Lista de exercícios - Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 Lista 2 1.o/2015
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Sejam P = (x, y) um ponto gene´rico de R2, P0 = (0, 0) e f : R
2 → R a func¸a˜o dada por
f(P0) = 0 e f(P ) = f(x, y) = x y/
√
x2 + y2 para P 6= P0. A figura abaixo ilustra o gra´fico
de f juntamente com a restric¸a˜o da func¸a˜o ao longo da reta y = x.
C E a) Dado uma margem de toleraˆncia ǫ > 0, basta escolher a margem de seguranc¸a
δ = 2ǫ para se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ.
C E b) A func¸a˜o f na˜o e´ cont´ınua em P0.
C E c) Para algum v = (a, b) ∈ R2 a func¸a˜o g(t) = f(tv)
na˜o e´ deriva´vel em t = 0.
C E d) O limite lim
P→P0
f(P )/‖P‖ e´ igual a zero.
C E e) A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em P0.
2) Suponha que a temperatura da chapa D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1 e y > 0} seja dada
pela func¸a˜o T (x, y) = 20
pi
arctan
(
2 y
1−x2−y2
)
, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Neste caso, as
curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o as isotermas da chapa.
x
y
a) Verifique que as isotermas sa˜o arcos de c´ırculos com centros no
eixo Oy e passam pelos pontos (−1, 0) e (1, 0).
Resposta:
b) Esboce, na figura ao lado, a isoterma de temperatura igual a 5.
c) Use o item a) para verificar que na˜o existe limP→(1,0) T (P ).
Resposta:
d) Use as propriedades do limite para decidir quando a` existeˆncia do limite limP→P0 T (P )
no caso em que P0 = (x0, y0) e´ tal que x
2
0 + y
2
0 = 1 e y0 > 0.
Resposta:
e) Da mesma forma, estude a existeˆncia do limite limP→P0 T (P ) no caso em que
P0 = (x0, 0) e |x0| < 1.
Resposta:
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3) Considere um sistema de eixosOxyz de origemO no centro da Terra. Nesse sistema, se um
sate´lite esta´ no ponto P , a forc¸a F (P ) com que a Terra atrai o sate´lite tem direc¸a˜o e sentido
dados pelo vetor unita´rio U = −P/‖P‖. Ale´m disso, se as massas da Terra e do sate´lite
sa˜o M e m, a intensidade da forc¸a e´ diretamente proporcional dessas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia ‖P‖, com constante de proporcionalidade G. Segundo
os itens abaixo, a func¸a˜o f(P ) = a/‖P‖ esta´ estreitamente relacionada com a forc¸a F .
a) Obtenha a expressa˜o da forc¸a F (P ).
b) Calcule a derivada fx, e obtenha fy e fz por simetria.
c) Verifique que, escolhendo a apropriadamente, tem-se
F (P ) = (fx(P ), fy(P ), fz(P )). Nesse caso, f e´ dita uma
func¸a˜o potencial para a forc¸a F .
d) Calcule a derivada segunda fxx, e obtenha as outras deri-
vadas fyy e fzz por simetria.
F
m
e) Verifique que f satisfaz a` equac¸a˜o de Laplace fxx + fyy + fzz = 0.
4) No estudo da penetrac¸a˜o da geada em uma rodovia, a temperatura T (t, x) no instante t (em
horas) e a` profundidade x (em metros) pode ser modelada por T (t, x) = T0 e
−λx sen(ω t−λ x),
em que T0, ω e λ sa˜o constantes positivas.
x t
a) Obtenha condic¸o˜es nas constantes de forma que, para x0 fixo,
a func¸a˜o g(t) = T (t, x0) tenha per´ıodo de 24 horas.
b) Calcule e interprete as derivadas parciais Tt(t, x) e Tx(t, x).
c) Para uma profundidade fixa x0, determine os instantes em que
a temperatura e´ ma´xima.
d) Calcule a derivada segunda Txx(t, x).
e) Verifique que, para algum K ∈ R, a temperatura T (t, x) satisfaz a` equac¸a˜o do calor
Tt(t, x) = KTxx(t, x).
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