apostila de concreto i

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1 – NORMA TÉCNICA 
 
1.1 – DEFINIÇÃO 
Uma norma técnica é um documento estabelecido por consenso e aprovado por um organismo 
reconhecido que fornece, para uso comum e repetitivo, regras, diretrizes ou características 
para atividades ou para seus resultados, visando à obtenção de um grau ótimo de ordenação 
em um dado contexto. 
 
Deve ser realçado o aspecto de que as normas técnicas são estabelecidas por consenso entre 
os interessados e aprovadas por um organismo reconhecido. São desenvolvidas para o 
benefício e com a cooperação de todos os interessados, e, em particular, para a promoção da 
economia global ótima, levando-se em conta as condições funcionais e os requisitos de 
segurança. 
 
1.2 – USO E OBJETIVOS DE NORMAS TÉCNICAS 
 
As normas técnicas são aplicáveis a produtos, serviços, processos, sistemas de gestão, 
pessoal, enfim, nos mais diversos campos. Na prática, estão presentes na fabricação dos 
produtos, na transferência de tecnologia, na melhoria da qualidade de vida através de normas 
relativas à saúde, à segurança e à preservação do meio ambiente. 
 
Elas podem estabelecer requisitos de qualidade, de desempenho, de segurança (seja no 
fornecimento de algo, no seu uso ou mesmo na sua destinação final), mas também podem 
estabelecer procedimentos, padronizar formas, dimensões, tipos, usos, fixar classificações ou 
terminologias e glossários, definir a maneira de medir ou determinar as características, como 
os métodos de ensaio. 
Vamos imaginar que não houvesse normalização para lâmpadas elétricas. Cada fabricante iria 
produzir conforme o seu projeto. O consumidor que tem um tipo de bocal em sua residência 
somente poderia comprar do mesmo fabricante, caso contrário a lâmpada não poderia ser 
instalada. 
 
Felizmente existe uma norma que define que todas as lâmpadas elétricas devem ser de 
encaixe com rosca com medidas específicas. O mesmo se aplica a uma infinidade de produtos 
e serviços que tem normas nacionais definidas pela ABNT. 
 
1.3 – ABNT 
Fundada em 1940, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o órgão 
responsável pela normalização técnica no país, fornecendo a base necessária ao 
desenvolvimento tecnológico brasileiro. 
 
É uma entidade privada, sem fins lucrativos, reconhecida como único Foro Nacional de 
Normalização através da Resolução n.º 07 do CONMETRO, de 24.08.1992. 
É membro fundador e representante oficial no Brasil da ISO (International Organization for 
Standardization), da COPANT (Comissão Panamericana de Normas Técnicas) e da AMN 
(Associação Mercosul de Normalização). 
A ABNT é reconhecida pelo Estado brasileiro como o Fórum Nacional de Normalização, o que 
significa que as normas elaboradas pela ABNT - as NBR - são reconhecidas formalmente como 
as normas brasileiras. 
 
As Normas Brasileiras são elaboradas nos Comitês Brasileiros da ABNT (ABNT/CB) ou em 
Organismos de Normalização Setorial (ONS) por ela credenciados. Os ABNT/CB e os ONS são 
organizados numa base setorial ou por temas de normalização que afetem diversos setores. 
 
 
 
 
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1.4 – CRIAÇÃO E CANCELAMENTO DE NORMAS TÉCNICAS 
 
O processo de desenvolvimento de uma norma inicia-se com a identificação da demanda pela 
norma, a sua inclusão num plano de normalização setorial e a atribuição a uma ABNT/CE da 
responsabilidade de desenvolver o texto. 
 
Quando os membros da ABNT/CE atingem o consenso em relação ao texto, este é 
encaminhado, como projeto de norma brasileira, para consulta pública. O anúncio dos projetos 
que se encontram em consulta pública consta da página da ABNT. 
Qualquer pessoa ou entidade pode enviar comentários e sugestões ao projeto de norma ou 
recomendar que não seja aprovado, com a devida justificativa técnica. Todos os comentários 
têm necessariamente que ser considerados, cabendo à ABNT/CE acatar ou não as sugestões 
ou manifestações de rejeição, com a respectiva justificativa técnica. 
 
Aprovado o texto do projeto de norma brasileira na consulta pública, o projeto converte-se em 
norma brasileira (NBR), entrando em vigor 30 dias após o anúncio da sua publicação, que 
também é feito na página da ABNT. 
 
As normas brasileiras podem ser canceladas, devido à sua substituição por outras normas 
novas, obsolescência tecnológica ou outras razões que justifiquem o cancelamento. Este 
cancelamento também é submetido à consulta pública, cujo anúncio também é efetuado na 
página da ABNT. 
 
1.5 – BENEFÍCIOS DAS NORMAS TÉCNICAS 
 
Numa economia onde a competitividade é acirrada e onde as exigências são cada vez mais 
crescentes, as empresas dependem de sua capacidade de incorporação de novas tecnologias 
de produtos, processos e serviços. A competição internacional entre as empresas eliminou as 
tradicionais vantagens baseadas no uso de fatores abundantes e de baixo custo. A 
normalização é utilizada cada vez mais como um meio para se alcançar a redução de custo da 
produção e do produto final, mantendo ou melhorando sua qualidade. 
Podemos escalar alguns desses benefícios da Normalização da seguinte forma: 
 
Qualitativos: 
 A utilização adequada dos recursos (equipamentos, materiais e mão-de-obra) 
 A uniformização da produção 
 A facilitação do treinamento da mão-de-obra, melhorando seu nível técnico 
 A possibilidade de registro do conhecimento tecnológico 
 Melhorar o processo de contratação e venda de tecnologia 
 
Quantitativos: 
 Redução do consumo de materiais e do desperdício 
 Padronização de equipamentos e componentes 
 Redução da variedade de produtos (melhorar) 
 Fornecimento de procedimentos para cálculos e projetos 
 Aumento de produtividade 
 Melhoria da qualidade 
 Controle de processos 
 
 
 
 
FONTE: 
http://www.abnt.org.br/m3.asp?cod_pagina=931 
http://www.normalizacao.cni.org.br/f_index.htm 
http://www.inmetro.gov.br/barreirastecnicas/definicoes.asp 
 
 
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1.6 – NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento 
 
Origem: NBR 6118:1978 
CB-02 - Comitê Brasileiro de Construção Civil 
CE-02:124.15 - Comissão de Estudo de Estruturas de Concreto Simples, 
Armado e Protendido 
NBR 6118 – Design of structural concrete - Procedure 
Descriptors: Design. Structural. Plain concrete. Reinforced concrete. 
Prestressed concrete 
Esta Norma substitui a NBR 6118:1978 
Esta Norma cancela e substitui as NBR 6119:1980 e NBR 7197:1989 
 
1 Objetivo 
 
1.1 Esta Norma fixa as condições básicas exigíveis para projeto de estruturas de concreto 
simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, 
pesado ou outros especiais. 
 
1.2 Esta Norma aplica-se às estruturas de concretos normais, identificados por massa 
específica seca maior do que 2 000 kg/m3, não excedendo 2 800 kg/m3, do grupo I de 
resistência (C10 a C50), conforme classificação da NBR 8953. Entre os concretos 
especiais excluídos desta Norma estão o concreto-massa e o concreto sem finos. 
 
1.3 Esta Norma estabelece os requisitos gerais a serem atendidos pelo projeto como um todo, 
bem como os requisitos específicos relativos a cada uma de suas etapas. 
 
1.4 Esta Norma não inclui condições exigíveis para evitar os estados limites gerados por certos 
tipos de ação, como sismos, impactos, explosões e fogo. 
 
1.5 No caso de estruturas especiais, tais como de elementos pré-moldados, pontes e viadutos, 
obras hidráulicas,arcos, silos, chaminés, torres, estruturas off-shore, ou em que se utilizam 
técnicas construtivas não convencionais,tais como formas deslizantes, balanços 
sucessivos, lançamentos progressivos, concreto projetado, as condições desta Norma 
ainda são aplicáveis, devendo no entanto ser complementadas e eventualmente ajustadas 
em pontos localizados, por Normas Brasileiras específicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 – CONCRETO ARMADO2.1 – IMPORTÂNCIA DO CONCRETO ARMADO 
 
Pode-se definir um sistema construtivo como uma maneira de execução, total ou parcial, que 
contemple, pelo menos, estrutura portante, vedações, aberturas, cobertura e instalações 
básicas. São exemplos de sistemas construtivos as técnicas de construção em madeira, aço, 
alvenaria estrutural, concreto armado. 
 
Dentre os vários sistemas construtivos conhecidos no Brasil, o chamado concreto armado é, 
sem sombra de dúvida, o mais utilizado. A maior parte das edificações novas construídas nas 
áreas urbanas brasileiras está baseada nesse sistema, e isso vale tanto para as construções 
formais ou legalizadas, quanto para as informais. Nenhum outro material de construção é tão 
consumido no Brasil quanto o cimento,ingrediente principal do concreto armado e essencial 
para os tipos de vedação que o acompanham. Podemos encontrar estruturas em concreto 
armado em nossas casas de alvenaria, em rodovias, em pontes, nos edifícios mais altos do 
mundo, em torres de resfriamento, em usinas hidrelétricas e nucleares, em obras de 
saneamento, até em plataformas de extração petrolífera móveis. Estima-se que anualmente 
são consumidas 11 bilhões de toneladas de concreto, o que dá, segundo a Federación 
Iberoamericana de Hormigón Premesclado (FIHP), aproximadamente, um consumo médio de 
1,9 tonelada de concreto por habitante por ano, valor inferior apenas ao consumo de água. No 
Brasil, o concreto que sai de centrais dosadoras gira em torno de 30 milhões de metros 
cúbicos. Pode-se afirmar que a construção civil brasileira está estruturada em torno do sistema 
construtivo do concreto armado. Assim, nos currículos dos cursos de arquitetura e engenharia, 
o concreto tem mais espaço do que todos os outros sistemas construtivos juntos, como os de 
aço, madeira ou terra, por exemplo. 
 
2.2 – DEFINIÇÃO 
 
Chamamos de concreto armado à estrutura de concreto que possui em seu interior, armações 
feitas com barras de aço. Estas armações são necessárias para atender à deficiência do 
concreto em resistir a esforços de tração (seu forte é a resistência à compressão) e são 
indispensáveis na execução de peças como vigas e lajes, por exemplo. O projeto das 
estruturas de concreto armado é feito por engenheiros especializados no assunto, conhecidos 
também como calculistas. São eles quem determinam a resistência do concreto, a bitola do 
aço, o espaçamento entre as barras e a dimensão das peças que farão parte do projeto 
(sapatas, blocos, pilares, lajes, vigas, etc). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FONTE: 
http://www.portaldoconcreto.com.br/cimento/concreto/armados.html 
http://periodicos.pucminas.br/index.php/Arquiteturaeurbanismo/article/view/990/1007 
 
 
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3 – CONCRETO 
 
3.1 – VANTAGENS 
 
De maneira sucinta, pode-se afirmar que o concreto é uma pedra artificial que se molda à 
inventividade construtiva do homem. Este foi capaz de desenvolver um material que, depois de 
endurecido, tem resistência similar às das rochas naturais e, quando no estado fresco, é 
composto plástico: possibilita sua modelagem em formas e tamanhos os mais variados. 
Duas propriedades do concreto que o destacam como material construtivo são: sua resistência 
à água – diferentemente do aço e da madeira, o concreto sofre menor deterioração quando 
exposto à água, razão de sua utilização em estruturas de controle, armazenamento e 
transporte de água – e sua plasticidade – que possibilita obter formas construtivas inusitadas, 
como se vê nas obras arquitetônicas de Niemayer. Mas existem outras vantagens: a 
disponibilidade abundante de seus elementos constituintes e seus baixos custos. “Em termos 
de sustentabilidade, o concreto armado consome muito menos energia do que o alumínio, o 
aço, o vidro, e também emite proporcionalmente menos gases e partículas poluentes”, ressalta 
Arnaldo Forti Battagin, chefe dos laboratórios da Associação Brasileira de Cimento Portland 
(ABCP). 
 
3.2 – COMPOSIÇÃO 
 
Segundo a ASTM (American Society for Testing and Materials), o concreto é um material 
compósito que consiste de um meio aglomerante no qual estão aglutinadas partículas de 
diferentes naturezas 
 O aglomerante é o cimento em presença de água; 
 O agregado é qualquer material granular, como areia, pedregulho, seixos, rocha 
britada, escória de alto-forno e resíduos de construção e de demolição; se as partículas 
de agregado são maiores do que 4,75mm, o agregado é dito graúdo; caso contrário, o 
agregado é miúdo (NBR 7211 – Agregados para Concreto – Especificação); 
 Os aditivos e adições são substâncias químicas adicionadas ao concreto em seu 
estado fresco que lhe alteram algumas propriedades, adequando-as às necessidades 
construtivas. 
 
Observação: 
 Aditivos químicos – usados em pequenas quantidades, alteram características já 
existentes do concreto no sentido de torná-lo mais adequado à determinada função; 
 Adições minerais – usadas em quantidades maiores, substitui parcialmente o cimento 
como material aglomerante; pode ainda conferir ao concreto características especiais. 
 
“O concreto é uma mistura homogênea de cimento, agregados miúdos e graúdos, com ou sem 
a incorporação de componentes minoritários (aditivos químicos e adições), que desenvolve 
suas propriedades pelo endurecimento da pasta de cimento”, segundo definição da 
superintendência do CB-18 da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
 
3.3 – CIMENTO 
 
Há dois tipos básicos de cimento. Os que não endurecem debaixo da água e, quando 
endurecidos, dissolvem-se lentamente se expostos à água. Sua origem remonta ao Egito 
Antigo e à Mesopotâmia. E os cimentos usados no concreto, que permanecem estáveis em 
ambiente aquoso – solidifica-se e mantém suas propriedades (resistência à água); por isso, 
dito cimento hidráulico. O cimento hidráulico largamente empregado no concreto moderno é o 
cimento Portland. 
 
Povos antigos já construíam com barro cozido, que, apesar de maleáveis, eram pouco 
resistentes. Cabe aos egípcios o uso, pela primeira vez, do cimento de tipo não-hidráulico: a 
cal e a gipsita. 
 
 
 
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A cal é um aglomerante simples resultante da calcinação de rochas calcárias. A queima da 
rocha resulta na produção de óxido de cálcio, denominada cal virgem. O endurecimento 
processa-se lentamente, de fora para dentro, por meio da porosidade da argamassa que 
possibilita, de um lado, a evaporação da água e, de outro, a penetração do ar. Por isso, a cal é 
denominada de aglomerante aéreo. 
 
A gipsita é originária do sulfato bi-hidratado, acompanhado de certas impurezas; sua 
calcinação resulta no gesso, também um aglomerante que endurece por hidratação, mas que, 
como a cal, não possui a propriedade de resistência à água. 
 
Os romanos descobriram que, misturando-se a cinza vulcânica das proximidades do Vesúvio – 
chamada pozolana – com a cal hidratada, numa proporção que variava de 25 a 45%, obtinham 
uma cal que endurecia sob a água – cal pozolânica. A eles atribui-se também a descoberta da 
cal hidráulica, obtida pela calcinação de rochas calcárias com uma porção considerável de 
materiais argilosos. Se há dúvidas de que os romanos não tenham sido os pioneiros do 
concreto, há unanimidade entre os pesquisadores de que eles indubitavelmente foram os 
primeiros que o usaram em larga escala. 
 
O cimento Portland surgiu da queima de calcário e argila, finamente moídos e misturados, sob 
altas temperaturas, promovida pelo inglês Joseph Aspdin, em 1824. Ele estabeleceu uma 
fábrica de cimento em Leeds, em 1825, e denominou seu cimento de Portland, em menção às 
rochas da ilha britânica de Portland, material de construção muito conhecido e utilizado na 
época. “O cimento Portland obtido apresentava cor e propriedades de durabilidade e solidez 
semelhantes às rochas da ilha”, explica Arnaldo. 
Apesar do nome, o cimento hoje conhecido como Portlandnão é o mesmo material patenteado 
por Aspdin. Isso porque o cimento moderno é obtido pela queima de uma mistura definida de 
rocha calcária e argila, finamente moídas, até sua fusão incipiente, resultando numa substância 
denominada clínquer. Os fornos de Aspdin eram precários demais para conseguirem obter 
clínquer, além da proporção da mistura não ser definida na patente. Construídos em alvenaria 
com forma de garrafa, com aproximadamente 12m de altura e 5,6m de diâmetro, os fornos 
queimavam a mistura imperfeitamente, o que requeria um custoso trabalho de inspeção e 
classificação manual, sendo processo bastante anti-econômico (o consumo de coque podia 
atingir mais da metade do peso de cimento produzido). Por causa dos fornos, o uso do 
concreto foi incipiente na década de 30 dos anos 1800. Ele foi usado principalmente em 
fundações. Mas, o termo concreto ficou estabelecido para designar uma massa sólida 
resultante da combinação de cimento, areia, água e pedras. Seu desenvolvimento ganhou 
impulso a partir da segunda metade do século XIX, principalmente na Alemanha, com avanços 
no projeto de fornos, que aumentaram a uniformidade do clínquer, e dos estudos sobre a 
melhor proporção da mistura para a obtenção de um clínquer mais duro. 
 
As dosagens do cimento e do concreto, ou seja, as proporções dessas misturas são tão 
importantes para a obtenção de um produto de qualidade que são normalizadas. Cada país 
possui normas técnicas que recomendam como obter diferentes cimentos e concretos para 
diferentes aplicações. No Brasil, o mercado da construção civil dispõe de 8 opções de 
cimentos: 
 Cimento Portland Comum CP I e CP I-S (NBR 5732) 
 Cimento Portland CP II - Composto (NBR 11578) 
 Cimento Portland de Alto Forno CP III (com escória – NBR 5735) 
 Cimento Portland CP IV (com pozolana – NBR 5736) 
 Cimento Portland CP V ARI – (Alta Resistência Inicial – NBR 5733) 
 Cimento Portland CP (RS) – (Resistente a sulfatos – NBR 5737) 
 Cimento Portland de Baixo Calor de Hidratação (BC) – (NBR 13116) 
 Cimento Portland Branco (CPB) – (NBR 12989) 
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3.4 – TIPOS DE CONCRETO 
 
 Classificação em função de sua massa específica, obtida pelas diferentes dosagens da 
mistura (também chamadas de traços): 
 
 Concreto de densidade normal: massa específica no intervalo de 2000 a 
2800kg/m3 (comumente encontrado em obras em geral); 
 Concreto leve: densidade abaixo do intervalo estabelecido para o concreto normal, 
obtida com o uso de agregados com menor massa específica (usado em vedações, por 
exemplo); 
 Concreto pesado: massa específica acima do intervalo estabelecido para o concreto 
normal, devido ao uso de agregados de alta densidade (usado em blindagem contra 
radiação). 
 
 Classificação em função de sua resistência à compressão aos 28 dias, conforme a ABNT 
NBR 8953: 
 Concreto de baixa resistência: menos de 20MPa (não adequado à finalidade estrutural, 
segundo a NBR 6118) 
 Concreto de resistência normal: de 20 a 50MPa 
 Concreto de alta resistência: mais de 50MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FONTE: 
http://www.ibracon.org.br/publicacoes/revistas_ibracon/rev_construcao/pdf/Revista_Concret
o_53.pdf 
 
 
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3.5 – NBR 8953 – Concreto para fins estruturais – Classificação por grupos de 
resistência 
 
Origem: Projeto CB-130/91 
CB-18 - Comitê Brasileiro de Cimento, Concreto e Agregados 
CE-18:305.02 - Comissão de Estudo de Classificação de Concretos 
NBR 8953 - Concrete for structural use - Strength classification - Classification 
Descriptors: Concrete. Classification 
Esta Norma substitui a NBR 8953/85 
 
1 Objetivo 
 
1.1 Esta Norma se aplica a concretos leves, normais ou pesados, misturados em canteiro de 
obra e dosados em central, no próprio local da obra ou fora dela, utilizados em elementos 
de concreto simples, armado ou protendido, bem como em elementos armados com perfis 
rígidos de aço. 
 
1.2 Esta Norma se aplica a concretos com estrutura interna fechada, compostos e adensados 
de forma a não reter ar além daquele intencionalmente incorporado, produzidos a partir de 
mistura de cimento, agregados, água e, eventualmente, aditivos ou adições. 
 
1.3 Esta Norma não se aplica a concreto-massa, concreto projetado, concreto sem finos. 
 
3 Classe 
 
3.1 Os concretos são classificados em grupos de resistência, grupo I e grupo II, conforme a 
resistência característica à compressão (fck), determinada a partir do ensaio de corpos-de-
prova preparados de acordo com a NBR 5738 e rompidos conforme a NBR 5739. 
 
3.2 Dentro dos grupos, os concretos normais com massa específica seca, de acordo com a 
NBR 9778, compreendida entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3, são designados pela letra C 
seguida do valor da resistência característica à compressão (fck), expressa em MPa, conforme 
Tabelas 1 e 2 
 
Tabela 1 - Classes de resistência do Tabela 2 - Classes de resistência do 
grupo I grupo II 
 
Grupo I de 
Resistência 
Resistência 
característica à 
compressão (MPa) 
C10 
C15 
C20 
C25 
C30 
C35 
C40 
C45 
C50 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo II de 
Resistência 
Resistência 
característica à 
compressão (MPa) 
C55 
C60 
C70 
C80 
55 
60 
70 
80 
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4 – AÇO 
 
4.1 – VANTAGENS PARA O CONCRETO ARMADO 
 
Como o concreto simples apresenta pequena resistência a tração e é frágil, é altamente 
conveniente a associação do aço ao concreto, obtendo-se o concreto armado. Esse material, 
adequadamente dimensionado e detalhado, resiste muito bem à maioria dos tipos de 
solicitação; além de fornecer ductilidade, o aço aumenta a resistência do concreto à 
compressão. 
 
4.2 – COMPOSIÇÃO 
 
Os aços para concreto armado são ligas de ferro que contém, para melhorar as suas 
propriedades, elementos como carbono, manganês, silício, cromo e também impurezas 
não metálicas como combinações de fósforo e enxofre. Conforme a composição apresentam 
propriedades diferentes. A resistência do aço aumenta com o teor de carbono na sua 
composição ou mesmo a adição de outros elementos formando a ligas. 
 
4.3 – PROCESSO DE PRODUÇÃO DO AÇO 
 
O ponto de partida para obtenção do aço é o minério de ferro. A hematita é atualmente um 
minério de ferro de grande emprego na siderurgia. O produto obtido nas aciarias é um material 
com granulação grosseira, quebradiço e de baixa resistência, por isso, a etapa final é o 
tratamento mecânico do aço obtido, que o transforma no produto com características 
adequadas à sua utilização. 
 
 Tratamento mecânico a quente: 
Chama-se tratamento mecânico a quente quando a temperatura de trabalho é maior 720
o
 C. 
Nessas temperaturas há uma modificação da estrutura interna do aço, ocorrendo 
homogeneização e recristalização com a redução do tamanho dos grãos, melhorando as 
características mecânicas do material. 
 
O aço obtido nessa situação apresenta melhor trabalhabilidade, aceita solda comum, apresenta 
geralmente um limite de escoamento bem definido, suas propriedades dependem unicamente 
da sua composição química e resiste a incêndios moderados. 
Estão incluídos neste grupo os aços CA-25 e CA-50. 
 
DIAGRAMA TENSÃO x DEFORMAÇÃO PARA AÇO TRATADO A QUENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 Tratamento mecânico a frio: 
Através de um trabalho mecânico (estiramento, torção, relaminação, trefilação), executado a 
frio em um aço de dureza natural, consegue-se aumentar a sua resistência mecânica e sua 
dureza. O produto obtido através desse método tem menor resistência à corrosão e ductilidade 
(decréscimo do alongamento e da estricção). A solda torna-se mais difícil e quando aquecido a 
altas temperaturas, o aço deformado a frio perde essa resistência e retorna àcondição de aço 
de dureza natural. Neste grupo está incluído o aço CA-60. 
 
DIAGRAMA TENSÃO x DEFORMAÇÃO PARA AÇO TRATADO A FRIO 
 
 
4.4 - CLASSIFICAÇÃO 
 
 Fios ou Barras: 
 
NBR 7480 – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado — Especificação 
 
4 Requisitos gerais / 4.1 Classificação / 4.1.1 Para os efeitos desta Norma, classificam-se como 
barras os produtos de diâmetro nominal 6,3 mm ou superior, obtidos exclusivamente por 
laminação a quente sem processo posterior de deformação mecânica). 
Classificam-se como fios aqueles de diâmetro nominal 10,0 mm ou inferior, obtidos a partir de 
fio-máquina por trefilação ou laminação a frio. 
 
 Quanto ao processo de fabricação: 
 Tipo “A” – com tratamento mecânico a quente; 
 Tipo “B” – com tratamento mecânico a quente e depois encruados a frio por meio de 
torção, compressão transversal etc. (Por exemplo: o CA 40 B é obtido do CA 25 por torção 
a frio). 
 
 Quanto à tensão de escoamento (fyk) 
O aço pode ser dividido em categorias que são funções principais dos seus teores de carbono: 
CA 25, CA 32, CA 40, CA 50 e CA 60. 
Cada categoria é indicada pelo código CA (aço de concreto armado) e pelo x indicativo de 
tensão de escoamento. A unidade de medida está em kgf/mm², 
No caso do CA 50, por exemplo, sua resistência (fyk) é equivalente a 500 MPa. 
 
Categoria 
 
Tensão de escoamento mínima ou, 
valor característico 
fyk (Kgf/cm2) 
Tensão para a qual ocorre a 
deformação de 0,2% 
δsd (kgf/cm2) 
 
CA25 2500 2150 
CA32 3200 2800 
CA40A 4000 3500 
CA40B 4000 3000 
CA50A 5000 4200 
CA50B 5000 3500 
CA60B 6000 4000 
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Para aços tipos A e B uma diferença no tocante a alcançarem uma deformação de 0,2% o que 
é considerado limite para as deformações que se aceitam nas estruturas. Os aços tipo A 
produzem essa deformação com tensões ligeiramente superiores aos aços tipo B. Face a isso 
os valores de cálculo do aço tipo A são maiores que os aços tipo B como se vê na tabela 
anterior, Quando não se conhece o tipo de aço que vai se usar na obra deve-se a favor da 
segurança usar nos cálculos o aço tipo B que resulta em maior área de aço e portanto maior 
quantidade. Se a obra usar o aço tipo B não há problema. Se usar aço tipo A teremos folga. Se 
calculássemos com aço tipo A e a obra usasse tipo B estaríamos contra a segurança. 
A tensão do aço que corresponde a deformação de 0,2% é denominada δsd e foi indicada na 
tabela. 
 
4.5 – NERVURAS 
 
Concreto armado é uma construção solidária, devendo o concreto ser atritado com o aço. 
Quando se usam em conjunto aço e concreto, eles não podem se deslocar um em relação ao 
outro, Face a isso exige-se dos aços uma aderência mínima (atrito) em relação ao concreto 
envolvente. Para aços de maior resistência a aderência tem que ser maior do que os aços de 
menor resistência, pois os de maior resistência trabalham em geral com maiores tensões. Face 
a isso temos, nos aços de alta resistência, dar a ele mais atrito no concreto. 
A NBR 7480 determina também, nos seus itens destinados às características geométricas de 
barras e fios de aço, a existência de nervuras que ajudam a aumentar a aderência entre 
concreto e aço. 
 
NBR 7480 – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado — 
Especificação 
 
4.2 Características geométricas / 4.2.1 Configuração geométrica de barras nervuradas – 
Categoria CA-50 / 4.2.1.1 As barras da categoria CA-50 são obrigatoriamente providas de 
nervuras transversais oblíquas, conforme exemplificado na Figura A.1. 
 
 
4.2.2 Configuração geométrica de fios – Categoria CA-60 / 4.2.2.1 Os fios podem ser lisos, 
entalhados ou nervurados, observando-se o atendimento ao coeficiente de conformação 
superficial mínimo que consta na Tabela B.3. 
4.2.2.2 Os fios de diâmetro nominal igual a 10,0 mm devem ter obrigatoriamente entalhes ou 
nervuras. 
 
 
4.2.3 Configuração geométrica de barras lisas – Categoria CA-25 
A categoria CA-25 deve ter superfície obrigatoriamente lisa, desprovida de quaisquer tipos de 
nervuras ou entalhes. Deve-se adotar como coeficiente de conformação superficial para todos 
os diâmetros valor igual a 1 (η = 1). 
 
 
 
CA 25 
Barras Lisas 
Bitola (mm) 
CA 50 
Barras Nervuradas 
Bitola (mm) 
CA 60 
Fios 
Bitola (mm) 
6,3 6,3 4,2 (nervurado) 
8,0 8,0 5,0 (nervurado) 
10,0 10,0 6,0 (liso) 
12,5 12,5 7,0 (liso) 
16,0 16,0 8,0 (liso) 
20,0 20,0 9,5 (liso) 
25,0 25,0 
 32,0 
 
 
 
 
12 
 
5 – ELEMENTOS DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO 
 
Os elementos que compõem uma estrutura em concreto armado são basicamente as lajes, 
vigas, pilares e elementos de fundação que podem ser estacas, blocos, tubulões ou sapatas. 
 
5.1 – LAJES 
 
Destinadas a servir como piso ou cobertura de um pavimento, as lajes recebem a carga vertical 
proveniente de móveis, pessoas, instalações além de seu peso próprio. Podemos entender as 
lajes como placas de concreto armado, moldadas no local ou pré-moldadas, armadas em uma 
ou duas direções, com uma espessura mínima adequada à carga que deve suportar. As lajes 
são apoiadas nas vigas. 
Existem casos em que é necessário rebaixar a laje, como em banheiros e sacadas por 
exemplo. Nesse caso o apoio é feito num ponto lateral da viga. 
 
 
5.2 – VIGAS 
 
Podem ser entendidas como barras de concreto armado. Geralmente são posicionadas de 
forma a coincidir com as paredes para que não fiquem aparentes. Isso não significa que deve 
haver uma viga sob cada parede; existem casos em que algumas vigas podem ser suprimidas 
(cômodos de pequenas dimensões). 
As vigas têm por objetivo receber a carga das lajes e também de outras vigas, devendo 
portanto ser calculadas de forma a resistir com segurança a todos os esforços. Um cálculo 
mais exato consiste em considerar todas as vigas em conjunto, formando uma estrutura 
monolítica denominada grelha (usando-se conhecimentos da hiperestática). 
 
5.3 – PILARES 
 
Recebem as cargas das vigas (forças verticais e momentos resultantes das ligações) e as 
transferem para as fundações. Processos mais exatos consistem em considerar as vigas 
intimamente ligadas aos pilares, formando um sistema em quadros rígidos ou pórticos. Deve-se 
observar também efeitos devidos à esbeltez de um pilar (flambagem). 
 
5.4 – FUNDAÇÃO 
 
Elementos responsáveis por transmitir as cargas provenientes dos pilares ao solo. Como 
existem diferentes tipos de solo, existem também diferentes técnicas de fundação – a solução 
escolhida para fundação deve ser adequada aos esforços que irá receber e também ao tipo de 
terreno em que se está trabalhando. 
 
5.5 – DETALHES CONSTRUTIVOS 
 
A construção de um edifício consiste na reunião de vários elementos, cada um com sua função 
específica. São exemplos desses elementos o projeto arquitetônico que especifica, entre outras 
coisas, o layout que se espera, as instalações elétricas e hidráulicas (esgoto inclusive), 
instalações de prevenção a incêndios e outros. 
O produto acabado deve apresentar harmonia desses vários elementos, por isso alguns 
detalhes devem ser observados durante o projeto estrutural como, por exemplo, peças 
estruturais aparentes, passagens de tubulações por dentro de vigas, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
P1
20x20 V1-A 10x30
V3
 10
x30
L1 L2 L3
A A
CORTE A
V1-B 10x30
V2-A 10x30 V2-B 10x30
V4
 10
x20
V5
 10
x30
V6
 10
x30
P2
20x20
P3
20x20
P4
20x20
P5
20x20
P6
20x20
5.5 – EXEMPLO DE UMA ESTRUTURA EM CONCRETO ARMADO 
 
PLANTA DE FORMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura acima representa o esquema reduzido de uma estrutura em concreto armado. À 
esquerda tem-se a planta de formas com as dimensões das vigas e pilares. Nela podemos ver 
que as lajes se apoiam nas vigas em seuperímetro e que as vigas apoiam-se nos pilares. As 
vigas V1 e V2 estão apoiadas em três pilares, as vigas V3, V5 e V6 apoiam-se em apenas dois. 
A viga V4 está apoiada nas vigas V1 e V2, sendo então chamada de viga secundária. As vigas 
que recebem carga de outras vigas são chamadas de vigas principais. À direita apresentamos 
um corte lateral para melhor compreensão da estrutura. 
 
6 – LAJES 
 
6.1 – INTRODUÇÃO 
 
São os primeiros elementos da estrutura a receber as cargas acidentais e, em função dessas 
cargas e dos esforços que acarretam, dimensionamos a laje calculando sua espessura e as 
armaduras necessárias. A NBR 6118 determina valores mínimos para a espessura de lajes 
maciças: 
 
13.2.4.1 Lajes maciças 
 
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
 
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
 
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
 
e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, l/42 para lajes de piso bi-apoiadas e l/50 para lajes 
de pisocontínuas; 
 
f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
b
a
6.2 – CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
 
Quanto à direção da armadura, as lajes podem ser armadas em uma ou duas direções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima, supondo que a representa a maior dimensão e b representa a menor, 
podemos seguir a regra: 
 
 a/b > 2 – laje armada em uma única direção; 
 a/b ≤ 2 – laje armada em duas direções ou armada em cruz. 
 
6.3 – DETERMINAÇÃO DAS CARGAS 
 
As cargas atuantes em lajes são divididas em duas parcelas: carga permanente e carga 
acidental. A NBR 6120 é a norma brasileira que regulamenta os valores de carga a serem 
considerados em projetos. 
 
 
NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações 
Origem: Projeto ABNT - NB-5/1978 
CB-02 - Comitê Brasileiro de Construção Civil 
CE-02:03.11 - Comissão de Estudo de Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edifícios 
Procedimento 
 
1 Objetivo 
1.1 Esta Norma fixa as condições exigíveis para determinação dos valores das cargas que 
devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações, qualquer que seja sua classe e 
destino, salvo os casos previstos em normas especiais. 
 
1.2 Para os efeitos desta Norma, as cargas são classificadas nas seguintes categorias: 
a) carga permanente (g); 
b) carga acidental (q). 
 
2 Condições específicas 
2.1 Carga permanente 
2.1.1 Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos os 
elementos construtivos fixos e instalações permanentes. 
 
2.1.2 Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no projeto, o 
cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal da carga, quando não 
for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma 
carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso 
por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 kN/m
2
. 
 
2.1.3 Na falta de determinação experimental, deve ser utilizada a Tabela 1 para para adotar os 
pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais frequentes. 
 
2.2 Carga acidental 
É toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, 
móveis, materiais diversos, veículos etc.). 
 
15 
 
2.2.1 Condições peculiares 
2.2.1.1 Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos a 
arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes etc., não é necessária 
uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se considere um acréscimo de 3 
kN/m
2
 no valor da carga acidental. 
 
2.2.1.2 As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além das que 
se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos devidos a pessoas, móveis, 
utensílios e veículos, e são supostas uniformemente distribuídas, com os valores mínimos 
indicados na Tabela 2. 
 
 
Tabela 1 - Peso específico dos materiais de construção 
 
 
 
Materiais Peso específico 
 
 aparente (kN/m³) 
 Arenito 26 
1 Rochas Basalto 30 
 Gneiss 30 
 Granito 28 
 Mármore e calcáreo 28 
 Blocos de argamassa 22 
2 Blocos Cimento amianto 20 
artificiais Lajotas cerâmicas 18 
 Tijolos furados 13 
 Tijolos maciços 18 
 Tijolos sílico-calcáreos 20 
 Argamassa de cal, cimento e areia 19 
3 Revestimentos Argamassa de cimento e areia 21 
e concretos Argamassa de gesso 12,5 
 Concreto simples 24 
 Concreto armado 25 
 Pinho, cedro 5 
4 Madeiras Louro, imbuia, pau óleo 6,5 
 Guajuvirá, guatambu, grápia 8 
 Angico, cabriuva, ipê róseo 10 
 Aço 78,5 78,5 
5 Metais Alumínio e ligas 28 28 
 Bronze 85 85 
 Chumbo 114 114 
 Cobre 89 89 
 Ferro fundido 72,5 72,5 
 Estanho 74 74 
 Latão 85 85 
 Zinco 72 72 
 AIcatrão 12 12 
6 Materiais Asfalto 13 13 
diversos Borracha 17 17 
16 
 
 Papel 15 15 
 Plástico em folhas 21 21 
 Vidro plano 26 26 
 
 
Tabela 2 - Valores mínimos das cargas verticais 
 
 Local Carga 
 (kN/m²) 
1 Arquibancadas 4 
2 Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as 
 previstas em 2.2.1.5 
3 Bancos Escritórios e banheiros 2 
 Salas de diretoria e de gerência 1,5 
4 Bibliotecas Sala de leitura 2,5 
 Sala para depósito de livros 4 
 Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 6 
 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de 
5 Casas de máquinas (incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em cada caso, 
 porém com o valor mínimo de 7,5 
6 Cinemas Platéia com assentos fixos 3 
 Estúdio e platéia com assentos móveis 4 
 Banheiro 2 
7 Clubes Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos 3 
 Sala de assembléia com assentos móveis 4 
 Salão de danças e salão de esportes 5 
 Sala de bilhar e banheiro 2 
8 Corredores Com acesso ao público 3 
 Sem acesso ao público 2 
9 Cozinhas não residenciais A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3 
10 Depósitos A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais 
 conforme o indicado em 2.2.1.3 - 
11 Edifícios residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5 
 Despensa, área de serviço e lavanderia 2 
12 Escadas Com acesso ao público 3 
(ver 2.2.1.7) Sem acesso ao público 2,5 
13 Escolas Anfiteatro com assentos fixos 
 Corredor e sala de aula 3 
 Outras salas 2 
14 Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2 
15 Forros Sem acesso a pessoas 0,5 
16 Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 3 
17 Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 3 
18 Garagens e estacionamentos Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 
 25 kN por veículo. Valores de φ indicados em 2.2.1.6 3 3 
17 
 
19 Ginásios de esportes 5 
20 Hospitais Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia, 
 sala de raio X e banheiro 2 
 Corredor 3 
21 Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinado em cada caso, 
 porém com o mínimo 3 
22 Lavanderias Incluindo equipamentos 3 
23 Lojas 4 
24 Restaurantes 3 
25 Teatros Palco 5 5 
 Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas - 
26 Terraços Sem acesso ao público 2 
 Com acesso ao público 3 
 Inacessível a pessoas 0,5 
 Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo 
 órgão competente do Ministério da Aeronáutica- 
27 Vestíbulo Sem acesso ao público 1,5 
 Com acesso ao público 3 
 
 
O cálculo do peso próprio da laje depende de sua espessura, que depende do 
dimensionamento da laje, que depende da obtenção das cargas. Para resolver essa 
indeterminação, podemos fazer um pré dimensionamento da laje através das equações: 
 
 
 
 
 
onde: 
L – vão menor da laje 
Ψ2 – coeficiente que depende dos tipos de vículos da laje 
Ψ3 – coeficiente que depende do tipo de aço que se vai usar na armadura da laje 
h – altura da laje 
d – distância da armadura à face mais distante 
d´ – cobrimento da armadura 
 
As tabelas abaixo fornecem os valores de Ψ2 e Ψ3. 
 
 Valores de Ψ2 para lajes armadas em uma direção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
4,20 4,20
3,5
0
 Valores de Ψ2 para lajes armadas em cruz: 
 
 
 
Ly – vão menor 
Lx – vão maior 
Número superior – valor de Ψ2 para Lx / Ly = 1 
Número inferior – valor de Ψ2 para Lx / Ly = 2 
Para Lx / Ly entre 1 e 2, interpolar linearmente 
 
 Valores de Ψ3. 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
Cálculo da carga sobre as lajes abaixo, sabendo-se que se referem a quartos de uma 
habitação comum. 
Obs: as distâncias já foram consideradas até o centro dos apoios; considerar para a armadura 
aço CA 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Lx
Ly
caso 1
Lx
Ly
caso 2
Lx
Ly
caso 3
Ly
caso 4
Lx
Ly
caso 5
Lx
Ly
caso 6
Lx
Lx
Ly
6.4 – DISTRIBUIÇÃO DA CARGA SOBRE A LAJE 
 
 LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
 
Divide-se a laje em vigas paralelas, com base igual a 1 metro. A carga que atua sobre cada 
“viga” é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo da laje é feito segundo o esquema de carga abaixo: 
 
 
 
 
 LAJES ARMADAS EM CRUZ 
 
1
o
 CASO – LAJES ISOLADAS 
 
Vamos aqui dividir a laje, as cargas e a armadura em duas direções: x e y. 
 
Sendo Lx a direção que apresenta o maior número de 
engastes, ou a menor direção. 
(condições de apoio iguais  Lx é o menor vão) 
 
 
 
 
 
As parcelas da carga em cada direção devem respeitar a condição: px + py = p 
 
As parcelas px e py podem ser calculadas pelo estudo da flechas (deformações) no meio do 
vão, que por sua vez dependem dos tipos de vínculos a que estão submetidas as extremidades 
da laje. São seis casos de apoios para as lajes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações que fornecem a flecha no centro de peças sujeitas a cargas uniformemente 
distribuídas são: 
 Viga sobre 2 apoios: 
 
 
 
 Viga sobre 1 apoio e 1 engaste: 
 
 
 
20 
 
 Viga sobre 2 engastes: 
 
 
 
 
Ao igualarmos as flechas no centro do vão para as dimensões x e y, para os diferentes tipos de 
apoio, obtemos as parcelas da carga em cada direção. 
As relações são obtidas em função da razão entre os lados, 
 
 
. 
Seguem abaixo as relações encontradas para os seis tipos de apoios: 
 Caso 1: 
 
 
 
 
 Caso 2: 
 
 
 
 
 Caso 3: 
 
 
 
 
 Caso 4: 
 
 
 
 
 Caso 5: 
 
 
 
 
 Caso 6: 
 
 
 
 
De um modo geral, podemos escrever: px = kx . p, sendo k dado em função de λ 
 
Para o cálculo prático das parcelas px e py da carga, usam-se as tabelas n
os
. 1 a 6, que 
fornecem os valores do coeficiente k em função de λ. Para o caso 1, por exemplo, temos: 
 
 
 
 
 
A parcela py pode ser calculada fazendo: py = p – px 
 
 
2
o
 CASO – LAJES CONTÍNUAS 
 
Podemos considerar as lajes contínuas como lajes isoladas, e usar as relações anteriores, 
fazendo-se a seguinte consideração: apoios intermediários considerados como engastes 
perfeitos, apoios extremos considerados como apoio simples. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma os cálculos tornam-se idênticos aos já estudados em lajes isoladas. 
 
 
 
 
21 
 
0,08 4,40
0,08
4,40
0,08
0,0
8
3,3
0
0,0
8
3,3
0
0,0
8
EXEMPLO 2: 
 
Calcular as parcelas px e py da carga que atua sobre as lajes abaixo, destinadas a piso de 
habitação comum (salas e quartos). Considere a espessura da laje igual a 8 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5 – CALCULO DOS MOMENTOS NAS LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
 
 Lajes isoladas  2 apoios: 
 
 
 
 
 1 apoio e 1 engaste: 
 
 
 
 
 
 
 
 2 engastes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lajes contínuas: os momentos podem ser calculados de maneira simplificada, com a 
condição que a diferença entre os vão não seja maior que 20% do maior vão. A equação usada 
nestes caos é: 
 
 
, sendo k dado pelas tabelas: 
 
Vãos Valores 
 de k 
extremos 11 
centrais 15 
 
 
Os casos mais complexos serão vistos no estudo das vigas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoios Valores 
 de k 
entre vãos extremos -8 
entre vãos centrais -10 
entre vão extremo e vão central -9 
22 
 
EXEMPLO 3: 
 
Calcular os momentos que atuam sobre as lajes abaixo, referentes ao piso de uma sala e dois 
quartos. Considere que a espessura da laje igual a 8 cm. 
 
0,10 2,90
0,10
3,40
0,10
2,90
0,10
0,1
0
8,0
0
0,1
0
fora de escala
 
 
 
 
6.6 – CALCULO DOS MOMENTOS NAS LAJES ARMADAS EM CRUZ PELA TEORIA DAS 
GRELHAS 
 
 Lajes isoladas 
A Teoria das grelhas estuda a laje como vigas paralelas de 1 metro de largura, que 
funcionariam de modo independente (não se considera a ligação existente entre cada “viga”). 
Dessa forma devemos calcular os momentos em cada direção (Mx e My, Xx e Xy), usando os 
correspondentes vãos e parcelas de carga. 
 
Os momentos podem ser calculados pela equações: 
 
 
 
; 
 
 
 
 
 
 
 
; ; 
 
 
 
 
Os valores de mx, nx, my e ny são obtidos em função do tipo de apoio na direção considerada: 
 Caso de 2 apoios: m=8, n=0 
 Caso de 1 apoio e um engaste: m=14,22, n=-8 
 Caso de 2 engastes: m=24, n=-12 
 
 Lajes contínuas 
As lajes contínuas podem ser tratadas da mesma maneira que as lajes isoladas se fizermos 
novamente as considerações anteriores sobre os apoios: intermediários considerados como 
engastes perfeitos, extremos considerados como apoio simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
0,08 4,40
0,08
4,40
0,08
0,0
8
3,3
0
0,0
8
3,3
0
0,0
8
EXEMPLO 4: 
 
Calcular, pela Teoria das grelhas, os momentos que atuam sobre as lajes abaixo destinadas a 
piso de habitação comum (salas e quartos). Considere a espessura da laje igual a 8 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.7 – CALCULO DOS MOMENTOS NAS LAJES ARMADAS EM CRUZ PELO PROCESSO 
DE MARCUS 
 
 Lajes isoladas 
A diferença entre o processo de Marcus e a teoria das grelhas é que Marcus considerou, 
através da Teoria da Elasticidade e métodos semi empíricos, as ligações existentes entre as 
diversas “vigas” que compõem a laje. Desta forma Marcus conseguiu valores menores para os 
momentos atuantes, sendo então possível de se fazer um dimensionamento mais econômico. 
 
As equações usadas para os cálculos dos momentos são: 
 
 
 
; 
 
 
 
 
 
 
 
; ; 
 
 
 
Os novos valores para os coeficientes mx, my, nx e ny são dados nas tabelas n
os
. 1 a 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
0,10 4,00
0,10
0,1
0
5,0
0
0,1
0
0,08 4,40
0,08
4,40
0,08
0,0
8
3,3
0
0,0
8
3,3
0
0,0
8
EXEMPLO 5: 
 
Calcular, pela Teoria de Marcus, os momentos que atuamsobre a laje abaixo destinada a piso 
de um escritório. Considere a espessura da laje igual a 10cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lajes contínuas 
As lajes contínuas podem ser tratadas da mesma maneira que as lajes isoladas se fizermos 
novamente as considerações anteriores sobre os apoios, situação válida para painéis 
regulares, sem grandes variações de tamanho dos vãos, sem grandes valores de sobrecarga 
(q < 1,5g). 
Para situações de grandes sobrecargas deve ser feita uma análise da situação mais 
desfavorável de distribuição da sobrecarga nos painéis. 
 
 
EXEMPLO 6: 
 
Calcular, pela Teoria de Marcus, os momentos que atuam sobre as lajes abaixo destinadas a 
piso de habitação comum (salas e quartos). Considere a espessura da laje igual a 8 cm.