
1√
x
]
=
[
ln(x) + 2
2
√
x
]
x
√
x.
4.7. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 167
[5] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = xx
2
, (x > 0) no ponto de abscissa
x0 = 1.
Aplicando logaritmo a ambos os lados de y = xx
2
, temos que: ln(y) = x2 ln(x); derivando,
obtemos:
y′ = y (2x ln(x) + x) = xx
2+1 (2 ln(x) + 1) =⇒ y′(1) = 1
e a equação da reta tangente é y − x = 0.
1
1
Figura 4.19: Gráfico de f(x) = xx
2
.
[6] Seja f(x) = ln(x). Sabendo que f ′(1)= 1, verifique que: lim
t→0
(t + 1)
1
t = e.
f ′(1) = lim
t→0
f(t+ 1)− f(1)
t
= lim
t→0
ln(t+ 1)
t
= lim
t→0
ln((t + 1)
1
t ) = ln
[
lim
t→0
(t + 1)
1
t
]
;
então, 1 = ln
[
lim
t→0
(t+ 1)
1
t
]
; logo:
lim
t→0
(t+ 1)
1
t = e.
Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:
[1] y = k, então y′ = 0.
[2] y = x, então y′ = 1.
[3] y = k v(x), então y′ = k v′(x).
[4] y = u(x)± v(x), então y′ = u′(x)± v′(x).
[5] y = u(x) · v(x), então y′ = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x).
[6] y =
u(x)
v(x)
, v(x) 6= 0, então y′ = u
′(x) · v(x)− u(x) · v′(x)
(v(x))2
.
168 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[7] y = au(x), então y′ = au(x) · ln(a) · u′(x).
[8] y = eu(x), então y′ = u′(x) eu(x)
[9] y = loga(u(x)), então y′ = loga(e)
u′(x)
u(x)
.
[10] y = ln(u(x)), então y′ =
u′(x)
u(x)
.
[11] y = (u(x))α, α ∈ R, então y′ = α (u(x))α−1 u′(x).
[12] Seja y = (u(x))v(x), onde u(x) > 0, então:
y′ = (u(x))v(x)
[
v′(x) ln(u(x)) +
u′(x) v(x)
u(x)
]
.
4.7.4 Funções Trigonométricas
Se y = sen(x), então sen(x+ t)− sen(x) = 2 sen(u) cos(x + u), onde u = t
2
. Logo:
y′(x) = lim
t→0
sen(x+ t)− sen(x)
t
= lim
u→0
sen(u) cos(x + u)
u
= lim
u→0
sen(u)
u
cos(x+ u)
= cos(x)
onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se y = cos(x), sabendo que
cos(x) = sen(
pi
2
− x) e utilizando a regra da cadeia com u(x) = pi
2
− x, temos:
y′ = cos(u(x))u′(x) = −cos(pi
2
− x) = −sen(x).
Se y = tg(x), sabendo que tg(x) =
sen(x)
cos(x)
e utilizando a regra do quociente, temos:
y′ =
cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)
= sec2(x).
Se y = sen(x), então y′ = cos(x).
Se y = cos(x), então y′ = −sen(x)
Se y = tg(x), então y′ = sec2(x)
Se y = cotg(x), então y′ = −cosec2(x)
Se y = sec(x), então y′ = tg(x) sec(x)
Se y = cosec(x), então y′ = −cotg(x) cosec(x).
4.7. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 169
Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:
[13] Se y = sen(u(x)), então y′ = cos(u(x))u′(x).
[14] Se y = cos(u(x)), então y′ = −sen(u(x))u′(x).
[15] Se y = tg(u(x)), então y′ = sec2(u(x))u′(x).
[16] Se y = cotg(u(x)), então y′ = −cosec2(u(x))u′(x).
[17] Se y = sec(u(x)), então y′ = tg(u(x)) sec(u(x)) · u′(x).
[18] Se y = cosec(u(x)), então y′ = −cotg(u(x)) cosec(u(x))u′(x).
Exemplo 4.11.
[1] Se y = sen(αx), α ∈ R.
Fazendo u(x) = αx, temos u′(x) = α; utilizando a tabela, temos que:
y′ = α cos(αx).
Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.
[2] Seja y = senβ(αx), onde α, β ∈ R− {0}.
Fazendo y = senβ(αx) = (sen(αx))β , derivando como uma potência e usando o exercício
anterior, temos:
y′ = β α senβ−1(αx) cos(αx).
Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.
[3] Seja y = tg(sen(x)).
Fazendo u(x) = sen(x), temos u′(x) = cos(x); logo, temos que:
y′ = cos(x) sec2(sen(x)).
[4] Determine as retas tangentes ao gráfico de u = sen(x) que tenham o coeficiente angular
igual a
1
2
.
Sabemos que se u(x) = sen(x), então u′(x) = cos(x); logo, devemos resolver a equação :
u′(x) =
1
2
,
ou seja, cos(x) = 12 , que tem soluções x = ±
pi
3
+ 2kpi, onde k ∈ Z. As equações são:
6 y − 3x + (1 + 6 k)pi − 3
√
3 = 0, se x =
pi
3
+ 2kpi, k ∈ Z e
6 y − 3x + (6 k − 1)pi + 3
√
3 = 0, se x = −pi
3
+ 2kpi, k ∈ Z.
170 CAPÍTULO 4. DERIVADA
-3 3
1
Figura 4.20: Desenho para k = 0.
[5] Determine os pontos onde o gráfico da função y = x + 2 sen(x) possui reta tangente hori-
zontal.
Devemos resolver a equação y′ = 0 ou, equivalentamente, cos(x) = −1
2
; logo, os pontos tem
abscissas x = ± 2pi
3
+ 2 k pi, k ∈ Z.
Figura 4.21: Desenho para k = 0.
4.7.5 Funções Trigonométricas Inversas
Seja y = arcsen(x). A função arco seno, definida para x ∈ [−1, 1] é a função inversa da função:
f(x) = sen(x), se − pi
2
≤ x ≤ pi
2
.
Logo, f ′(x) = cos(x) 6= 0 se x ∈ (−pi
2
,
pi
2
). Usando a fórmula do Teorema da Função Inversa,
temos: se y = f−1(x) = arcsen(x), ou seja, sen(y) = x, então:
(f−1)′(x) =
1
f ′(f−1(x))
=
1
cos(arcsen(x))
=
1
cos(y)
.
4.7. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 171
Mas, cos(y) =
√
1− sen2(y), pois y ∈ (−pi
2
,
pi
2
). Então:
y′ =
1√
1− sen2(y) =
1√
1− x2 , se x ∈ (−1, 1).
Seja y = arccos(x). Como arcos(x) =
pi
2
− arcsen(x), temos: y′ = −(arcsen(x))′; logo,
y′ = − 1√
1− x2 , se x ∈ (−1, 1).
Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:
[19] Se y = arcsen(u(x)), então y′ =
u′(x)√
1− u2(x) .
[20] Se y = arccos(u(x)), então y′ = − u
′(x)√
1− u2(x) .
[21] Se y = arctg(u(x)), então y′ =
u′(x)
1 + u2(x)
.
[22] Se y = arccotg(u(x)), então y′ = − u
′(x)
1 + u2(x)
.
[23] Se y = arcsec(u(x)), então y′ =
u′(x)
|u(x)|
√
u2(x)− 1 , |u(x)| > 1.
[24] Se y = arccosec(u(x)), então y′ = − u
′(x)
|u(x)|
√
u2(x)− 1 , |u(x)| > 1.
4.7.6 Funções Hiperbólicas
As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem
exponenciais. Por exemplo, seja y = senh(x) = 12 (e
x − e−x); derivando, temos: y′ = cosh(x).
Tabela
Seja u(x) derivável. Usando a regra da cadeia, temos:
[25] Se y = senh(u(x)), então y′ = cosh(u(x))u′(x).
[26] Se y = cosh(u(x)), então y′ = senh(u(x))u′(x).
[27] Se y = tgh(u(x)), então y′ = sech2(u(x))u′(x).
[28] Se y = cotgh(u(x)), então y′ = −cosech2(u(x))u′(x).
172 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[29] Se y = sech(u(x)), então y′ = −tgh(u(x)) sech(u(x))u′(x).
[30] Se y = cosech(u(x)), então y′ = −cotgh(u(x)) cosech(u(x))u′(x).
Exemplo 4.12.
Calcule as derivadas y′, sendo:
[1] y = etg(x).
Fazendo u(x) = tg(x), temos y = eu(x); usando a tabela: y′ = u′(x) eu(x) e y′ = sec2(x) etg(x).
[2] y = ln(ln(x)).
Fazendo u(x) = ln(x), temos y = ln(u(x)); logo: y′ =
u′(x)
u(x)
=
1
x ln(x)
.
[3] y = x cos
(1
x
)
. Então y′ = cos
(1
x
)
+ x
(
cos
(1
x
))′.
Fazendo u(x) =
1
x
, temos que cos
(1
x
)
= cos(u(x)); como
(
cos
(1
x
))′
=
1
x2
sen
(1
x
)
, temos:
y′ = cos
(1
x
)
+
1
x
sen
(1
x
)
.
[4] y = cos(sen(x)).
Fazendo u(x) = sen(x), temos y = cos(u(x)); usando a tabela:
y′ = −u′(x) sen(u(x)) = −cos(x) sen(sen(x)).
[5] y = arccotg(3x2).
Fazendo u(x) = 3x2, temos y = arccotg(u(x)); usando a tabela:
y′ = − u
′(x)
1 + u2(x)
= − 6x
1 + 9x4
.
[6] y = arctg
(1
x
)
.
Fazendo u(x) =
1
x
, temos y = arctg(u(x)); usando a tabela:
y′ =
u′(x)
1 + u2(x)
= − 1
1 + x2
.
[7] y = sen(ln(x)).
Fazendo u(x) = ln(x), temos y = sen(u(x)); usando a tabela:
y′ = u′(x) cos(u(x)) =
cos(ln(x))
x
.
[8] y = ln(sen2(x)).
4.7. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 173
Fazendo u(x) = sen2(x), temos y = ln(u(x)); usando a tabela:
y′ =
u′(x)
u(x)
= 2 cotg(x).
[9] y = ln(cos(
x− 1
x
)).
Fazendo u(x) = cos(x−1
x
), temos y = ln(u(x)); usando a tabela:
y′ =
u′(x)
u(x)
= − 1
x2
tg(
x− 1
x
).
[10] y = arcsec(ln(x)).
Fazendo u(x) = ln(x), temos y = arcsec(u(x)); usando a tabela:
y′ =


1
x ln(x)
√
ln2(x)− 1 se x > e
− 1
x ln(x)
√
ln2(x)− 1 se 0 < x < e
−1.
[11] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à
curva y =
1
x
no ponto x = 2.
A reta tangente à curva y = f(x) = x−1 no ponto x = 2 é: y − 1
2
= f ′(2) (x − 2). Como
f ′(2) = −1
4
, a equação da reta tangente é: 4 y + x − 4 = 0. Se x = 0, então y = 1; se y = 0,
então x = 4. A altura do triângulo é igual a 1 e a base é igual a 4. Logo, a área do triângulo é:
A = 2u.a.
1
1
Figura 4.22:
[12] Uma partícula move-se ao longo da curva y = 1 − 2x2. Quando x = 3a partícula escapa
pela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape.
A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa 3 é y − f(3) = f ′(3) (x − 3), onde
f(x) = 1− 2x2; logo, f ′(x) = −4x e f ′(3) = −12; a equação é: y + 12x− 19 = 0.
174 CAPÍTULO 4. DERIVADA
3
Figura 4.23:
4.8 Derivação Implícita
Seja F (x, y) = 0 uma equação nas variáveis x e y.
Definição 4.5. A função y = f(x) é definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0, quando
F (x, f(x)) = 0.
Em outras palavras, quando y = f(x) satisfaz à equação F (x, y) = 0.
Exemplo 4.13.
[1] Seja a equação F (x, y) = 0, onde F (x, y) = x3 + y− 1; a função y = f(x) = 1− x3 é definida
implicitamente pela equação F (x, y) = 0, pois:
F (x, f(x)) = x3 + (1− x3)− 1 = 0.
[2] Seja a equação F (x, y) = 0, onde F (x, y) = y4 +x−1; a função y = f(x) = 4√1− x é definida
implicitamente pela equação F (x, y) = 0, pois:
F (x, f(x)) = ( 4
√
1− x)4 + x− 1 = 0.
[3] Seja a equação F (x, y) = 0, onde F (x, y) = x2 + y2− 25; esta equação define implicitamente
uma família de funções; por exemplo f(x) =
√
25− x2, f(x) = −√25− x2; em geral,
y = fc(x) =


√
25− x2 se − 5 ≤ x ≤ c
−√25− x2 se 5 ≥ x > c,
para cada c ∈ (−5, 5).
[4] Seja F (x, y) = 0, onde F (x, y) = y2− 3 y−x− 7; então, as funções f(x) = 3±
√
4x + 37
2
são
definidas implicitamente pela equação F (x, y) = 0, pois:
F (x, f(x)) = F (x,
3±√4x+ 37
2
) = 0.
4.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 175
Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, deri-
vável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação F (x, y) = 0 define implicitamente alguma
função. Por exemplo, considere a seguinte equação:
x3 y6 + x3 tg(x y2) + ln(x+ y) + sen(x) = 0.
4.8.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita
Podemos calcular a derivada de uma função definida implicitamente sem necessidade de expli-
citá-la.
Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que F (x, y) = 0 define implici-
tamente uma função derivável y = f(x). Através de exemplos mostraremos que podemos
calcular y′ sem conhecer y.
Exemplo 4.14.
[1] Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1.
Calcule y′.
Como y = f(x), temos x2+((f(x))2 = 1. Derivando em relação a x ambos os lados da igualdade
e usando a regra da cadeia, obtemos:
(x2)′ + (((f(x))2)′ = (1)′ =⇒ 2x+ 2 f(x) f ′(x) = 0 =⇒ x+ f(x) f ′(x) = 0.
Então, f ′(x) = − x
f(x)
= −x
y
. Logo,
y′ = −x
y
.
[2] Verifique que a função f(x) =
√
1− x2 é definida implicitamente por x2 + y2 = 1 e calcule
f ′.
É imediato que a função f(x) =
√
1− x2 é definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1 e:
f ′(x) = − x√
1− x2 = −
x
y
.
4.8.2 Método de Cálculo da Função Implícita
Dada uma equação que define y implicitamente como uma função derivável de x, calcula-se y′
do seguinte modo:
1. Deriva-se ambos os lados da equação em relação a x, termo a termo. Ao fazê -lo, tenha em
mente que y é uma função de x e use a regra da cadeia, quando necessário, para derivar
as expressões nas quais figure y.
2. O resultado será uma equação onde figura não somente x e y, mas também y′. Expresse
y′ em função de x e y.
3. Tal processo é chamado explicitar y′.
176 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Exemplo 4.15.
Calcule y′ se y = f(x) é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas:
[1] x3 − 3x2 y4 + y3 = 6x + 1.
Note que x3 − 3x2 y4 + y3 = 6x+ 1 é igual a x3 − 3x2 (f(x))4 + (f(x))3 = 6x+ 1.
Derivando ambos os lados da equação, obtemos: (x3)′− (3x2 (f(x))4)′+((f(x))3)′ = (6x+1)′;
então,
3x2 − 6x (f(x))4 − 12x2 f ′(x) (f(x))3 + 3 f ′(x) (f(x))2 = 6.
Logo, 3x2 − 6x y4 − 12x2 y′ y3 + 3 y′ y2 = 6. Expressando y′ em função de x e y:
y′ =
2− x2 + 2x y4
y2 (1− 4x2 y) .
[2] x2 + x y + x sen(y) = y sen(x).
Derivando ambos os lados 2x+y+x y′+sen(y)+x cos(y) y′ = y′ sen(x)+y cos(x). Expressando
y′ em função de x e y:
y′ =
y cos(x)− 2x− y − sen(y)
x+ x cos(y)− sen(x) .
[3] sen(x+ y) = y2 cos(x).
Derivando ambos os lados (1 + y′) cos(x + y) = 2 y y′ cos(x) − y2 sen(x). Expressando y′ em
função de x e y:
y′ =
y2 sen(x) + cos(x + y)
2 y cos(x)− cos(x + y) .
O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela
forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta
exigência satisfeita.
[4] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por:
y2 = x2 (x + 2),
no ponto
(− 1
2
,
1
2
√
3
2
)
.
Derivando a equação implicitamente:
2 y y′ = x (3x + 4).
Expressando y′ em função de x e y:
y′ =
3x2 + 4x
2 y
;
4.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 177
lembrando que x = −1
2
, y′ = f ′(x) e
1
2
√
3
2
= f
(− 1
2
)
= y, temos que:
f ′
(− 1
2
)
= − 5
2
√
6
é o coeficiente angular da reta tangente no ponto
(− 1
2
,
1
2
√
3
2
)
e a equação desta reta é
4
√
6 y + 10x− 1 = 0.
-2 1
-1
1
Figura 4.24:
[5] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
implícita definida por: (x2 + y2) (y2 + x (x+ 1)) = 4x y2 no ponto
(1
2
,
1
2
)
.
Derivando a equação implicitamente
2 y′ y (2 y2 + 2x2 − 3x) = −(4x y2 + 4x3 + 3x2 − 3 y2).
Lembrando que x =
1
2
, y′ = f ′(x) e y =
1
2
,temos que f ′(
1
2
) = 2 é o coeficiente angular da reta
tangente no ponto
(1
2
,
1
2
)
e a equação desta reta é 2 y− 4x+ 1 = 0. A equação da reta normal é
4 y + 2x− 3 = 0.
-1 1
-1
1
Figura 4.25:
178 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[6] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
implícita definida por:
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
em qualquer ponto; (a e b constantes não nulas).
Derivando a equação implicitamente:
2x
a2
+
2 y y′
b2
= 0.
Expressando y′ em função de x e y:
y′ = − b
2 x
a2 y
;
lembrando que x = x0, y′ = f ′(x) e y0 = f(x0), se y0 6= 0, temos:
f ′(x0) = −b
2x0
a2y0
,
que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x0, y0) e a equação desta reta é:
y − y0 = −
[
b2 x0
a2 y0
]
(x− x0). Ou, equivalentemente,
[
y0
b2
]
y +
[
x0
a2
]
x = 1
A equação da reta normal é:
y − y0 =
[
a2 y0
b2 x0
]
(x− x0)
se x0 6= 0.
Estas são as equações da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer (x0, y0) da elipse.
Em particular se a = b = r, temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer
(x0, y0) de um círculo de raio r.
Figura 4.26: A elipse e suas tangentes.
4.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 179
[7] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
implícita definida por:
x2
a2
− y
2
b2
= 1,
em qualquer ponto; (a e b são constantes não nulas).
Derivando a equação implicitamente:
2x
a2
− 2 y y
′
b2
= 0.
Explicitando y′:
y′ =
b2 x
a2 y
;
e lembrando que x = x0, y′ = f ′(x) e y0 = f(x0), se y0 6= 0, temos:
f ′(x0) =
b2 x0
a2 y0
,
que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, y0) e a equação
desta reta é: [
y0
b2
]
y −
[
x0
a2
]
x = −1
A equação da reta normal é:
y − y0 = −
[
a2 y0
b2 x0
]
(x− x0)
se x0 6= 0. Estas são as equações da reta tangente e da reta normal a uma hipérbole num ponto
(x0, y0) arbitrário.
Figura 4.27: A hipérbole e suas tangentes.
[8] Ache a equação da reta tangente ao gráfico das funções implícitas definidas por:
i) x3 + y3 = 6x y, no ponto (3, 3). (Folium de Descartes).
180 CAPÍTULO 4. DERIVADA
ii) 2 (x2 + y2)2 = 25 (x2 − y2), no ponto (3, 1). (Lemniscata de Bernoulli).
i) Folium de Descartes: Derivando a equação implicitamente:
y′ =
2 y − x2
y2 − 2x.
No ponto (3, 3), y′ = −1 e a equaçãoda reta tangente é:
x + y = 6.
- 4 - 2 2 4 6
- 4
- 2
2
4
6
8
Figura 4.28: Folium de Descartes.
ii) Lemniscata de Bernoulli: Derivando a equação implicitamente:
y′ = −x (−25 + 4x
2 + 4 y2)
y(25 + 4x2 + 4 y2)
.
No ponto (3, 1):
y′ = − 9
13
e a equação da reta tangente é
13 y + 9x− 40 = 0.
- 2 2 4
- 2
-1
1
2
Figura 4.29: Lemniscata de Bernoulli.
4.9. FAMÍLIAS DE CURVAS ORTOGONAIS 181
4.9 Famílias de Curvas Ortogonais
As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por exem-
plo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonais às linhas de potencial constante
e as curvas isotérmicas (de igual temperatura) são ortogonais ao fluxo do calor.
Definição 4.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tan-
gentes nesse ponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de
curvas se cada curva de uma família é ortogonal a todas as curvas da outra família.
Exemplo 4.16.
[1] A família de parábolas y2 = 4 ax é ortogonal à família de elipses 2x2 + y2 = b2.
Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam m1 os
coeficientes angulares correspondentes à família de parábolas e m2 os coeficientes angulares
correspondentes à família de elipses. Logo,
m1 =
2 a
y
=
y
2x
e m2 = −2x
y
em1 ·m2 = −1.
Figura 4.30:
[2] A família de círculos x2 + y2 = ax é ortogonal à família de círculos x2 + y2 = b y.
Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam m1 os
coeficientes angulares correspondentes à família x2 + y2 = ax e m2 os coeficientes angulares
correspondentes à família x2 + y2 = b y. Logo,
m1 =
a− 2x
2 y
=
y2 − x2
2x y
e m2 =
2x
b− 2 y =
2x y
x2 − y2
em1 ·m2 = −1.
182 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.31:
4.10 Derivadas de Ordem Superior
Definição 4.7. Seja f uma função derivável.
1. Se a derivada f ′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada derivada segunda
de f e é denotada por:
(f ′)′ = f ′′.
2. Se f ′′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada derivada terceira de f e é
denotada por:
(f ′′)′ = f ′′′.
3. Em geral, se a derivada de ordem (n − 1) de f é uma função derivável, sua derivada é
chamada derivada n-ésima de f e é denotada por:
(f (n−1))′ = f (n).
Notações: f (0) = f , f ′ = f (1), f ′′ = f (2), f ′′′ = f (3), etc.
Exemplo 4.17.
[1] Sendo f(x) = x4 + 2x3 + x− 1, calcule f (n).
n 1 2 3 4 5 6 7
f (n)(x) 4x3 + 6x2 + 1 12x2 + 12x 24x + 12 24 −0 0 0
Logo, f (n)(x) = 0, se n ≥ 5.
4.10. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 183
24
Figura 4.32: Gráficos de y = f(x) (verde) e suas derivadas.
Em geral, se f é uma função polinomial de grau n, então, f (n)(x) = n! an e f (p)(x) = 0 para
p > n.
[2] Sendo f(x) =
1
x
, calcule f (n).
n 1 2 3 4 5 6 7
f (n)(x) −x−2 2x−3 −6x−4 24x−5 −120x−6 720x−7 −5040x−8
Logo:
f (n)(x) = (−1)n n!
xn+1
, para todo n ∈ N.
[3] Sendo f(x) =
√
ex, calcule f (n).
n 1 2 3 4 5 6 7
f (n)(x)
√
ex
2
√
ex
4
√
ex
8
√
ex
16
√
ex
32
√
ex
64
√
ex
128
Logo:
f (n)(x) =
e
x
2
2n
, para todo n ∈ N.
[4] Sendo f(x) = sen(x), calcule f (n).
f ′(x) = cos(x) = sen(x+
pi
2
)
f (2)(x) = −sen(x) = sen(x+ 2pi
2
)
f (3)(x) = −cos(x) = sen(x+ 3pi
2
)
f (4)(x) = sen(x) = sen(x+
4pi
2
)
f (5)(x) = cos(x) = sen(x+
5pi
2
)
f (6)(x) = −sen(x) = sen(x+ 6pi
2
).
Logo:
f (n)(x) = sen
(
x+
npi
2
)
,
184 CAPÍTULO 4. DERIVADA
para todo n ∈ N.
[5] Seja y = a + x+ b x2 + c x2 ln(x), a, b, c ∈ R. Verifique que x3 y(3) − x2 y′′ + x y′ = x.
Derivando: y′ = c x + 2 c x ln(x) + 2 b x + 1, y′′ = 2 b+ 3 c + 2 c ln(x) e y(3) =
2 c
x
; então:
x3
2 c
x
− x2 (2 b + 3 c + 2 c ln(x)) + x (c x + 2 c x ln(x) + 2 b x + 1) = x.
[6] Se y = ex (Ax+B) satisfaz à equação 3 y(3) − 6 y′′ − 2 y′ + 4 y = x ex, determine o valor das
constantes A e B.
Calculando as derivadas:
y′ = ex (Ax +A +B), y′′ = ex (Ax + 2A +B) e y(3) = ex (Ax + 3A +B);
logo a equação fica: −ex (Ax + 5A +B) = x ex da qual obtemos A = −1 e B = 5.
[7] Calcule f (3)(9), se f(x) = x g(
√
x), g′(3) = 6, g′′(3) = 1 e g(3)(3) = 2.
f ′(x) = g(
√
x) +
√
x
2
g′(
√
x), f ′′(x) =
1
4
√
x
(3 g′(
√
x) +
√
x g′′(
√
x))
f (3)(x) =
1
8
√
x3
(−3 g′(√x) + 3√x g′′(√x) + x g(3)(√x));
logo, f (3)(9) =
1
24
.
Observação 4.3.
Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma função,
estas sejam funções deriváveis.
[7] Seja f(x) = x2|x|. Então,
f ′(x) =
{
3x2 se x ≥ 0
−3x2 se x < 0 .
Logo f ′(x) = 3x |x|, para todo x ∈ R; analogamente temos que f ′′(x) = 6 |x| para todo x ∈ R;
mas f ′′ não é derivável no ponto x0 = 0. Verifique.
Definição 4.8. A função f : A ⊂ R −→ R é dita de de classe Ck (0 ≤ k ≤ +∞) em A, se f
possui as derivadas até a ordem k e f (k) é contínua em A..
Como f (0) = f , se f é de classe C0, então f é contínua.
Exemplo 4.18.
[1] As funções polinomiais são de classe C∞ em R.
[2] As funções exponenciais são de classe C∞ em R.
[3] As função logarítmicas são de classe C∞ em (0,+∞).
[4] A função f(x) = x2|x| do exemplo [7] é de classe C1 em R e não é de classe C2.
4.11. APROXIMAÇÃO LINEAR 185
4.11 Aproximação Linear
É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seu
domínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.
Por exemplo, consideremos y = f(x) = x2. Estudando f num pequeno intervalo contendo
x = 1, por exemplo I = [0.99, 1.01], obtemos:
x f(x)
0.99 0.9801
0.999 0.998001
1 1
1.001 1.0002001
1.01 1.0201
A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1 é dada por y = 2x − 1; seu coeficiente angular
é 2. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos (0.999, f(0.999)),
(1, f(1)) e (1.001, f(1.001)), (1, f(1)), respectivamente:
m1 =
f(1)− f(0.999)
1− 0.999 = 1.9990 e m2 =
f(1.001) − f(1)
1.001 − 1 = 2.0010.
1
1
Figura 4.33:
m1 e m2 são valores bastante próximos de 2. Observe que se |x − 1| → 0 (x perto de 1), então
f(x) = x2 fica próxima de y = 2x− 1. De fato:
lim
x→1
|f(x)− y| = lim
x→1
|x2 − 2x + 1| = 0.
Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:
Definição 4.9. Seja y = f(x) uma função derivável em x0. A aproximação linear de f em torno
de x0 é denotada por l(x) e definida por:
l(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0)
se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 pequeno.
186 CAPÍTULO 4. DERIVADA
A função l(x) também é chamada linearização de f ao redor do ponto x0. A proximidade
de f(x) e l(x) nos permitirá fazer algumas aplicações. A notação para f(x) próxima a l(x) é
f(x) ≃ l(x).
O erro da aproximação é E(x) = f(x)− l(x) e satisfaz à seguinte condição:
lim
x→x0
∣∣ E(x)
x− x0
∣∣ = lim
x→x0
∣∣f(x)− f(x0)
x− x0 − f
′(x0)
∣∣ = 0.
Exemplo 4.19.
Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos
resolver os seguintes problemas:
[1] Se f(x) =
1
(1 + 2x)4
representa a temperatura num arame, calcule a temperatura f(0.01).
[2] Se f(t) = e0.3t representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a população
de bactérias para t = 20.012.
[3] Calcule, aproximadamente (1.001)7 − 2 3
√
(1.001)4 + 3.
Soluções:
[1] Vamos determinar l(x) = f(0) + f ′(0)x. Derivando: f ′(x) = − 8
(1 + 2x)5
; então:
1
(1 + 2x)4
≃ l(x) = 1− 8x, no intervalo (−ε, ε),
tal que ε > 0 (pequeno). Como 0.01 ∈ (−ε, ε), temos, f(0.01) ≃ l(0.01) = 0.92 graus.
-0.10 -0.05 0.05 0.10
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 4.34: Exemplo [1].
[2] Vamos determinar l(x) = f(20) + f ′(20) (x− 20), com f(20) ≃ 403.42. Derivando, obtemos:f ′(t) = 0.3 e0.3t; então:
e0.3t ≃ 403.42 + 121.02 (t − 20), no intervalo (20 − ε, 20 + ε),
4.11. APROXIMAÇÃO LINEAR 187
tal que ε > 0 (pequeno). Como 20.012 ∈ (20 − ε, 20 + ε), se t = 20.012, então,
e0.3×20.012 ≃ 403.42 + 121.02 × 0.012 = 404.87.
18 20 22 24
500
1000
1500
Figura 4.35: Exemplo [2].
[3] Considere a função f(x) = x7 − 2 3
√
x4 + 3 e x = 1.001. Então, para x0 = 1, temos f(1) = 2,
f ′(x) = 7x6 − 8
3
3
√
x e f ′(1) =
13
3
; logo,
l(x) = f(1) + f ′(1) (x− 1) = 1
3
(13x − 7),
para todo x próximo de 1. Em particular, para x = 1.001,
(1.001)7 − 2 3
√
(1.001)4 + 3 ≃ 1
3
(13× (1.001) − 7) ≃ 2.00433.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
2
4
6
Figura 4.36: Exemplo [3].
[4] Considere a função logística L(t) =
A
1 +B e−Ct
. Determinemos sua aproximação linear, no
ponto t0:
Derivando: L′(t) =
AB C e−Ct
(1 +B e−Ct)2
; logo,
188 CAPÍTULO 4. DERIVADA
l(t) = ρ(t0)
(
B + eCt0 +BC (t− t0)
)
,
onde, ρ(t0) =
AeCt0
(B + eCt0)2
.
- 3 - 2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
- 3 - 2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
Figura 4.37: Desenhos para t0 = 1 e t0 = 2, respectivamente.
[5] Calcule o valor aproximado do volume de uma esfera, construida de uma folha de aço de
0.05 cm de espessura sendo seu raio interno igual a 2 cm.
O volume de uma esfera é V (r) =
4
3
pir3. Seja r0 = 2; então, a linearização do volume é:
V (r) ≃ 16
3
× (3 r − 4)pi.
Logo, V (2.05) ≃ 11.46pi cm3. O verdadeiro volume da esfera é V = 11.48pi cm3. Note que o
erro cometido é: E(2.05) = V − l(2.05) = 0.06335543 cm3 .
4.12 Aproximação de Ordem Superior
De forma análoga a aproximação linear podemos definir aproximação quadrática, aproximação
cúbica, etc. É possível verificar que o erro destas aproximações é cada vez menor ao redor de
um pequeno intervalo.
Definição 4.10. Seja f ∈ C3. A aproximação quadrática e a aproximação cúbica de f em torno
de x0 são denotadas e definidas por:
q(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2
c(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + f
(3)(x0)
3!
(x− x0)3.
se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 pequeno.
Exemplo 4.20.
4.12. APROXIMAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR 189
[1] A proporção de lâmpadas de sódio que falham após t horas de uso é dada por:
P (t) = 1− 10000
(t + 100)2
.
Determine a proporção de lâmpadas que falham após 99 horas de uso.
Vimos que a aproximação linear de P = P (t) ao redor de 100 é
l(t) =
1
400
(t+ 200).
Determinemos a outras aproximações, ao redor de 100. Calculemos :
P ′′(t) = − 60000
(t+ 100)4
e P (3)(t) =
240000
(t+ 100)5
,
logo:
q(t) =
5
16
+
t
160
− 3 t
2
160000
c(t) =
3
16
+
t
100
− 9 t
2
160000
+
t3
8000000
.
Logo, q(99) = 0.74748125 e c(99) = 0.7474811250.
0 50 100 150 200 250 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Figura 4.38: Gráficos de P (t) (azul), q(t) e c(t).
[2] Calcule, aproximadamente (1.1)2 ×√10− 1.12.
Considere a função f(x) = x2
√
10− x2 e x = 1.1. Então, para x0 = 1, temos f(1) = 3, logo:
q(x) = −14
27
+
37x
27
+
58x2
27
c(x) =
50
243
− 65x
81
+
350x2
81
− 176x
3
243
.
e q(1.1) = 3.58815 e c(1.1) = 3.5838.
190 CAPÍTULO 4. DERIVADA
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
Figura 4.39: Gráficos de f(x) (azul), q(x) e c(t).
Para outras aproximações, veja o último exercício do capítulo.
4.13 Velocidade e Aceleração
Da Física elementar sabemos que a velocidade percorrida por um móvel em linha reta é dada
pelo quociente da distância percorrida pelo tempo transcorrido. Usaremos a definição de deri-
vada para determinar a velocidade instantânea de ummóvel que semove ao longo de qualquer
trajetória derivável.
Suponha que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função u = u(t). Se [a, b] é um
pequeno intervalo contido no domínio de u, a velocidade média da partícula no intervalo [a, b]
é:
vab =
distância
tempo
=
u(b)− u(a)
b− a .
a b c
v
ab v
ac
Figura 4.40:
vab é o coeficiente angular da reta passando por (a, f(a)) e (b, f(b)). vab não dá informação sobre
a velocidade da partícula no tempo t = t0. Se estamos interessados na velocidade instantânea
em t = t0, consideremos o intervalo [t0, t0 + h], h > 0; então:
vh =
u(t0 + h)− u(t0)
h
.
4.13. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 191
Analogamente para h < 0.
Definição 4.11. A velocidade instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da
função derivável u = u(t) em t = t0, é:
v(t0) = u
′(t)
∣∣
t=t0
De forma análoga definimos a aceleração média: aab =
v(b)− v(a)
b− a .
Definição 4.12. A aceleração instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da
função duas vezes derivável u = u(t) em t = t0, é:
a(t0) = v
′(t)
∣∣
t=t0
= u′′(t)
∣∣
t=t0
O movimento harmônico simples s = s(t) é caracterizado por a(t) = −k s(t) (k > 0) e o
movimento harmônico amortecido por a(t) = k v(t) + p s(t) (k, p ∈ R).
Exemplo 4.21.
[1] Uma partícula move-se ao longo da curva u(t) = t3 − 5 t2 + 7 t− 3. Calcule a aceleração no
instante em que a velocidade é zero.
Se u(t) = t3 − 5 t2 + 7 t− 3, então v(t) = 3 t2 − 10 t + 7; se v(t) = 0 temos que t = 7
3
ou t = 1. A
aceleração no instante t é a(t) = 6 t− 10; logo a(7
3
) = 4 ou a(1) = −4.
[2] Uma sonda é lançada para cima verticalmente, sendo a distância acima do solo no instante
t dada por s(t) = t (1000 − t).
i) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo.
ii) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?
i) A sonda atinge o solo quando s(t) = t (1000−t) = 0 ou seja quando t = 0 ou t = 1000; a sonda
atinge o solo após 1000 seg e a velocidade é v(t) = s′(t) = 1000 − 2 t e v(1000) = −1000m/seg.
O sinal negativo é porque a sonda está caindo.
ii) Se v(t) = 0, então t = 500 e s(500) = 250000m.
[3] Um ponto move-se ao longo do gráfico de y = x2 + 1 de tal modo que sua abscissa x
varia com uma velocidade constante de 3 cm/seg. Qual é a velocidade da ordenada y quando
x = 4 cm?
Sejam x = x(t) e y = y(t) a abscissa e a ordenada no instante t, respectivamente. Seja t0 o
instante tal que x(t0) = 4. Queremos calcular a velocidade de y no instante t0; em outras
palavras, queremos calcular
dy
dt
para t = t0. Usando a regra da cadeia:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
= 2x
dx
dt
.
192 CAPÍTULO 4. DERIVADA
O ponto tem velocidade constante igual a 3; logo,
dx
dt
= 3 e
dy
dt
= 6x. Para x(t0) = 4 temos que
dy
dt
= 24 cm/seg.
[4] Um homem de 1.80m de altura afasta-se de um farol situado a 4.5m do solo, com uma
velocidade de 1.5m/seg. Quando ele estiver a 6m do farol, com que velocidade sua sombra
estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?
4.5
1.80
x y
Figura 4.41:
Seja y o comprimento da sombra e x a distância entre o homem e o ponto do solo acima do qual
está o farol. Pela semelhança de triângulos:
4.5
x+ y
=
1.8
y
; logo, y =
1.8x
2.7
; então:
dy
dx
=
2
3
e
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Como
dx
dt
= 1.5, temos:
dy
dt
= 1m/seg e o comprimento da sombra é y = 4m.
4.14 A Derivada como Taxa de Variação
A velocidade de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável u = u(t)
no tempo t é v(t) = u′(t) e representa a razão do deslocamento por unidade de variação de
tempo. u′(t) expressa a taxa de variação de u(t) por unidade de tempo:
u′(t) = lim
h→0
u(t + h)− u(t)
h
.
Se y = f(x) é função derivável, então f ′(x) é a taxa de variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como taxa de variação se aplica em diversas áreas da ciência.
Por exemplo, se y = f(t) mede a concentração de glóbulos vermelhos no sangue no instante t,
f(t+ h)− f(t)
f
mede a taxa de variaçãomédia da concentração de glóbulos vermelhos durante o intervalo de
tempo [t, t + h] e f ′(a) mede a taxa de variação instantânea de glóbulos vermelhos no instante
t = a.
4.14. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 193
Exemplo 4.22.
[1] Uma partícula move-se ao longo do gráfico de y = x3 + 1, de modo que quando x = 6 a
abscissa cresce a uma velocidade de 2 cm/seg. Qual é a velocidade de crescimento da ordenada
nesse instante?
Seja x = x(t) a abscissa no instante t e y = x3 + 1; devemos calcular:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Temos:
dy
dx
= 3x2 e
dx
dt
= 2; logo,
dy
dt
∣∣
x=6
= 6x2
∣∣
x=6
= 216. A ordenada cresce a uma razão de
216 cm/seg
[2] Um ponto move-se ao longo da elipse de equação x2 + 2 y2 = 6. Determine os pontos da
elipse que satisfazem à equação
dx
dt
= −dy
dt
.
Se x = x(t) e y = y(t) são a abscissa e a ordenada do ponto no instante t, derivando implicita-
mente a equação da elipse: 2x
dx
dt
+ 4 y
dy
dt
= 0 e usando a condição dada:
2x
dx
dt
+ 4 y
dy
dt
= 2
(
x− 2 y) dx
dt
= 0;
logo, x = 2 y. Da equação da elipse obtemos: y = ±1 e os pontos são: (2, 1) e (−2,−1).
[3] O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de
1
4
cm/ano e
sua altura cresce à razão de 1m/ano (m=metros). Determine a taxa de variação do volume do
tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura é 50m.
Seja r = r(t) o raio no instante t e h = h(t) a altura no instante t. O volume é V (t) = pi r2 h;
devemos calcular
dV
dt
; derivando implicitamente:
dV
dt
= pi
(
2 r h
dr
dt
+ r2
dh
dt
)
;
o raio é a metade do diâmetro: r =
3
2
, h = 5000; logo, 2
dr
dt
=
1
4
e
dh
dt
= 100; então:
dV
dt
= 2100pi cm3/ano.
[4] Uma partícula move-se ao longo da curva de equação y =
√
x. Quando a partícula passa
pelo ponto (4, 2), sua abscissa cresce à razão de 3 cm/seg. Com que velocidade está variando a
distância da partícula à origem nesse instante?
Sejam x = x(t) e y = t(t) a ordenada e a abcissa no instante t e p2 = x2 + y2 o quadrado da
distância da origem ao ponto (x, y). Derivando implicitamente ambos os lados:
2 p
dp
dt
= 2x
dx
dt
+ 2 y
dy
dt
;
194 CAPÍTULO 4. DERIVADA
logo,
dp
dt
=
1
p
(
x +
1
2
) dx
dt
, pois y =
√
x. Logo
dp
dt
∣∣
(4,2)
=
27
√
5
20
cm/seg.
[5] Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em
litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V (t) = 50(80 − t)2. Calcule:
i) A taxa de variação do volume da água, após 8 horas de escoamento.
ii) A quantidade de água que sai do reservatório, nas primeiras 5 horas de escoamento.
i) A taxa de variação é
dV
dt
= −100 (80 − t); calculando em t = 8, temos que:
dV
dt
= −7200 l/h. O sinal negativo é porque o volume da água está diminuindo com o tempo,
já que o reservatório está sendo esvaziado.
ii) V (0) − V (5) = 38750 litros.
[6] De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de 3 dm3/seg. Se o raio da base do funil
é de 12 dm e a altura é de 24 dm, calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo,
quando o nível estiver a 6 dm do tôpo.
Sejam r o raio do círculo que forma o nível da água e h a altura no tempo t, respectivamente.
r = r(t), h = h(t) e V =
pi r2 h
3
é o volume do cone de raio r e altura h.
h
r 24
12
Figura 4.42:
Pela semelhança de triângulos, temos: r12 =
h
24 ; então 2r = h e V =
1
12pih
3.
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
=
1
4
pih2
dh
dt
.
Mas,
dV
dt
= −3, pois o volume está diminuindo e h = 24 − 6 = 18; resolvendo a equação
dV
dt
= −3, obtemos: dh
dt
= − 1
27pi
dm/seg.
[7] Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 4 cm/seg, enquanto
os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área
4.14. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 195
constante de 100 cm2. Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o compri-
mento do lado que aumenta é de 20 cm? Quais são as dimensões do retângulo, quando o
perímetro deixar de diminuir?
i) Seja x o lado que aumenta e y o lado que diminui no tempo t; logo x = x(t) e y = y(t); o
perímetro é P = 2(x + y) e a área é A = xy = 100. Derivando estas expressões em t, temos:
dP
dt
= 2
(dx
dt
+
dy
dt
)
e x
dy
dt
+ y
dx
dt
= 0.
Se x = 20, então y = 5; como
dx
dt
= 4, da última equação, temos que
dy
dt
= −y
x
dx
dt
= −1; logo:
dP
dt
= 6 cm/seg.
ii) O perímetro deixa de diminuir quando
dP
dt
= 0, o que é equivalente a
dx
dt
= −dy
dt
; mas
dx
dt
= 4; então, 4x(t) − 4y(t) = 0; logo, x(t) = y(t); e o retângulo é um quadrado de área
100 = x2; ou seja, um quadrado de 10 cm de lado.
[8] Uma escada de 10m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a extremidade
inferior da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de 0.5m/seg, com que velocidade
o topo da escada percorrerá a parede, quando a extremidade inferior estiver a 6m do solo?
x
y 10
Figura 4.43:
Sejam x = x(t) e y = y(t) os lados do triângulo formado pela parede, a escada e o solo, no
instante t. Pelo teorema de Pitágoras x2 + y2 = 100; derivando implicitamente:
x
dx
dt
+ y
dy
dt
= 0.
Devemos calcular
dy
dt
. Como y = 6, então x =
√
100− 36 = 8 e dx
dt
= 0.5; logo,
dy
dt
= −(x
y
) dx
dt
= −2
3
;
a escada está deslizando a uma velocidade de 23 m/seg.
[9] A dilatação de um disco de cobre aquecido é tal que o raio cresce com a velocidade de 0.01
cm/seg. Com que velocidade cresce a área do disco quando o raio tem 2 cm?
196 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Sejam x = x(t) o raio e y = y(t) a área do disco no instante t, respectivamente. Então y = pi x2.
Derivando:
dy
dt
= 2pi x
dx
dt
;
para x = 2 e
dx
dt
= 0.01, tem-se:
dy
dt
= 0.04pi cm2/seg. A área do disco cresce com uma
velocidade de 0.04pi cm2/seg.
[10] A lei de Boyle para gases confinados a uma temperatura constante C é P V = C , onde V é
o volume e P a pressão. Se em certo instante o volume é de 600 cm3, a pressão é de 150 k/cm2 e
a pressão cresce à razão de 20 k/cm2/min, com que taxa está variando o volume nesse instante?
Sejam V = V (t) o volume e P = P (t) a pressão no instante t, respectivamente. Escrevamos o
volume como função da pressão: V (P ) =
C
P
.
Usando a regra da cadeia:
dV
dt
= − C
P 2
dP
dt
= −V
P
dP
dt
;
para V = 600, P = 150 e
dP
dt
= 20, temos:
dV
dt
= −80 cm3/min. O volume decresce à razão de
80 cm3/min.
[11] (Sistema de Lotka-Volterra) No estudo de ecossistemas, modelos de presa-predador são
utilizados para estudar a interação entre as espécies. Se uma população de lobos siberianos é
dada por L = L(t) e uma população de cervos por K = K(t), a interação das duas espécies
pode ser medida pelo sistema: 

dK
dt
= aK − bK L
dL
dt
= −cL+ dK L,
onde a, b, c e d são constantes positivas. Determine K e L que levem as populações a ficar
estáveis para a = 0.05, b = 0.001, c = 0.05 e d = 0.0001.
As populações ficam estáveis quando suas taxas de crescimento são nulas; então devemos re-
solver o sistema: 

dK
dt
= aK − bK L = K (a− bL) = 0
dL
dt
= −cL+ dK L = L (−c+ dK) = 0,
comK, L 6= 0; a solução é L = a
b
eK =
c
d
; logo, para os valores das constantes dados L = 50 e
K = 500. As populações ficam em equilíbrio quando tem 50 lobos e 500 cervos.
[12] Se uma barra é feita de material homogêneo, então sua densidade é uniforme e é dada pela
massa por unidade de comprimento, medida em quilogramas/metros. Se a barra não é homo-
gênea, mas se sua massa é dada por m = f(x) do início ao ponto x dabarra, então, a massa
4.15. EXERCÍCIOS 197
entre os pontos x1 e x2 é dada por f(x2)− f(x1) e sua densidade média é dada por f(x2)−f(x1)x2−x1 .
A densidade linear da barra é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento e é dada
por:
ρ =
dm
dx
.
Sabendo que uma barra de comprimento 1m tem massa dada por m = f(x) = x3 + x + 1,
determine a densidade no centro da barra.
ρ =
dm
dx
∣∣
x=0.5
= (3x2 + 1)
∣∣
x=0.5
= 1.75 kg/m.
4.15 Exercícios
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abs-
cissa dada:
(a) y = 1− x2, x = 3
(b) y = x3 − 5x + 1, x = 1
(c) y = x+ 4 ln(x), x = 1
(d) y = x3 − 6x2 + 11x − 6, x = 3
(e) y = x4 + x3 − x, x = 0
(f) y = 3x+ sen(x), x = 0
(g) y = x−2, x = −2
(h) y =
√
x + x−1, x = 1
(i) y =
√
x2 + 2x, x = 1
(j) y =
x2 + 1
x2 − 1 , x = 0
(k) y = ln(x2), x = 1
(l) y = tg(x + 1), x = −1
(m) y = sen((x+ 1)pi), x = 0
(n) y = 3
√
ex, x = 0
(o) y =
x
x3 + 1
, x = 1
(p) y =
1√
x2 + 1
, x = 1
(q) y =
x5 − 1
x4 + 1
, x = −1
(r) y =
1
x2 (x4 + 1)
, x = 1
2. Calcule a constante b para que a reta y + 9x + b = 0 seja tangente à curva y = x−1.
3. Determine as equações das retas tangentes à curva y = x2, nos pontos de abscissa x = ±3.
4. Determine o ponto onde a curva y = x3 tem tangente paralela à reta tangente à mesma
curva no ponto de abscissa x = 4. Determine a equação da reta tangente nesse ponto.
5. Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de
abscissas dadas:
(a) y = tg(−x2 + 1), x = 1
(b) y = e−
1
x , x = −1
(c) y = cos(
x
2
), x = 0
(d) y = arccos(2x), x = 0
(e) y =
x5 + 1
x4 + 1
, x = 1
(f) y = sen(ex), x = ln(pi)
(g) y = ln(x2 + 1), x = 1
(h) y = (4x3 + 3x + 1) ln(x), x = 1
198 CAPÍTULO 4. DERIVADA
6. Determine os pontos da curva y = 3x3 + 14x2 + 3x+ 8 onde as retas tangentes passando
por esses pontos intersectam a origem.
7. Sabendo que as curvas y = 4x2 e y = −x−1 tem retas tangentes paralelas com abscissa
comum, determine-as.
8. Seja f uma função derivável e g(x) = f(e2x). Calcule g′(0) se f ′(1) = 2.
9. Seja f uma função derivável e g(x) = x f(x2). Calcule g′(x).
(a) Seja f uma função derivável e g(x) = exf(3x+1). Calcule g′(0) se f(1) = 2 e f ′(1) = 3.
(b) Seja F (x) = f(g(x)) em que f e g são funções deriváveis. Se g(3) = 6, g′(3) = 4 e
f ′(6) = 7, determine F ′(3).
10. Determine f ′(x) se u(x), v(x) e w(x) são funções deriváveis e:
(a) f(x) = u(x) v(x)w(x)
(b) f(x) =
u(x)w(x)
v(x)
(c) f(x) =
u(x)
v(x)w(x)
(d) f(x) =
1
u(x) v(x)w(x)
11. Use [10] para calcular f ′(x) se:
(a) f(x) = (x2 + x+ 1) (x3 + x) (x + 1)2
(b) f(x) = (x5 + x3 + 1)3
(c) f(x) =
( x+ 2
3x + 1
)
(x2 + 2)
(d) f(x) =
(x3 + 1
x2 − 3
)
(x4 − 2x3 + 1)
12. Usando a regra da cadeia, determine y′, sendo:
(a) y = (3x + 5)50
(b) y = (4x3 + 3x− 1)7
(c) y = (6− 3x)8
(d) y = (3x2 + 4)5
(e) y =
1
x3 + 3x2 − 6x + 4
(f) y = (x2 + 1)2(x3 − 2x)2
(g) y = sec2((x3 − 6)3)
(h) y =
(3x− 6)−1
(x+ 3)−2
(i) y = (
3x− 2
2x + 1
)8
(j) y =
1
x (x + 1)
(k) y =
(x−2 + 3x−4 + 7x−5)−8
(x2 + x−2)−4(x−1)
13. Calcule as derivadas das funções:
4.15. EXERCÍCIOS 199
(a) y = 5x−1
(b) y = (10x + 10−x)2
(c) y = log5(x2)
(d) y = x log4(x)− x
(e) y = ln(
x
x+ 1
)
(f) y = ln(cosh(x))
(g) y = ln(10x)
(h) y = ln(log10(x))
(i) y = sen(ex)
(j) y = ex sen(ln((x)))
14. Usando a derivada de logaritmo, calcule y′:
(a) y =
√
x3 + 2
(b) y =
(x+ 4
x+ 7
)6
(c) y = xx−1
(d) y = 3ln(x)
(e) y =
ex (x3 − 1)√
2x + 1
(f) y = (x2)x
(g) y = xx
2
(h) y = x
1
x
(i) y =
(
sen(x)
)x
(j) y = xe
x
(k) y =
(
cos(x)
)sen(x)
(l) y =
(
ln(x)
)ln(x)
15. Calcule y′:
(a) y =
√
1− tg2(x)
(b) y =
√
2− cos2(x)
(c) y =
1
cos(2x)
(d) y = sen
(x
3
)
(e) y = x cotg(2x)
(f) y =
(
1− cos5(x3
)
)2
(g) y = sec3(2x2)
(h) y = tg(
√
1− x2)
(i) y =
(
cosec(2x) −
cotg(x)
)2
(j) y = cos2(
√
x)
(k) y =
sen(2x)
1 + cos(2x)
(l) y = 3
√
sen(t2)
(m) y = sen
( 1
x2
)
(n) y = tg(sec(x2))
(o) y = sec2
( 1
x2
)
(p) y = cotg(sec(x2))
(q) y = loga(ln(x))
(r) y = ln(loga(x))
16. Verifique que as derivadas das funções hiperbólicas inversas, são:
(a) Se y = argsenh(u(x)), então y′ =
u′(x)√
1 + u2(x)
.
(b) Se y = argcosh(u(x)), então y′ =
u′(x)√
u2(x)− 1 , |u(x)| > 1.
(c) Se y = argtgh(u(x)), então y′ =
u′(x)
1− u2(x) , |u(x)| < 1.
(d) Se y = argcotgh(u(x)), então y′ =
u′(x)
1− u2(x) , |u(x)| > 1.
(e) Se y = argsech(u(x)), então y′ = − u
′(x)
u(x)
√
1− u2(x) , 0 < u(x) < 1.
(f) Se y = argcosech(u(x)), então y′ = − u
′(x)
|u(x)|
√
u2(x) + 1
, u(x) 6= 0.
17. Calcule y′:
200 CAPÍTULO 4. DERIVADA
(a) y = arctg
( 1
x
)
(b) y =
(
arcsen(x)
)2
(c) y = arctg(x2)
(d) y = arccotg
( 1
x
)
(e) y = arctg
(x− 1
x+ 1
)
(f) y = senh
(5
x
)
(g) y = cosh2(3x) − sen2(3x)
(h) y = tgh((4x2 − 3)2)
(i) y = sech(ln(x))
(j) y = x argcosh(x) −√x2 − 1
(k) y = argtgh
(x2
2
)
(l) y = argcotgh(x2)
(m) y =
1
2
(
argcosh(x2)
)2
(n) y = cosech
( 1√
x2 + 1
)
18. Usando derivação implícita, calcule y′:
(a) x3 + y3 = 5
(b) x3 + x2y + y2 = 0
(c)
√
x+
√
y = 10
(d) y3 =
x− y
x+ y
(e) 3 cos2(x + y) = 7
(f) tg(y) = x y
(g) ey = x+ y
(h) ln(y2 + x) = y3 − x2
(i) (x + y)2 = (x− y)2
(j) (x2 − y2)2 = y2 + x2
(k) sen(x y) = x cos(y)
(l) ln(y − x) = ln(y + x)
(m) e−2x−y = 5 + ln(x)
(n) ln(y x) = exy
(o) ln
(y
x
)
= e
x
y
(p) cos(y x2) = sen(y x2)
(q) x y2 + 3 tg(y) = x y
(r) x arctg(y) + y arctg(x) = 1
19. Determine os pontos da curva x2 + 2x y + 3 y2 = 3 nos quais as retas tangentes nesses
pontos sejam perpendiculares à reta x+ y = 1.
20. Em que pontos a curva y2 = 2x3 é ortogonal à reta 4x− 3y + 1 = 0?
21. A reta x = a intersecta a curva y =
x3
3
+ 4x + 3 num ponto P e a curva y = 2x2 + x
num ponto Q. Para que valor (ou valores) de a as tangentes a essas curvas em P e Q são
paralelas?
22. Determine a equação da reta tangente à curva x y = a, a constante, no ponto (x0, y0). Ve-
rifique que (x0, y0) é o ponto médio do segmento de reta determinado pela reta tangente
no ponto e os eixos coordenados.
23. Determine a equação da reta tangente à curva 3
√
x2 + 3
√
y2 = 1 no ponto (x0, y0). Calcule
a distância entre os pontos A e B, onde A e B são as interseções da reta tangente com os
eixos coordenados.
4.15. EXERCÍCIOS 201
24. Verifique que as seguintes famílias de curvas são ortogonais:
(a) x+ 2 y = c, y − 2x = b
(b) y − c e−2x = 0, y2 − x− b = 0
(c) y − c, x3 = 0, x2 + 3 y2 − b = 0
(d) ρ = a cos(θ), ρ = b sen(θ)
(e) y2 − x
3
c− x = 0, (x
2 + y2)2 − b (2x2 + y2) = 0
25. Determine a segunda derivada de:
(a) y = 6
√
x
(b) y = x−5
(c) y = sen(x2)
(d) y = tg2(x)
(e) y = sen2(x) + cos(x)
(f) y =
x
2 (x + 1)
(g) y =
(
1 +
1
x
)2
(h) y =
x√
x2 − 1
(i) y =
ex
x
(j) y = cos(sen(x))
(k) y = ln(ln(x))
(l) y = arctg(sen(x))
(m) y = sec(
√
x)
(n) y = arcsec(x2)
(o) y = argcotgh(x3 + 1)
26. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada:
(a) y = 3x4 − 2x, n = 5
(b) y = 3x4 − 2x, n = 4
(c) y =
√
3− x2, n = 3
(d) y =
1
x− 1 , n = 4
(e) y = e2x+1, n = 3
(f) y = ln(2x), n = 4
(g) y = −2 cos(x
2
)
, n = 5
(h) y = sen(ax), n = 7, a ∈ R
(i) y = ln
(1
x
)
, n = 3
(j) y = x ex, n = 7
(k) y = x cosech(ln(x)), n = 4
(l) y = x argtgh(x) − ln(√1− x2),
n = 5
(m) y = cosh9(x), n = 3
(n) y = argsenh(ex), n = 4
(o) y = ln(sech(x)), n = 5
(p) y = senh(cosh(x)), n = 3
(q) y = x
(
sen(ln(x))− cos(ln(x))),n = 3
(r) y = ln
(1 + sen(x)
1− sen(x)
)
, n = 3
27. Seja f uma função duas vezes derivável e g(x) = f(e2x). Calcule g′′(x).
28. Se y = x e2x, mostre que y′′ − 4 y = 4 e2x.
29. Para y = cos(αx) e y = sen(αx), mostre que y′′ + α2 y = 0.
202 CAPÍTULO 4. DERIVADA
30. Se y = e−x cos(2x), mostre que y′′ + 2 y′ + 5 y = 0.
31. Determine α tal que y = eαx verifique a equação: y′′ − 4 y = 0.
32. Seja y = a ex + b e−x + c x + x5. Verifique que:
x3 y(3) + 5x2 y′′ + (2x− x3) y′ − (2 + x2) y = 40x3 − 4x5.
33. Calcule y′′(x) se:
(a) x4 + y4 = 16
(b) x2 + 6x y + y2 = 8
(c) x2 y2 = (y + 1)2(y − y2)
(d) y2 = x3 (2− x)
(e) sen(y) + sen(x) + sen(x y) = x
(f) cos(y)− sen(x) = x
34. Calcule f (3)(5), se f(x) =
√
x− 1 g(x), g(5) = −1, g′(5) = 1
3
, g′′(5) = 2 e g(3)(5) = 10.
35. Calcule φ′′(−2), se φ(x) =
√
1− g(x), g(−2) = −3, g′(−2) = 3 e g′′(−2) = 5
36. Determine a linearização no ponto x0 = 0, das seguintes funções:
(a) sen(x)
(b) cos(x)
(c) tg(x)
(d)
√
x+ 3
(e) e−2x
(f) 3
√
x+ 1
(g)
x
x2 + 1
(h) ln(x3 + 5x+ 5)
(i) (4x3 + 3x− 1)7
37. Calcule aproximadamente:
(a) 3
√
0.126
(b) 4
√
17
(c) sen(610)
(d) (1.002)7 +sen(1.002×pi)
(e) 3
√
(8.01)4 − 1
3
√
8.01
(f) 22.002
38. Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0 = 0, das seguinetes funções:
(a) f(x) =
√
x+ 3
(b) f(x) = e−2x
(c) f(x) = 3
√
x + 1
(d) f(x) =
x
x2 + 1
(e) f(x) = ln(x3 + 5x+ 5)
(f) f(x) = (4x3 + 3x− 1)7
4.15. EXERCÍCIOS 203
39. Polinômio de Taylor de ordem n no ponto x0 : Seja f uma função n vezes derivável no
ponto x0. O polinômio de Taylor de ordem n, (n = 0, 1, 2, ....), no ponto x0 é denotado
por Pn(x) e definido por:
Pn(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + ......... + f
(n)(x0)
n!
(x− x0)n.
Verifique que o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto x0 = 0, das funções:
(a) f(x) = sen(x) é P2n+1(x) =
n∑
k=0
(−1)k x
2k+1
(2 k + 1)!
.
(b) f(x) = ex é Pn(x) =
n∑
k=0
xk
k!
.
(c) f(x) = 1
x
é Pn(x) =
n∑
k=0
(−1)k k! (x− 1)k .
(d) Esboce o gráfico de f , P1(x), P3(x) e P5(x) no mesmo sistema de coordenadas.
(e) Compare Pn(x) e l(x). Que conclusões pode tirar? É possível utilizar Pn para fazer
aproximações de f?
40. Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta
varia de 10 cm para 10.1 cm.
41. Influências externas produzem aceleração numa partícula de tal forma que a equação de
seu movimento é y = 4
t2
+ t, onde y é o deslocamento e t é o tempo.
(a) Quais são as equações da velocidade e da aceleração da partícula num tempo t?
(b) Quando a partícula para de mover-se?
42. Um estoque de sangue é guardado num freezer no instante t = 0. Após t horas, sua
temperatura, em graus centígrados, é T (t) = 30 + (t+ 1)−1 − 3 t2. Qual é a velocidade de
resfriamento após 10 horas?
43. Deve-se drenar uma piscina. SeQ é o número de litros de água na piscina tminutos após
o início da drenagem e Q(t) = 200 (30 − t)2, qual é a velocidade de escoamento da água
após 10min?
44. Um corpo em queda livre tem como equação do movimento: s(t) = g t
2
2 , onde g =
9.8m/seg2, s(t) é a distância, (em metros), percorrida pelo corpo em t segundos, desde o
início da queda. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em queda livre.
204 CAPÍTULO 4. DERIVADA
45. Uma partícula lançada verticalmente para cima com velocidade de am/seg, atinge a al-
tura de s(t) = a t− 4.9 t2 após t segundos. Qual deve ser a velocidade inicial para que a
partícula atinja 44m antes de iniciar a queda?
46. O lado de um triângulo equilátero mede a cm e cresce à razão de k cm/h. Com que velo-
cidade crescerá a área do triângulo?
47. Qual é a variação das diagonais de um cubo se os lados crescem a uma razão de 2 cm/seg?
48. O raio da base de um cone cresce à razão de 1 cm/min e sua altura decresce à razão de 2
cm/min. Como variará o volume total do cone quando o raio é 4 cm e sua altura 6 cm?
49. Um balão esférico está sendo inflado. Seu volume cresce à razão de 100 cm3/seg. Deter-
mine a razão com que varia o raio no instante em que o diâmetro é de 50 cm.
50. Mostre que a função logística L = L(t) satisfaz à equação dL
dt
= C L
(
1− L
A
)
. Se L = L(t)
representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?
51. A redução de oxigênio na água de uma lagoa, devido ao despejo de esgoto, só volta a
níveis normais t dias após o despejo do esgoto. Sabendo que a quantidade de oxigênio
que permanece, após t dias é dada por:
P (t) = 500
t2 + 10 t + 100
t3 + 20 t2 + 200
,
medido em% do nível normal de oxigênio, determine a velocidade com que a quantidade
de oxigênio está sendo reduzida, após 1, 10, 20 e 50 dias após o despejo.
52. Ao meio dia o barco A está 64 km a oeste do barco B. O barco A navega para o leste a
20 km/h e o barcoB navega para o norte a 25 km/h. Qual é a taxa de variação da distância
entre os barcos às 13h e 12min?
53. A frequência da vibração da corda de um violino é dada por
f =
1
2L
√
T
ρ
,
onde L é o comprimento da corda, T é a tensão sobre a corda e ρ é densidade linear de
massa da corda. Determine a taxa de varição de f em relação a L (com T e ρ constantes);
a taxa de varição de f em relação a T (com L e ρ constantes); a taxa de varição de f em
relação a ρ (com L e T constantes) e interprete os resultados.