AULA 3 Est 1 - Probabilidade

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ESTATÍSTICA I
Professora
Kelly Alonso
Probabilidade
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est1uff@hotmail.com – senha: est1eng
Email: kellyalonso@uol.com.br
2
Probabilidade
As origens da matemática da probabilidade são 
muito antigas, por volta do século XVI. A palavra 
probabilidade significa provar ou testar. Informalmente, 
provável é uma das muitas expressões utilizadas para 
eventos incertos ou conhecidos. No início, a 
probabilidade foi muito utilizada em jogos de azar, 
porém atualmente faz parte de planejamentos 
estratégicos e avaliações em negócios.
Usamos a probabilidade, principalmente, para
estudar a possibilidade de quantificar quão provável é
determinado EVENTO.
3
Encontramos na natureza dois tipos de 
fenômenos: determinísticos e aleatórios.
�Determinísticos: os resultados são sempre os
mesmos, qualquer seja o número de ocorrência dos 
mesmos.
�Aleatórios: os resultados não são previsíveis, mesmo
que haja um grande número de repetições do mesmo
fenômeno.
A maioria dos fenômenos de que trata a 
estatística é de natureza aleatória ou probabilística.
Probabilidade
Ao descrever um experimento devemos especificar:
� o procedimento a ser realizado,
� aquilo que estamos interessados em observar.
Ex.1): “É provável que o meu time ganhe a partida de hoje!”
Pode resultar:
a) que, apesar do favoritismo, ele perca;
b) que, como foi dito, ele ganhe;
c) que empate.
Ex.2): Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior.
Probabilidade - conceitos
Experimentos ou fenômenos aleatórios são processos 
que, mesmo repetidos várias vezes sob condições 
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
Ponto Amostral uma das possíveis ocorrências ou resultados do 
experimento.
5
Probabilidade - conceitos
Espaço Amostral (Ω ou S): é o conjunto formado por todos os 
pontos amostrais de um experimento.
Ex.: Determine o espaço amostral dos seguintes experimentos:
a) lançamento de uma moeda
b) lançamento de um dado
Os dois experimentos citados têm os 
seguintes espaços amostrais:
- lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co};
- lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}.
6
Probabilidade - conceitos
Probabilidade de um ponto amostral
É um número entre 0 e 1 que mede a chance do ponto 
amostral ocorrer quando o experimento é realizado. Este número 
pode ser aproximado pela frequencia relativa com que o ponto 
amostral é observado, quando o experimento é repetido um grande 
número de vezes.
Regras para probabilidade de pontos amostrais
� A probabilidade de qualquer ponto amostral de um experimento
deve estar entre 0 e 1.
� A soma das probabilidades de todos os pontos amostrais de 
um experimento é 1.
7
Probabilidade - conceitos
Evento é qualquer subconjunto de espaço amostral S de um 
experimento aleatório e é denotado por uma letra 
maiúscula (A,B,C...). .
Assim, qualquer que seja E, se E C S (E está contido em S), 
então E é um evento de S. 
Se E = S, E é chamado evento certo; se E C S e E é um 
conjunto unitário, E é chamado evento elementar. Se 
E=conjunto vazio, então é chamado evento impossível. 
8
Probabilidade - conceitos
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1,2,3,4,5,6}, temos:
A = {2,4,6} C S; logo, A é um evento de S;
B = {1,2,3,4,5,6} C S; logo, B é um evento certo de S;
C = {4} C S; logo, C é um evento elementar de S;
D = C S; logo, D é um evento impossível de S.∅
9
Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, 
vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de 
acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Probabilidade: seja A um evento de um espaço amostral, a 
probabilidade do evento A, denotada como P(A) é definida como:
)(
)()(
Ω
==
n
An
amostralespaçodoresultadosdenúmero
AeventodoresultadosdenúmeroAP
Chamamos de probabilidade de um evento A 
(A C S) o número real P(A), tal que:
Onde n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S. 
ou
( ) ( )( )Sn
AnAP =
Probabilidade
Exemplo:
a) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, 
temos: 
S = {Ca, Co} n(S)=2
A={Ca} n(A)=1
( )
2
1
=AP
Probabilidade
( ) ( )( ) 1=Ω
Ω
=Ω
n
nP
Exemplo…
Probabilidade
Tais eventos podem ser formados de duas maneiras, conforme
abaixo:
� UNIÃO de dois eventos A e B
Eventos compostos – frequentemente, um evento pode ser 
visto como uma composição de dois ou mais eventos.
É o evento formado por todos os pontos amostrais que
pertencem ao evento A ou ao evento B ou a ambos.
1) União de eventos: 
BA∪ os elementos que pertencem ao evento A ou ao B.
� INTERSEÇÃO de dois eventos A e B
É o evento formado por todos os pontos amostrais que
pertencem simultaneamente aos dois eventos.
2) Interseção de eventos: 
os elementos que pertencem a A e a B. BA∩
Probabilidade
Eventos complementares – o complemento de um evento A é o 
evento formado por todos os pontos do espaço amostral que 
não pertencem a A. Denotamos ou .A CA
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a 
probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que 
ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a 
relação:
pqqp −=⇒=+ 11
( ) ( ) 1=+ APAP
( ) 0=∩ AAP
( ) ( ) ( ) ( )APAPouAPAP −=−= 11
Probabilidade
Eventos complementares – o complemento de um evento A é o 
evento formado por todos os pontos do espaço amostral que não 
pertencem a A. Denotamos ou .A CA
( ) ( ) 1=+ APAP ( ) ( ) ( ) ( )APAPouAPAP −=−= 11
Espaço amostral S
Complemento do evento A
Evento A
A
A área retangular representa o espaço amostral do experimento e 
contém todos os possíveis pontos amostrais. O círculo representa o evento 
A e contém os pontos amostrais que pertencem a A. A região sombreada do 
retângulo contém todos os pontos amostrais que não estão no evento A e é, 
por definição, o complemento de A.
Exemplo 1: Um agente de compras declara que há uma probabilidade 
de 0,90 de que um fornecedor enviará uma carga livre de peças 
defeituosas. Qual a probabilidade de que a carga conterá peças 
defeituosas? ( ) ( )
10,0)(
9,01)(
1
=
−=
−=
AP
AP
APAP
*Pode-se concluir que há uma probabilidade de 0,10 de que a carga
conterá peças defeituosas.
Exemplo: 2) Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo 
retirada uma peça, calcule: 
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa
( )
3
1
12
4
==AP
( )
( )
3
2
3
11
)(1
=−=
−=
AP
AAP
Probabilidade
REGRA DA ADIÇÃO E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 
Regra da adição: a probabilidade da união de dois eventos A e B é a 
soma das probabilidades dos eventos A e B menos a probabilidade da 
interseção dos eventos A e B.
A B∪
Exemplo:
Qual a probabilidade 
do objeto selecionado 
ser quadrado ou ser 
vermelho?
( )P Quadrado Vermelho∪ = 8
9
=
( ) ( ) ( )P Quadrado Vermelho P Quadrado P Vermelho∪ = +
5 5 2 8
9 9 9 9
= + − =
( )P Quadrado Vermelho− ∩
Exemplo 2: O registro de um hospital mostra que 12% de todos os 
pacientes são internados para tratamento cirúrgico, 16% para tratamento 
obstétrico e 2% recebem os dois tratamentos. Se um novo paciente é
internado no hospital, qual é a probabilidade do paciente ser internado 
por pelo menos um dos procedimentos. 
Sejam os eventos: A – tratamento cirúrgico
B – tratamento obstétrico
( ) ( ) ( ) 02,0;16,0;12,0 =∩== BAPBPAP
( )BAP ∪
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 26,002,016,012,0 =−+=∪
∩−+=∪
BAP
BAPBPAPBAP
Temos que
e queremos descobrir 
Pela Regra da Adição:
Logo, a probabilidade do paciente ser internado por pelo menos 
um dos procedimentos é de 0,26.
Exemplo 3: Uma pequena fábrica de montagem possui 50 
empregados. Espera-se que cada trabalhador complete as atribuições 
do trabalho no horário e de tal modo que o produto montado passe 
numa inspeção final. Em certas ocasiões, alguns dos trabalhadores 
não têm êxito em satisfazer os padrões de desempenho, completando 
o trabalho mais tarde e/ou montando produtos com defeito.No fim de 
um período de avaliação de desempenho, o gerente de produção 
descobriu que 5 dos 50 trabalhadores tinham completado o trabalho 
mais tarde, que 6 dos 50 trabalhadores tinham montado produtos com 
defeito, e que 2 dos 50 trabalhadores tinham tanto completado o 
trabalho mais tarde como montado produtos defeituosos. Depois de
rever os dados de performance, o gerente de produção decidiu atribuir 
uma avaliação de desempenho fraco a qualquer empregado cujo 
trabalho foi tanto terminado mais tarde como defeituoso. Qual a 
probabilidade de que o gerente de produção tenha atribuído a um 
empregado uma avaliação de desempenho fraco?
( ) 18,0=∪ BAP
Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos: Dizemos que dois ou mais eventos 
são mutuamente exclusivos se eles não têm pontos amostrais em 
comum. Ou ainda, dizemos que dois ou mais eventos são 
mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a 
realização do(s) outro(s).
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o 
evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar 
um deles, o outro não se realiza. 
Exemplo 5: Se A é o evento “extração de um ás de um baralho”e B o 
da “extração de um rei”. Então, a probabilidade de se extrair ou um ás, 
ou um rei, em um lance único é:
Probabilidade
( )
13
2
13
1
13
1
13
1)(
52
4)(
13
1)(
52
4)(
)()(
=⇒+=
=⇒=
=⇒=
+=∪
PP
BPBP
APAP
BPAPBAP
Visto que ambos, ás e rei, não podem ser extraídos ao mesmo 
tempo e por isso são eventos mutuamente exclusivos.
Probabilidade
REGRA DA ADIÇÃO E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 
Independência de eventos: Dizemos que dois eventos são 
independentes quando a realização ou a não-realização de um dos 
eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa. 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que 
eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das 
probabilidades de realização dos dois eventos.
Probabilidade
Exemplo 6: Sejam A e B os eventos “cara na quinta jogada”e “cara na 
sexta jogada”de uma moeda, respectivamente.
Então, A e B são eventos independentes, de modo que a probabilidade
de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e sexta, é, admitindo-se 
que a moeda é “honesta”:
( )
4
1
2
1
2
1
2
1)(
2
1)(
)()(
=⇒×=
=
=
•=∩
PP
BP
AP
BPAPBAP
Probabilidade
Exemplo 7: No lançamento de dois dados, sejam A e B os eventos 
“obtermos 1 na face superior no primeiro dado”e “obtermos 5 na face 
superior no segundo dado”, respectivamente.
( )
36
1
6
1
6
1
6
1)(
6
1)(
)()(
=⇒×=
=
=
•=∩
PP
BP
AP
BPAPBAP
Exemplo 8:
1) Se uma caixa contém 10 lâmpadas boas e 5 defeituosas e 3 dentre 
essas lâmpadas forem selecionadas, qual a probabilidade que:
a) Sejam todas defeituosas.
b) Duas sejam boas e 1 defeituosa. 
c) Pelo menos 1 seja defeituosa.
Probabilidade
Solução:
Para encontrarmos o número de elementos do espaço amostral 
fazemos uma combinação simples:
( ) 455
3
153
15 =





==Ω Cn
Probabilidade
1035 =C 91
2
455
10
==P
a) Selecionamos 3 lâmpadas defeituosas num total de 5:
Então a probabilidade é de 
22515210 =×CC
91
45
455
225
==P
b) Selecionamos 2 lâmpadas boas num total de 10 e mais uma lâmpada 
defeituosa num total de 5:
Então a probabilidade é de 
Probabilidade
c) Selecionamos 2 lâmpadas boas e uma defeituosa ou selecionamos 
uma lâmpada boa e duas defeituosas ou selecionamos apenas 
lâmpadas defeituosas, ou seja:
91
67
455
335
455
3
5
2
5
1
10
1
5
2
10
==
+×+×
=
CCCCCP
Probabilidade Condicional
Muitas vezes, queremos calcular a probabilidade de 
ocorrência de um evento A, dada a ocorrência de um evento B.
Qual é a probabilidade de chover amanhã em São Paulo, sabendo
que choveu hoje?
Frequentemente, a probabilidade de um evento é
influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Em outras
palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de A 
condicionada à ocorrência prévia de B e representamos por P(A / B). 
A notação / é usada para denotar o fato de que estamos
considerando a probabilidade do evento A com a condição de que o 
evento B tenha ocorrido. Portanto, a notação P(A / B) é lida como “a 
probabilidade de A dado B”.
PROBABILIDADE CODICIONAL E TEOREMA DO PRODUTO
( ) .0>BP
( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=/
-Probabilidade Condicional: Sejam dois eventos A e B com
A probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B 
ocorreu é calculada pela seguinte expressão:
É a probabilidade de A dado que B 
ocorreu ou é a probabilidade de ocorrer A 
quando se sabe que o resultado pertence a B.
( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=/
( ) ( )( )AP
ABPABP ∩=/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )APABPBPBAPBAP // ==∩
- Teorema do Produto: temos que , observe
PROBABILIDADE CODICIONAL E TEOREMA DO PRODUTO
também que . 
Logo o Teorema do produto é:
( )BAP / ( )ABP /
Exemplo: Sejam A e B dois eventos independentes. Determine 
e 
.
Solução:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )BPAP
APBP
AP
ABPABP
AP
BP
BPAP
BP
BAPBAP
=
×
=
∩
=
=
×
=
∩
=
/
/
OBS.
P(A / B) = P(A)
P (B / A) = P (B)
Exemplo.: Os dados , a seguir, representam o sumário de um dia de 
observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos 
pacotes de leite produzidos num laticínio.
685015504770530Total
3505027030Fora das especificações (F)
650015004500500Dentro das especificações (D)
TotalUHT (U)C (C)B (B)
Tipo do leiteCondição do peso
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6850 unidades. 
Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro
ou for a das especificações, respectivamente. Da mesma forma, B, C e U
são eventos que representam o tipo de leite.
a) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das 
especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) 032,0/
6850
1550
6850
50
/
/
/
=
=
∩
=
∩
=
UFP
UFP
UP
UFPUFP
BP
BAPBAP
Solução:
685015504770530Total
3505027030Fora das especificações (F)
650015004500500Dentro das especificações (D)
TotalUHT (U)C (C)B (B)
Tipo do leiteCondição do peso
Exemplo.: Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das 
faces voltadas para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades 
dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5
b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais
Inicialmente, encontramos o espaço amostral: 36 possíveis 
combinações de resultados dos dois dados. ( ) 361616 =×=Ω CCn
Considere os eventos:
E1 = faces iguais = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
E2 = soma das faces é menor ou igual a 5= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2),
Solução:
(2,3), (3,1), (3,2), (4,1) }
Portanto, E1 ∩ E2 = { (1,1), (2,2) }
( ) ( )( ) ( )
( )
5
12/1
36
10
36
2
2/1
2
212/1
=
=⇒
∩
=
EEP
EEP
EP
EEPEEP
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5
b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais
( ) ( )( ) ( )
( )
3
12/1
36
6
36
2
1/2
1
121/2
=
=⇒
∩
=
EEP
EEP
EP
EEPEEP