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Revisa˜o para P1 Prof.a Andrea Martinho 1. Calcule os limites abaixo, justificando sua resposta. (a) lim x→2 √ x+ 1−√3√ 5x− 1− 3 (b) lim x→+∞ √ x2 + 1− x (c) lim x→0 cos2x+ 1√ 2(x2 + 1) (d) lim x→+∞ √ x2 + 4 x+ 4 (e) lim x→0 tg 5x sen 2x (f) lim x→5 2x − 25 x− 5 (g) lim x→1 sen(pix) 1− x2 2. Use o Teorema do Confronto para deter- minar o limite: (a) lim x→2 sen [ (x− 2)cos 1 x− 2 ] (b) lim x→−1 g(x), se |3g(x)− 5| < 5(x+ 1)2 para todo x ∈ R (c) lim x→1 f(ex 2 −1)sen 1 x− 1 se f uma func¸a˜o cont´ınua com f(1) = 0. 3. Considere as func¸o˜es h(x) = (x − 1)2 e g(x) = −(x−1)2. Seja f(x) uma func¸a˜o definida para todo x ∈ R, e que satisfaz g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) (∀x ∈ R). (a) Prove que f(x) e´ continua em x = 1. (b) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f(x) que na˜o seja diferencia´vel em x = −2. 4. Seja f(x) = |x− 1|+ |x|. (a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o. (b) Determine os limites laterais limx→1+ f(x), limx→1− f(x) limx→0+ f(x), limx→0− f(x). Existe lim x→0 f(x)? E o lim x→1 f(x) (c) Estude a continuidade de f . 5. Considere a seguinte func¸a˜o: f(x) = 2x− 2 se x < −1, Ax+B se −1 ≤ x ≤ 1, 5x+ 7 se x > 1. (a) Determine os valores de A e B, de tal forma que a func¸a˜o f seja cont´ınua para todo x ∈ R. (b) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico. 6. Dado f(x), calcule f ′(x): (a) f(x) = x5 − 3x3 + 1 (b) f(x) = x10 10 + x5 5 + 6 (c) f(x) = x8 − 2x7 + 3x+ 1 (d) f(x) = esen x (e) f(x) = arc tg(x2 − 2x+ 1) (f) f(x) = sec(ex − 2) (g) f(x) = 2 5x − √ 2 3x2 (h) f(x) = (x3 − 8) ( 2 x − 1) (i) f(x) = 2x+ 7 3x− 1 (j) f(x) = (2 + sen x)cos 3x (k) f(x) = x2ee e e x 1 (l) f(x) = 1− ex 1 + ex (m) f(x) = ln ( (x2−1)3 ln x )2 7. Expresse dy dx em termos de x e y, onde y = f(x) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel dada implicitamente pela equac¸a˜o: (a) x2 − y2 = 4 (b) xy2 + 2y = 3 (c) x2 + 4y2 = 3 (d) x2 + y2 + 2y = 0 (e) xey + xy = 3 (f) y + cos y = xy (g) y + ln(x2 + y2) = 4 (h) 2y + seny = x 8. (a) Seja f : R −→ R diferencia´vel e seja f(x) = xg(x2). Supondo que g(1) = 4 e g′(1) = 2, calcule f ′(1) (b) Uma escada de 8m esta´ encostada em uma parede. Se a extremi- dade inferior da escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2(m/s), com que ve- locidade a extremidade superior es- tara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede? 9. Um triaˆngulo iso´sceles ABC tem o ve´rtice A em (0, 0). A base deste triaˆngulo que esta´ situada acima deste ve´rtice e e´ paralela ao eixo x, e tem os ve´rtices B e C localizados sobre a para´bola y = 9 − x2. Sabendo que o lado BC aumenta a´ raza˜o de 2cm/s, de- termine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo, no instante em que o lado BC mede 4cm. 10. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = ex no ponto de abs- cissa 0. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente. 11. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = ln x no ponto de abscissa 1. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente. 12. Seja f(x) = x2. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ tangente ao gra´fico de f e paralela a` reta y = 1 2 x+ 3. 13. Sabe-se que r e´ uma reta tangente ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x e paralela a` reta y = 6x − 1. Determine a equac¸a˜o de r. 2
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