Solutions - Sakurai ch. 2
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DisciplinaMecânica Quântica911 materiais5.382 seguidores
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1
Problema 1 
 
Considere o problema da precessão de spin discutido no texto. Ele pode 
também ser resolvido no quadro de Heisenberg. Usando o Hamiltoniano 
 
z z
eBH S wS
mc
\u239b \u239e= \u2212 =\u239c \u239f\u239d \u23a0 , 
 
escreva as equações de Heisenberg do movimento para os operadores 
dependentes do tempo ( )xS t , ( )yS t e ( )zS t . Resolva elas para obter , ,x y zS 
como funções do tempo. 
 
Solução : 
 
A equação de movimento de Heisenberg para um operador ( ) ( )HA t (que 
chamaremos simplesmente ( )A t ) é: 
 
[ ] ( )( ), dA tA t H i
dt
= = . (1) 
 
Então, para zH wS= , temos as seguintes equações de movimento para 
( )xS t , ( )yS t e ( )zS t : 
 
[ ] ( )( ), ( ) xx z y dS tS t wS i wS t i dt= \u2212 == = (2) 
 
( )
( ), ( ) yy z x
dS t
S t wS i wS t i
dt
\u23a1 \u23a4 = =\u23a3 \u23a6 = = (3) 
 
[ ] ( )( ), 0 zz z dS tS t wS i dt= = = (4) 
 
A equação (4) resulta em 
 
( )( ) (0) Sz z zS t S S= = . (5) 
 
 
 
 
 2
Substituindo a equação (2) na (3), temos: 
 
2
2 2
1( ) ( )x x
dS t S t
w dt
= \u2212 
 
ou 
 
2
2
2 ( ) ( ) 0x x
d S t w S t
dt
+ = . (6) 
 
A solução geral desta equação é 
 
( ) cos( )xS t A wt \u3c6= \u2212 . (7) 
 
Substituindo esta equação em (2), temos que: 
 
( ) ( )yS t Asen wt \u3c6= \u2212 , (8) 
 
onde A é um operador independente do tempo e \u3c6 é um número. 
 
Como a fase \u3c6 é irrelevante, podemos estabelecer 0\u3c6 = . Em 0t = os 
operadores de Heisenberg e de Schrödinger devem coincidir. Portanto: 
 
( )(0) Sx xA S S= = . (9) 
 
Então, temos finalmente: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) cos
( )
( )
H S
x x
H S
y x
H S
z z
S t S wt
S t S senwt
S t S
=
=
=
 (10) 
 
 1
Problema 2 
 
Olhe de novo para o Hamiltoniano do capítulo 1, problema 11. Suponha 
que o datilógrafo cometeu um erro e escreveu H como 
 
11 22 121 1 2 2 1 2H H H H= + + . 
 
Qual princípio é agora violado? Ilustre o seu ponto explicitamente 
tentando resolver o problema mais geral dependente do tempo usando um 
Hamiltoniano ilegal deste tipo. (Você pode assumir 11 22 0H H= = por 
simplicidade.) 
 
Solução : 
 
Observando este Hamiltoniano vemos que ele não é Hermitiano, pois: 
 
\u2020
11 22 121 1 2 2 2 1H H H H H= + + \u2260 (1) 
 
Vejamos qual é o resultado da aplicação do operador \u2020H nos bras ( 1 e 
2 ) de base, com 11 22 0H H= = : 
 
 01 \u2020 =H 12\u2020 12 HH = (2) 
 
 
Usaremos estes resultados posteriormente. 
 
Expandiremos agora um ket arbitrário na descrição de Schrödinger em 
termos dos kets de base 1 e 2 : 
 
, 1 1 , 2 2 ,t t t\u3b1 \u3b1 \u3b1= + (3) 
 
Como , ( ) ,0t U t\u3b1 \u3b1= , temos: 
 
, 1 1 ( ) ,0 2 2 ( ) ,0t U t U t\u3b1 \u3b1 \u3b1= + (4) 
 
Quando 0t = , temos: 
 
2 2
1 ,0 2 ,0 1\u3b1 \u3b1+ = , (5) 
 
que é a probabilidade total. 
 2
A probabilidade total para 0t \u2260 é dada por: 
 
2 2
1 ( ) ,0 2 ( ) ,0 ( )rU t U t P t\u3b1 \u3b1+ = (6) 
 
Como H independe do tempo, temos: 
 
0,10,10,)(1
\u2020\u2020
\u3b1\u3b1\u3b1 \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=
\u2212 tiHtiH
eetU == . (7) 
 
Fazendo 
 
tiHe
tiH
=
=
\u2020
1
\u2020
+= , (8) 
 
pois ( ) 0nH = para 1n \u2260 , usando (2) temos: 
 
0,10,110,1
\u2020
\u2020 \u3b1\u3b1\u3b1 =\u23a9\u23a8
\u23a7
\u23ad\u23ac
\u23ab+=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212
tHie
tiH
=
= 
 
Portanto 
 
0,10,)(1 \u3b1\u3b1 =tU (9) 
 
Da mesma forma, temos: 
0,20,20,)(2
\u2020\u2020
\u3b1\u3b1\u3b1 \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=
\u2212 tiHtiH
eetU == 
0,120,)(2
\u2020
\u2020 \u3b1\u3b1 \u23a9\u23a8
\u23a7
\u23ad\u23ac
\u23ab+= tHitU = 
 
0,10,20,)(2 12 \u3b1\u3b1\u3b1 tHitU =\u2212= . (10) 
 
Voltando em (6), calculamos a probabilidade total no instante 0t \u2260 como 
sendo: 
2
12
2
0,10,20,1)( \u3b1\u3b1\u3b1 tHitPr =\u2212+= 
 3
 [ ] 12**22122222 0,10,20,20,10,10,20,1)( tHiHttPr == \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 \u2212+++=
 
Usando (5), podemos escrever: 
 
[ ] 120,0,1Im20,11)( 1222 2212 \u2260\u2212+= == tHtHtPr \u3b1\u3b1\u3b1 . (11) 
 
Vemos então que a probabilidade total é uma função linear do tempo, o 
que contraria o princípio da conservação da probabilidade total. 
 1
Problema 3 
 
Um eletron está sujeito a campo magnético uniforme independente do 
tempo e tamanho B na direção positiva z . Em 0t = o elétron é 
conhecido estar em um estado de \u2c6.S n
G
 com autovalor / 2= , onde n\u2c6 é um 
vetor unitário posicionado no plano xz , que faz um ângulo \u3b2 com o eixo 
z . 
 
a. Obtenha a probabilidade de achar o elétron no estado 
2x
S = = como uma 
função do tempo. 
 
b. Encontre o valor esperado de xS como uma função do tempo. 
 
c. Mostre que nossa resposta está de acordo com os casos extremos (i) 
0\u3b2 \u2192 e (ii) / 2\u3b2 \u3c0\u2192 . 
 
 
Solução : 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Geometria para o vetor unitário n\u2c6 . 
 
 2
A equação de autovalores do operador \u2c6.S n
G
 é (exemplo 1.9): 
 
\u2c6 \u2c6 \u2c6. . ; . ;
2
S n S n S n± = ± ±G G G= , (1) 
 
com 
 
\u2c6. ; cos
2 2
S n sen\u3b2 \u3b2\u239b \u239e \u239b \u239e+ = + + \u2212\u239c \u239f \u239c \u239f\u239d \u23a0 \u239d \u23a0
G
, (2) 
 
e 
 
\u2c6. ; cos
2 2
S n sen \u3b2 \u3b2\u239b \u239e \u239b \u239e\u2212 = + + \u2212\u239c \u239f \u239c \u239f\u239d \u23a0 \u239d \u23a0
G
. (3) 
 
O Hamiltoniano deste sistema é dado por (2.1.53): 
 
zH wS= , (4) 
 
com 
 
e
e B
w
m c
= . (5) 
 
O operador de evolução temporal é dado por 
 
( )
ziwSiH t t
U t e e
\u2212 \u2212= == = (6) 
 
Se o estado do sistema no tempo 0t = era caracterizado pelo ket da 
expressão (2), no instante t o estado será dado por: 
 
\u2c6, ( ) . ; exp cos
2 2
\u2c6, ( ) . ; exp cos exp
2 2 2 2
ziwS tt U t S n sen
iwt iwtt U t S n sen
\u3b2 \u3b2\u3b1
\u3b2 \u3b2\u3b1
\u23a1 \u23a4\u2212\u239b \u239e \u239b \u239e \u239b \u239e= + = + + \u2212\u239c \u239f \u239c \u239f\u239c \u239f \u23a2 \u23a5\u239d \u23a0 \u239d \u23a0\u239d \u23a0 \u23a3 \u23a6
\u2212\u239b \u239e \u239b \u239e \u239b \u239e \u239b \u239e= + = + + \u2212\u239c \u239f \u239c \u239f \u239c \u239f \u239c \u239f\u239d \u23a0 \u239d \u23a0 \u239d \u23a0 \u239d \u23a0
G
=
G , (7) 
 
 
 
 3
onde usamos 
 
exp exp
2
ziwS t iwt\u239b \u239e \u239b \u239e\u2212 ± = ±\u239c \u239f\u239c \u239f \u239d \u23a0\u239d \u23a0 \u2213= . 
 
a. A probabilidade de se encontrar o elétron no estado / 2xS = = é dada 
por: 
 
2
; ,xS t\u3b1+ , (8) 
 
onde ;xS + é dada por: 
 
 ( )1;
2x
S + = + + \u2212 . (8a)
João
João fez um comentário
Muito bom, obrigado! Você poderia me enviar esse arquivo via e-mail? Gostaria de ter o PDF mas infelizmente o Passei Direto não permite esse tipo de download
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