Geometria Analítica Espacial - Lista 1

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Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 1
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto Multidisciplinar
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professor: Marcelo Farias
Sistemas de Coordenadas
Distaˆncia entre pontos
1. Localize num sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espac¸o, os pontos A = (3, 4, 6), B =
(−5, 3, 1), C = (1,−3,−5), D = (0,−3, 5), E = (−3,−5, 0) e F = (−1,−5,−3).
2. Para cada um dos pontos A = (4, 3, 5), B = (−3, 2, 1), C = (2,−3, 0) e D = (0, 0,−3), ache as
coordenadas de suas projec¸o˜es:
(a) Sobre os eixos coordenados.
(b) Sobre os planos coordenados.
(c) Sobre o plano z = 3.
(d) Sobre o plano y = −2.
3. Os pontos A = (−a,−a,−a), B = (a,−a,−a), C = (−a,−a, a) e D = (a, a, a) sa˜o ve´rtices de um
cubo. Determine os outros ve´rtices.
4. Determine quais das seguintes afirmativas sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas, justificando a sua
resposta.
(a) Todo ponto do espac¸o pertence a um plano paralelo ao plano xy.
(b) Todo ponto do espac¸o pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas.
(c) Por quatro pontos do espac¸o passa um u´nico plano paralelo ao plano yz.
(d) Cada ponto do plano xz e´ a projec¸a˜o de uma infinidade de pontos do espac¸o.
(e) Treˆs planos paralelos aos respectivos planos coordenados sempre teˆm um ponto em comum.
5. Represente graficamente os seguintes conjuntos do espac¸o:
(a) A = {(x, y, z) ∈ R3;x = 1}
(b) B = {(x, y, z) ∈ R3; y = 2}
(c) C = {(x, y, z) ∈ R3; z = −1}
(d) D = {(x, y, z) ∈ R3;x = y}
(e) E = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥ 1}
(f) F = {(x, y, z) ∈ R3;x ≤ 2}
(g) G = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥ 1}
(h) H = {(x, y, z) ∈ R3; y ≤ 3}
(i) I = {(x, y, z) ∈ R3;x ≥ y}
(j) J = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ y ≤ 3}
6. Determinar a distaˆncia entre A e B, onde:
(a) A = (3, 2, 1) e B = (1, 2, 3).
(b) A = (−1, 0, 1) e B = (1, 3, 0).
7. Verificar que os pontos A = (1, 2, 1), B = (3, 1, 0) e C = (1, 1, 2) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
retaˆngulo, identificando a hipotenusa.
Dica: Lembre-se de um resultado da Geometria Euclidiana que afirma a rec´ıproca do Teorema de
Pita´goras: se um triaˆngulo de lados a, b e c satisfaz a2 = b2 + c2, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo e
sua hipotenusa e´ o lado a.
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Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 1
8. Sabemos da Geometria Anal´ıtica Plana que a circunfereˆncia de centro em (a, b) e raio r e´ o lugar
geome´trico dos pontos que distam r de (a, b). Pesquise em algum livro como e´ constru´ıda a equac¸a˜o
que representa esta circunfereˆncia. Em seguida, defina a esfera de centro em (a, b, c) e raio r, e
obtenha sua equac¸a˜o.
9. Determine a distaˆncia da origem O do sistema xyz aos pontos: A = (4,−2,−4);B = (−4, 3, 1);C =
(−8,−1,−3);D = (1, 1, 1).
10. Verifique que o ponto P = (2, 2, 3) e´ equidistante dos pontos A = (1, 4,−2) e B = (3, 7, 5).
11. Verifique que o triaˆngulo de ve´rtices A = (3,−1, 2), B = (0,−4, 2) e C = (−3, 2, 1) e´ iso´sceles.
Dica: Lembre-se que um triaˆngulo e´ dito iso´sceles se possui dois lados iguais.
12. Verifique se o triaˆngulo de ve´rtices A = (3,−1, 6), B = (−1, 7,−2) e C = (1,−3, 2) e´ retaˆngulo.
13. Determine o ponto do eixo x que esta´ a 12 unidades de distaˆncia do ponto P = (−3, 4, 8).
14. Determine a distaˆncia do ponto P = (1,−4,−2) aos eixos coordenados x, y, z; e aos planos coorde-
nados xy, yz, xz.
15. Achar os pontos do plano xz cuja distaˆncia ao ponto A = (1, 1, 0) e´ 2 e ao ponto B = (2, 0, 1) e´ 3.
16. Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos do espac¸o e considere o segmento AB. Mostre
que o ponto me´dio M de AB tem coordenadas:
M =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z21
2
)
.
Dica: M e´ ponto me´dio de AB se AM = MB e AB = AM + MB.
17. Sejam A = (1, 2,−1) e B = (2, 0,−3) dois pontos do espac¸o e considere o segmento AB. Determine
as coordenadas do ponto me´dio M de AB.
18. Os pontos A,B e M sa˜o colineares (isto e´, pertencem a uma mesma reta) e M e´ o ponto me´dio de
AB. Sabendo que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), determine as coordenadas de B.
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