MecII cap4

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4-1
4. IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
4.1. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento 
 
Este é um terceiro método para solução de problemas de movimento de partículas que envolvam 
força, massa, velocidade e tempo, sendo de particular interesse em movimentos impulsivos e 
choques. 
 
Considere uma partícula de massa m submetida a uma força F
r
. Foi visto que a 2ª lei de Newton 
pode ser expressa na forma ( )vm
dt
dF r
r
= , onde vmr é a quantidade de movimento da partícula. 
Passando dt para o lado da força e integrando a equação: 
 
( )∫∫ = 2
1
2
1
v
v
t
t
vmddtF
r
r
rr
 ou 12
2
1
vmvmdtF
t
t
rrr
−=∫ . 
 
Transpondo o último termo para o membro esquerdo da equação: 
 
21
2
1
vmdtFvm
t
t
rrr
=+ ∫ . 
 
A integral da equação acima é um vetor conhecido como impulso linear ou simplesmente impulso 
da força F
r
, durante o intervalo de tempo considerado. Como vmQ rv = e denotando por I a variável 
impulso: 
∫=→
2
1
21
t
t
dtFI
rr
, ou seja, 2211 QIQ
rrr
=+ → . 
 
Nota-se que I
r
 tem a mesma direção e sentido de F
r
. 
 
 
 
 
 
Se várias forças atuam sobre a partícula, a equação fica: 
 
2211 vmIvm
rrr
=+∑ → . 
 
Interpretação da equação: a quantidade de movimento de uma partícula em um dado instante pode 
ser obtida adicionando-se vetorialmente à sua quantidade de movimento inicial o impulso das forças 
que atuam sobre a partícula no mesmo intervalo de tempo. 
 
 
4.2. Conservação da Quantidade de Movimento 
 
Como já foi visto, se a resultante das forças que atuam sobre uma partícula for nula, a sua 
quantidade de movimento permanecerá inalterada, ou seja, será conservada. 
 
0=
dt
vd
m
r
 ⇒ ctevm =
r
 
1vm
r
 
+ 
I
r
 
= 
2vm
r
 
 4-2
Se duas (ou mais) partículas têm uma ação recíproca durante um intervalo de tempo ∆t, a 
quantidade de movimento do sistema será conservada, pois as forças de interação que agem no 
intervalo de tempo ∆t possuem a mesma direção, porém sinais contrários. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
BBAA vmvm
rr
+=0 
 
 
4.3. Choque 
 
Dá-se o nome de choque a toda colisão entre duas partículas que ocorre em um intervalo de tempo 
muito curto, durante o qual as duas partículas exercem entre si forças relativamente grandes. A 
normal comum às superfícies em contato durante o choque é denominada normal de choque. Se os 
centros de massa das duas partículas estão localizados nessa normal, o choque é denominado 
central. Caso contrário ele é denominado excêntrico. 
 
Se as velocidades das duas partículas são dirigidas ao longo da normal de choque, este é chamado 
de direto. Caso contrário é chamado de oblíquo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Choque central direto 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam Av
r
 e Bv
r
 as velocidades de duas partículas de massas mA e mB antes de se chocarem. Devido 
ao choque, as duas partículas se deformarão e no final do período de deformação terão a mesma 
velocidade ur . Um período de restituição ocorrerá e ao final deste os corpos possuirão velocidades 
Av ′
r
 e Bv ′
r
. Considerando que não houve impulso de uma força externa (apenas uma força de 
interação recíproca) a quantidade de movimento total das partículas se conserva e pode-se escrever: 
 
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+
rrrr
. 
0=AAvm
r
 0=BB vm
r
 AAvm
r
 
BBvm
r
 
Av
r
 
Choque central 
direto 
Bv
r
 
normal de 
choque 
Choque central 
oblíquo 
Av
r
 
Bv
r
 
normal de 
choque 
u
r
 
Na máxima 
deformação 
Av
r
 
Antes do 
choque 
Bv
r
 
Av ′
r
 
Depois do 
choque 
Bv ′
r
 
 4-3
Como todas as velocidades são dirigidas segundo o mesmo eixo, podem-se substituir os vetores 
pelos seus componentes escalares: 
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+ . 
 
Considere que a força impulsiva que atua sobre a partícula A durante a sua deformação seja DI
r
 e 
durante a restituição seja RI
r
. Então, pode-se escrever que durante os períodos de deformação e 
restituição valem as seguintes igualdades: 
 
umIvm ADAA =− e AARA vmIum ′=− . 
 
A razão entre os o impulso de restituição e de deformação é denominada de coeficiente de 
restituição e: 
D
R
I
I
e = . 
 
O valor de e está sempre entre 0 e 1 e depende dos materiais envolvidos. Se e = 0, o choque é dito 
plástico e se e = 1 elástico. 
 
Substituindo os valores de IR e ID na expressão do coeficiente de restituição: 
 
( )
( ) uv
vu
uvm
vum
e
A
A
AA
AA
−
′
−
=
−
′
−
= . 
 
Analogamente, para a partícula B: 
B
B
vu
uv
e
−
−
′
= . 
 
Como o valor do coeficiente de restituição é o mesmo independente se obtido da partícula A ou da 
B, pode-se somar os numeradores e denominadores de ambas as expressões: 
 
BA
AB
vv
vv
e
−
′
−
′
= ou ( )BAAB vvevv −⋅=′−′ . 
 
Como AB vv ′−′ representa a velocidade relativa entre as partículas depois do choque e BA vv − a 
velocidade relativa antes do choque, a expressão acima significa que a velocidade relativa das 
partículas após o choque pode ser obtida pela multiplicação de sua velocidade relativa antes do 
choque pelo coeficiente de restituição. 
 
A solução de problemas de movimento é obtida usando a conservação da quantidade de movimento 
e a expressão do coeficiente de restituição advinda do choque. 
 
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+ e ( )BAAB vvevv −⋅=′−′ 
 
Choque perfeitamente plástico (e = 0): 
 
uvv BA =′=′ ⇒ ( ) ummvmvm BABBAA ⋅+=+ 
 
 
 4-4
Choque perfeitamente plástico (e = 1): 
 
BAAB vvvv −=′−′ ⇒ BBAA vvvv +′=+′ 
 
Da conservação da quantidade de movimento: 
 
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+ ⇒ ( ) ( )BBBAAA vvmvvm −′=′− 
 
Multiplicando as duas últimas equações e multiplicando o resultado por ½: 
 
( ) ( )2222
2
1
2
1
BBBAAA vvmvvm −′=′− ⇒ 
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
BBABBAAA vmvmvmvm ′+′=+ 
 
Isto significa que quando o choque é perfeitamente elástico, além da conservação da quantidade de 
movimento, existe a conservação de energia cinética do sistema. 
 
Choque central oblíquo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que as partículas sejam perfeitamente lisas e sem atrito, observa-se que as únicas forças 
impulsivas que atuam sobre as partículas durante o choque são forças internas dirigidas ao longo da 
normal de choque (eixo n). Pode-se, portanto, afirmar que: 
 
i. a componente t da quantidade de movimento de cada partícula se conserva: 
 
( ) ( )tAtA vv ′= e ( ) ( )tBtB vv ′= 
 
ii. a componente n da quantidade de movimento total das partículas se conserva: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
nBBnAAnBBnAA vmvmvmvm ′+′=+ 
 
iii. a componente n da velocidade relativa das duas partículas depois do choque pode ser 
obtida pela multiplicação do coeficiente de restituição pela velocidade relativa antes do 
choque: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
nBnAnAnB vvevv −⋅=′−′ 
 
Assim, existem quatro equações independentes para se obter as quatro componentes das 
velocidades das partículas A e B após o choque. 
 
Considere, agora, que uma das partículas possui uma restrição ao movimento conforme mostra a 
figura. 
 
 
 
 
Av
r
 
Bv
r
 
Av ′
r
 
Bv ′
r
 
n 
t 
Av ′
r
 
Av
r
 
n 
Bv ′
r
 
Bv
r
 
 4-5
Supondo a ausência de atritos, nota-se que os impulsos exercidos no sistema são devidos a duas 
forças internas paralelas à normal de choque e uma externa exercida pela superfície horizontal sobre 
o bloco A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o bloco A só pode se moverna direção horizontal, já se sabe que a direção de sua velocidade 
após o choque será horizontal. As equações para resolver este problema são: 
 
i. a componente t da quantidade de movimento da partícula B se conserva: 
 
( ) ( )tBtB vv ′= 
 
ii. a componente horizontal da quantidade de movimento total das partículas se conserva: 
 
( ) ( )hBBAAhBBAA vmvmvmvm ′+′=+ 
 
iii. a componente n da velocidade relativa das duas partículas depois do choque pode ser 
obtida pela multiplicação do coeficiente de restituição pela velocidade relativa antes do 
choque: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
nBnAnAnB vvevv −⋅=′−′ 
 
Exercícios 
 
1) Ex. 13.153 do Beer & Johnston 
 
Uma bolinha A cai de uma altura h e atinge o ponto B de uma placa rígida e lisa. De B ela salta para 
C a mesma altura de B. Determine θ para o qual a distância d é máxima e, também, o 
correspondente valor de d. Supor que o coeficiente de restituição e entre a bola e a placa é: a) igual 
a 1,00; b) igual a 0,30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a conservação da energia para a queda da bolinha A, a velocidade com que ela atinge o 
ponto B é ghv 2= . 
 
Por convenção, o sentido positivo da direção normal será para a direita e para cima e da direção 
transversal será para a direita e para baixo. 
AAvm
r
 
n 
BBvm
r
 
 
n 
BBvm ′
r
 
tFext ∆⋅
r
 
tF ∆⋅−
r
 
tF ∆⋅
r
 
B C 
d 
h 
θ 
 4-6
Velocidade da bolinha antes de se chocar com a placa: 
 
− na direção normal de choque ( )θcosvvn ⋅−= 
− na direção transversal ao choque ( )θsenvvt ⋅= 
 
Equações para a resolução do problema de choque: 
 
a) a componente t da quantidade de movimento se conserva tt vv =′ ; 
b) a componente n da velocidade relativa depois do choque é igual à componente n da 
velocidade relativa antes do choque multiplicada pelo coeficiente de restituição e 
nn vev ⋅=′− ; 
c) como a massa do solo é infinita se comparada com a bolinha, a conservação da quantidade 
de movimento na direção normal não se aplica. 
 
As velocidades nas direções normal e transversal após o choque serão: 
 
( )θcosvevn ⋅⋅=′ e ( )θsenvvt ⋅=′ 
 
As componentes horizontal e vertical da bolinha A após o choque serão: 
 
( ) ( )θθ cosvsenvv tnx ⋅′+⋅′=′ e ( ) ( )θθ senvcosvv tny ⋅′−⋅′=′ 
 
ou seja, 
 
( ) ( ) ( )1+⋅⋅⋅=′ ecossenvvx θθ e ( ) ( )[ ]θθ 22 sencosevvy −⋅⋅=′ 
 
Sabe-se que um projétil atinge a máxima distância se lançado em um ângulo de 45º com a 
horizontal. Isto significa que a componente horizontal da velocidade de lançamento é igual a sua 
componente vertical: 
 
yx vv ′=′ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θθθθ 221 sencoseecossen −⋅=+⋅⋅ 
 
Dividindo a equação por ( )θcos e rearranjando os termos: ( ) ( ) ( ) 012 =−⋅++ etanetan θθ . 
 
Resolvendo a equação do 2º grau: ( ) ( ) ( )
2
411 2 eee
tan
++±+−
=θ 
 
O tempo que a bolinha A leva para atingir a altura máxima após o choque é 
g
v
t y
′
= . Como o ponto 
C está na mesma altura de B, o tempo que a bolinha levará para atingir o ponto C será 2 vezes o 
tempo que ela leva para atingir a altura máxima, ou seja, 
g
vy′2
. 
 
A distância máxima será igual à componente da velocidade na direção horizontal multiplicada pelo 
tempo que a bolinha A leva de B para C: 
g
v
vd yx
′
′=
2
 
 4-7
Como yx vv ′=′ : g
vd x
22 ′
= 
 
a) para e = 1,00: 
( ) ( ) ( ) 21
2
141111 2
±−=
⋅++±+−
=θtan 
 
Como o valor negativo de θ não interessa, θ = 22,5º. 
 
As componentes da velocidade da bolinha A após o choque serão 
2
2
vvv yx =′=′ . Como ghv 2= : 
 
( )
h
g
gh
g
vd x 2
222
2
2
22
==
′
= 
 
b) para e = 0,30: θ = 11,31º`e 
4
hd = 
 
 
2) Ex. 13.119 do Beer & Johnston 
 
O trem de metrô, mostrado na figura, deslocando-se à velocidade de 72,4 km/h, sofre a ação dos 
freios das rodas dos carros A e B, de modo que as rodas destes carros derrapam. Sabendo-se que o 
coeficiente de atrito cinemático entre as rodas e os trilhos é de 0,30, determine: 
a) o tempo que o trem leva para parar; 
b) a força em cada engate. 
 
 
 
 
 
27200=Am kg 40800=Bm kg 27200=Cm kg 
 
A velocidade do trem é v = 72,4 km/h = 20,1 m/s 
 
A quantidade de movimento do trem é ( ) ( ) 1202720040800272001 ,vmmmQ CBA ⋅++=⋅++= . 
 
Então 1Q = 1.914.000 kg.m/s. 
 
a) Pela equação do impulso: 2211 QIQ
rrr
=+ → . Como 02 =Q
r
 e o impulso é na mesma direção do 
movimento: 
211 →−= IQ , onde ∫−=→
t
FdtI
021
 
 
Como F é constante: tFQ ⋅=1 
 
 
 
A B C v 
 4-8
Porém NF ⋅= µ e ( ) gmmN BA ⋅+= . Então: 
 
( ) ( ) 8194080027200300
19140001
,,gmm
Q
t
BA ⋅+⋅
=
⋅+⋅
=
µ
 ∴ t = 9,56 s 
 
A força no engate dos vagões B e C será igual à força necessária para parar o vagão C: 
 
569
120272001
,
,
t
QF CBC
⋅
== ∴ 57200=BCF N 
 
A força no engate dos vagões A e B será igual à força necessária para parar os vagões B e C menos 
a força de atrito entre os trilhos e as rodas do vagão B: 
 
 
 
 
 
 
( ) 81940800300
569
120272004080011
,,
,
,F
t
QQF B,atCBAB ⋅⋅−
⋅+
=−
+
= ∴ 229200=ABF N 
 
 
 
 
 
B C ABF 
B,atF