Apostila Calculo III - Uenf - Liliana e Rigoberto

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UENF
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
CCT-LCMAT
Laboratório de Ciências Matemáticas
Cálculo Diferencial e Integral III
Liliana A. L. Mescua
Rigoberto G. S. Castro
Março de 2016
.
Sumário
1 Funções Vetoriais 1
1.1 Função Vetorial de Variável Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada . . . . . 6
1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas . . . . . . . . . . 7
1.2 Funções Vetoriais de Varias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Parametrização 13
2.1 Parametrização de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Gráfico de uma Equação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Integrais de Linha 25
3.1 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Integral de Linha de uma Função Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Campos Conservativos. Independência da Trajetória . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Construção de uma Função Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
i
4 Integrais Múltiplas 36
4.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1 Integrais Duplas sobre um Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2 Integral Dupla pelo Método de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.4 Integração sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.5 Área e Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Integrais Triplas sobre um Paralelepípedo Retangular . . . . . . . . . 46
4.2.2 Integração Triplas sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Transformação ou Mudança de Coordenadas 54
5.1 Mudança de Variáveis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.1 Mudança em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Mudança de Variáveis na Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Mudança de Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Mudança de Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Integrais de Superfície 71
6.1 Parametrização de Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.1 Superfícies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Área de Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 Integral de Superfície de uma Função Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Integral de Superfície de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ii
7 Teoremas de Green, Stokes e Gauss 87
7.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
iii
.
iv
Capítulo 1
Funções Vetoriais
Para 𝑛 ∈ N, 𝑛 > 1 definamos o conjunto
R𝑛 = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) / 𝑥𝑖 ∈ R, ∀𝑖}
Em Cálculo II vimos que uma função escalar é aquela que a cada elemento 𝑥 de seu domínio
𝐷 (𝐷 ⊂ R𝑛) associa um único número real 𝑧 = 𝑓(𝑥). Simbolicamente, escrevemos
𝑓 : 𝐷 ⊂ R𝑛 → R
O objetivo nesta disciplina será estender o nosso estudo para funções cujo contradomínio
(imagem) é R𝑚.
1.1 Função Vetorial de Variável Real
Um primeiro exemplo muito importante de uma função vetorial é dado pela definição de
curva parametrizada que nada mais é do que uma função vetorial de variável real, deno-
tada por:
𝛼 : 𝐼 ⊂ R −→ R𝑚 (1.1)
𝑡 −→ 𝛼(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡), . . . , 𝑥𝑚(𝑡))
cujo domínio é um intervalo 𝐼 em R e o contradomínio é R𝑚. Curvas parametrizadas são
utilizadas para se modelar 𝑚 quantidades (posição de um objeto, trabalho, capital de em-
presa, etc) que variam no tempo. A variável 𝑡 é chamada de parâmetro e 𝑥1 = 𝑥1(𝑡), 𝑥2 =
𝑥2(𝑡), 𝑥3 = 𝑥3(𝑡), . . . , 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚(𝑡), são chamadas de equações paramétricas da curva 𝛼.
A representação mais importante de uma curva parametrizada é o seu traço.
1
Definição 1.1. (Traço de uma curva parametrizada). Seja 𝛼 : 𝐼 ⊂ R → R𝑚 uma
curva parametrizada. O traço de 𝛼 é o conjunto 𝐶 = {𝛼(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼} (também chamado de
curva 𝐶). Para cada instante de tempo 𝑡, 𝛼(𝑡) é um ponto de R𝑚. O traço de uma curva
parametrizada 𝛼 nada mais é do que união de todos estes pontos de 𝐶.
Se por exemplo, 𝛼(𝑡) representa a posição de um objeto no instante de tempo 𝑡, o traço
da curva representa, neste caso, a trajetória do objeto.
Exemplo 1.1. Suponha que a posição de um objeto (um ponto material) movendo-se no plano
R2 seja descrita pela curva parametrizada
𝛼 : R→ R2 (1.2)
𝑡→ 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3− 2𝑡)
𝑎) Qual é a posição inicial do objeto?.
𝑏) Qual é a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 1?.
𝑐) O objeto passa pela origem (0, 0)?.
𝑑) Faça o esboço da trajetória do objeto.
Sol.:
𝑎) A posição inicial do objeto é a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 0. Assim, para
sabermos a posição inicial do objeto basta calcularmos
𝛼(0) = (1 + 0, 1− 2.0) = (1, 3)
𝑏) Para sabermos a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 1 basta calcularmos
𝛼(1) = (1 + 1, 1− 2.1) = (2, 1)
𝑐) Queremos saber se existe um instante de tempo 𝑡 tal que 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 1− 2.𝑡) = (0, 0).
Como o sistema ⎧⎨⎩ 1 + 𝑡 = 03− 2𝑡 = 0
não possui solução, segue-se que o objeto nunca passa pela origem (0, 0).
𝑑) Para fazer um esboço do gráfico da curva parametrizada 𝛼 vamos tentar determinar uma
equação nas variáveis cartesianas 𝑥 e 𝑦 satisfeita pelos pontos 𝛼(𝑡).
Assim, ⎧⎨⎩ 𝑥 = 1 + 𝑡𝑦 = 3− 2𝑡
2
Figura 1.1: C é o traço da curva 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3− 2𝑡).
podemos isolar 𝑡 na primeira equação, 𝑡 = 𝑥−1, e substituir o valor de 𝑡 na segunda equação
𝑦 = 3− 2𝑡 = 3− 2(𝑥− 1) = −2𝑥 + 5, isto é temos a equação 𝑦 = −2𝑥 + 5.
Assim o traço da curva 𝛼 ( e portanto a trajetória do objeto) é a reta 𝑦 = −2𝑥 + 5 no
plano cartesiano R2.
Desta maneira a trajetória do objeto pode ser descrita de duas maneiras diferentes:
1. Como o traço da curva parametrizada 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3− 2𝑡), e
2. Como a curva de nível da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥+𝑦−5 associado ao nível 0, (2𝑥+𝑦−5 =
0).
No primeiro caso estamos dizendo que estamos descrevendo a curva parametricamente e
no segundo caso implicitamente.
Exemplo 1.2. Faça o esboço do traço da curva parametrizada
𝛽 : R→ R2 (1.3)
𝑡→ 𝛽(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡)
Sol.: Desde que 𝛽(0) = (cos 0, sen 0) = (1, 0), em 𝑡 = 0, o móvel esta na posição(1, 0). Analo-
gamente, temos que 𝛽(𝜋/4) = (cos 𝜋/4, sen 𝜋/4) = (
√
2/2,
√
2/2), 𝛽(𝜋/2) = (cos 𝜋/2, sen 𝜋/2) =
3
(0, 1). Mas ao invés de tentar obter um esboço do traço de 𝛽 através de alguns poucos pontos,
vamos utilizar a mesma técnica desenvolvida no exercício resolvido anterior, isto é, vamos
tentar obter uma equação nas variáveis 𝑥 e 𝑦 que é satisfeita pelos pontos 𝛽(𝑡), com 𝑡 ∈ R.
Escrevendo:
𝑥 = cos 𝑡
𝑦 = sen 𝑡
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = cos2 𝑡 + sen2𝑡 = 1
Portanto, o traço da curva 𝛽 é a circunferência de centro na origem (0, 0) e raio 1.
Figura 1.2: C é o traço da curva 𝛽(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡).
Exemplo 1.3. Faça um esboço do traço da curva parametrizada
𝛽 : [0,∞) → R2 (1.4)
𝑡→ 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡)
Sol.: Para cada 𝑡 ∈ [0,∞),
𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡) = 𝑡(cos 𝑡, sen 𝑡)
Note-se que ao multiplicarmos o ponto (cos 𝑡, sen 𝑡) pertencente a circunferência de centro
(0, 0) e raio 1, por 𝑡, o raio deixa de ser 1 e fica sendo 𝑡. Isto é, a medida que variamos o
ângulo 𝑡, mudamos o valor do raio para 𝑡. Assim o traço da curva 𝛽 tem a forma
Para encontrar a equação cartesiana da curva 𝛽(𝑡) fazemos 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡 e 𝑦 = 𝑡 sen 𝑡, as
quais estão relacionadas pela equação:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑡2 ou equivalentemente 𝑡 =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 > 0.
4
Figura 1.3: C é o traço da espiral 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡).
Portanto, a equação cartesiana é
𝑦 =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 sen
√︀
𝑥2 + 𝑦2
da qual é muito difícil obter informações geométricas a partir desta formulação implícita.
Exemplo 1.4. A hélice é o traço da curva parametrizada
𝛼 : R→ R3 (1.5)
𝑡→ 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡)
Sol.: De fato, considerando que: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑥 = cos 𝑡
𝑦 = sen 𝑡
𝑧 = 𝑡
segue-se que 𝑥2 + 𝑦2 = cos2 𝑡 + sen2𝑡 = 1, isto é, as duas primeiras coordenadas de 𝛼(𝑡)
satisfazem a equação da circunferência de centro na origem e raio 1. Concluímos que o traço
da curva 𝛼 está contido no cilindro circular reto 𝑥2 + 𝑦2 = 1 em R3 e que a altura 𝑧 = 𝑡
cresce com o tempo 𝑡.
5
Figura 1.4: C é o traço da Hélice 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡).
1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada
Seja 𝛼 : [𝑎, 𝑏] ⊂ R −→ R𝑚 uma função vetorial que representa a posição no espaço R𝑚, de
um determinado corpo num certo instante 𝑡, dada por:
𝛼(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡), . . . , 𝑥𝑚(𝑡)).
Diremos que 𝛼 é contínua se e somente se cada uma de suas componentes 𝑥𝑖 é contínua
em todos os pontos do intervalo [𝑎, 𝑏].
Diremos que 𝛼 é diferenciável se e somente se cada uma de suas componentes 𝑥𝑖 é
diferenciável em todos os pontos do intervalo aberto (𝑎, 𝑏). Se o parâmetro 𝑡 representa o
tempo, então 𝑥′𝑗(𝑡) =
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡
(𝑡) é a velocidade instantânea da j-ésima coordenada ao longo da
curva no instante 𝑡. Logo se define o vetor velocidade da curva em 𝑡 como:
𝛼′(𝑡) = (𝑥′1(𝑡), 𝑥
′
2(𝑡), 𝑥
′
3(𝑡), . . . , 𝑥
′
𝑚(𝑡))
𝛼′(𝑡) é também o vetor tangente à curva 𝛼.
Exemplo 1.5. Considere a curva
𝛼 : R→ R2 (1.6)
𝑡→ 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡).
O vetor tangente é
𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡).
6
Quando 𝑡 = 0 temos que 𝛼(0) = (1, 0) e 𝛼′(0) = (0, 1).
Mais ainda, 𝛼(𝑡) · 𝛼′(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡) · (− sen 𝑡, cos 𝑡) = 0.
Figura 1.5: Vetor derivada 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡).
1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas
Sejam as seguintes funções: 𝛼 : R→ R𝑚, 𝛽 : R→ R𝑚, ℎ : R→ R. Então:
1. (𝛼(𝑡)± 𝛽(𝑡))′ = 𝛼′(𝑡)± 𝛽′(𝑡)
2. (ℎ(𝑡)𝛼(𝑡))′ = ℎ′(𝑡)𝛼(𝑡) + ℎ(𝑡)𝛼′(𝑡)
3. (𝛼(𝑡) · 𝛽(𝑡))′ = 𝛼′(𝑡) · 𝛽(𝑡) + 𝛼(𝑡) · 𝛽′(𝑡)
4.
(︂
𝛼(𝑡)
ℎ(𝑡)
)︂′
=
ℎ(𝑡)𝛼′(𝑡)− ℎ′(𝑡)𝛼(𝑡)(︀
ℎ(𝑡)
)︀2
5. (‖𝛼(𝑡)‖)′ = 𝛼(𝑡) · 𝛼
′(𝑡)
‖𝛼(𝑡)‖ , se 𝛼(𝑡) ̸= 0. Lembre que ‖𝑣‖ =
√
𝑣 · 𝑣.
6.
(︀
𝛼
(︀
ℎ(𝑡)
)︀)︀′
=
𝑑
𝑑𝑡
(︀
𝛼
(︀
ℎ(𝑡)
)︀)︀
= 𝛼′
(︀
ℎ(𝑡)
)︀ · ℎ′(𝑡) = 𝑑
𝑑𝑡
𝛼
(︀
ℎ(𝑡)
)︀ · 𝑑
𝑑𝑡
ℎ(𝑡).
7
1.2 Funções Vetoriais de Varias Variáveis
Definição 1.2. Seja 𝐹 : R𝑛 → R𝑚 uma aplicação cujo domínio é R𝑛 e cuja imagem é um
conjunto de vetores de R𝑚. Podemos representar 𝐹 pelas funções coordenadas. Em outras
palavras, existem funções 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑚 tais que
𝐹 (𝑋) = (𝑓1(𝑋), 𝑓2(𝑋), . . . , 𝑓𝑚(𝑋)),
onde 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ∈ R𝑛 e cada função 𝑓𝑖 : R𝑛 → R.
Definição 1.3. Dizemos que 𝐹 é contínua em 𝑋0 ∈ R𝑛 se cada função coordenada 𝑓𝑖 é
contínua em 𝑋0. Em outras palavras:
lim
𝑋→𝑋0
𝐹 (𝑋) = 𝐹 (𝑋0) ⇔ lim
𝑋→𝑋0
𝑓𝑖(𝑋) = 𝑓𝑖(𝑋0), para 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚. (1.7)
Exemplo 1.6. Seja 𝐹 : R2 → R3 definida por 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥2). 𝐹 é contínua em
(0, 0) ∈ R2?.
Sol. De fato, 𝐹 é contínua em (0, 0) porque cada função coordenada 𝑓1(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, 𝑓2(𝑥, 𝑦) =
𝑥 + 𝑦, 𝑓3(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 é contínua em (0, 0). Assim, observa-se que 𝐹 é contínua em todo R2.
Definição 1.4. Seja 𝐹 : R𝑛 → R𝑚 tal que 𝐹 (𝑋) = (𝑓1(𝑋), 𝑓2(𝑋), . . . , 𝑓𝑚(𝑋)). Supo-
nhamos que as derivadas parciais de cada função coordenada 𝑓𝑖 (𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚) existem.
Definimos e denotamos a matriz das derivadas parciais por
𝐷𝐹 (𝑋) = 𝐽𝐹 (𝑋) =
𝜕(𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑚)
𝜕(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
(𝑋)
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
(𝑋) . . .
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑚
(𝑋)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
(𝑋)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
(𝑋) . . .
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑚
(𝑋)
...
...
...
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥1
(𝑋)
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥2
(𝑋) . . .
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥𝑚
(𝑋)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝑚𝑥𝑛
que é chamada a Matriz Jacobiana de 𝐹 .
Para o exemplo anterior onde 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥2) possui suas funções coordenadas
diferenciáveis temos que a matriz Jacobiana é dada por:
𝐽𝐹 (𝑋) =
𝜕(𝑓1, 𝑓2, 𝑓3)
𝜕(𝑥, 𝑦)
=
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑦 𝑥
1 1
2𝑥 0
⎞⎟⎟⎟⎠
3𝑥2
Observação 1.1. Se 𝐹 : R𝑛 → R𝑚, então:
8
1. Se 𝑚 = 1 temos que 𝐹 : R𝑛 → R é uma função real de 𝑛 variáveis (Cálculo II).
2. Se 𝑚 = 𝑛 temos que 𝐹 : R𝑛 → R𝑛 é chamado campo vetorial.
3. Se 𝑛 = 1 temos que 𝐹 : R→ R𝑚 é chamado função vetorial.
Observação 1.2. Tenha-se em conta que:
1. Se 𝐹 : R𝑛 → R, (𝑚 = 1) tem-se que a matriz Jacobiana definida anteriormente é o
gradiente de 𝐹 , isto é
𝐽𝐹 (𝑋) =
[︂
𝜕𝐹
𝜕𝑥1
(𝑋),
𝜕𝐹
𝜕𝑥2
(𝑋), . . . ,
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑛
(𝑋)
]︂
= ∇𝐹 (𝑋)
2. Se 𝐹 : R→ R𝑚, (𝑛 = 1) tem-se que a matriz Jacobiana de 𝐹 é a derivada da função
vetorial denotada por 𝐹 ′(𝑋), isto é
𝐽𝐹 (𝑋) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑓 ′1(𝑋)
𝑓 ′2(𝑋)
...
𝑓 ′𝑚(𝑋)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
𝑚𝑥1
1.2.1 Campos Vetoriais
Seja 𝐹 : 𝐷 → 𝐷 uma função vetorial, com 𝐷 ⊂ R2 ou 𝐷 ⊂ R3. A região 𝐷 juntamente com
as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de 𝐷 pela função F, é chamada um campo
vetorial. Dizemos também, que 𝐹 define um campo vetorial sobre 𝐷.
Por exemplo:
• A função vetorial 𝐹 que associa a cada ponto da atmosfera terrestre 𝐷 a velocidade do
vento neste ponto. 𝐹 define um campo vetorial em 𝐷, chamado campo de velocidade.
• Se 𝐷 é o espaço ocupado pela água em um riacho. A função que associa a velocidade
de cada partícula de 𝐷 em certo instante, também define um campo de velocidade em
𝐷.
• A partir da Lei da Gravitação universal de Newton a terra exerce uma força de atração
para o seu centro sobre qualquer corpo em sua atmosfera. A função que associa essa
força a cada ponto da atmosfera 𝐷 define um campo vetorial em 𝐷 chamado campo
de força. No caso, esse campo de força é o famoso campo gravitacional da terra.
9
Representação gráfica de campos vetoriais
A função vetorial dada por 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑓1(𝑥, 𝑦), 𝑓2(𝑥, 𝑦)) define um campo vetorial em R2.
Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano 𝑥𝑦 e selecionamos
alguns pontos (𝑥, 𝑦) doplano e desenhamos os vetores a eles associados preferencialmente
com a origem do vetor no próprio ponto.
Exemplo 1.7. Seja 𝐹 : R2 → R2 tal que 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦). Para cada ponto (𝑥, 𝑦) no plano,
𝐹 (𝑥, 𝑦) é simplesmente seu vetor posição. Neste caso, 𝐹 (𝑥, 𝑦) aponta diretamente a partir
da origem e tem comprimento
𝑑 = ‖𝐹 (𝑥, 𝑦)‖ =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑑
(︀
(0, 0), (𝑥, 𝑦)
)︀
.
Figura 1.6: Campo Vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦).
É conveniente lembrar que os vetores de um campo vetorial são infinitos e que não
podemos representar todos. Assim, a seleção dos pontos deve ser tal que nos dê informações
sobre o comportamento do campo em geral.
Exemplo 1.8. Seja 𝐹 : R2 → R2 tal que 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥), neste caso tem-se um campo
vetorial bidimensional 𝐹 (𝑥, 𝑦) que representam um campo de velocidade de uma roda em
movimento,
(𝑥, 𝑦) · 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) · (−𝑦, 𝑥) = −𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 = 0.
Assim, 𝐹 (𝑥, 𝑦) é tangente ao círculo que passa pelo ponto (𝑥, 𝑦), tem comprimento 𝑟 =√︀
𝑥2 + 𝑦2 e aponta na direção anti-horária.
10
Figura 1.7: Campo Vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥).
1.3 Exercícios
1. Determine o domínio das funções vetoriais:
𝑎) 𝐹 (𝑡) = (𝑡2,
√
𝑡− 1,√5− 𝑡)
𝑏) 𝐹 (𝑡) = (
𝑡− 2
𝑡 + 2
, sin 𝑡, ln(9− 𝑡2)
𝑐) 𝐹 (𝑡) = (
√
𝑡, 𝑒𝑡, 1)
𝑑) 𝐹 (𝑡) = (
1
cos 𝑡
, |𝑡|, 𝑡− 3)
2. Determine em que pontos as funções vetoriais 𝐹 são contínuas e deriváveis. Justifique
𝑎) 𝐹 (𝑡) = (5𝑡2, 3𝑡 + 1, 2− 𝑡3)
𝑏) 𝐹 (𝑡) = ((1− 𝑡)2, sin 𝑡, 3− 𝑡2)
𝑐) 𝐹 (𝑡) = (
√
𝑡, 𝑒−𝑡, 𝑡)
𝑑) 𝐹 (𝑡) = (𝑡 ln 𝑡, |𝑡− 1|, tan 𝑡)
3. Determine o Jacobiano de todos os exercícios do item 1 e as derivadas dos exercícios
𝑎) e 𝑏) do item 2.
4. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine
sua equação cartesiana.
𝑎) 𝑥 = 2− 3𝑡, 𝑦 = −4𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑏) 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = −3, 𝑧 = 1 + 3𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑐) 𝑥 = −𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 𝑡2, 𝑡 ∈ [−1, 1]
𝑑) 𝑥 = 3 sin 2𝑡, 𝑦 = 3 cos 2𝑡, 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
𝑒) 𝑥 = 2 sin2 𝑡, 𝑦 = 3 cos2 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑓) 𝑥 = sec 𝑡, 𝑦 = 2 tan 𝑡, 𝑡 ∈ (︀− 𝜋
2
, 𝜋
2
)︀
5. Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
𝑎) 𝐹 (𝑡) = (cosh 𝑡, sinh 𝑡), 𝑡 ∈ R
𝑏) 𝐹 (𝑡) = (1 + cos 𝑡, 3− sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0,∞)
𝑐) 𝐹 (𝑡) = (𝑡, |𝑡|), 𝑡 ∈ 𝑅
𝑑) 𝐹 (𝑡) = (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋)
𝑒) 𝐹 (𝑡) = (5 sen 𝑡, 𝑡2), 𝑡 ∈ [−𝜋, 𝜋]
𝑓) 𝐹 (𝑡) = (1 +
√
𝑡, 𝑡2 − 4𝑡), 𝑡 ∈ [0, 5]
𝑔) 𝐹 (𝑡) = (𝑒−𝑡 + 𝑡, 𝑒𝑡 − 𝑡), 𝑡 ∈ [−2, 2]
ℎ) 𝐹 (𝑡) = (2 cos 𝑡, 𝑡− cos 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋)
6. Ilustre o campo vetorial 𝐹 dado, esboçando vários vetores típicos do campo.
11
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (2,−1)
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥,−𝑦)
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (1, 𝑦)
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥)
𝑒) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑦2)
𝑓) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 0)
12
Capítulo 2
Parametrização
2.1 Parametrização de Curvas
O movimento de uma partícula descreve uma trajetória, que podemos representar por uma
curva no plano ou no espaço. Para cada instante 𝑡, podemos considerar suas coordenadas
em função do tempo t, isto é, 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) e 𝑧 = 𝑧(𝑡).
Em geral as curvas não sempre estão dadas na sua forma paramétrica, então é conveniente
parametrizar-las.
Exemplo 2.1. Quando uma bola é arremessada, as única forças atuantes sobre a bola são a
resistência do ar e a gravidade. Se desprezamos a resistência do ar, a única força que resta
sobre a bola é a da gravidade, ou seja, seu peso atuando na direção vertical.
Assim, como não há forças atuando na horizontal, pela 2𝑎 Lei de Newton, temos que a
aceleração nessa direção é nula, logo
𝜕2𝑥
𝜕𝑡2
= 0 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡
onde 𝑣𝑥 é a componente constante da velocidade na direção horizontal e 𝑥0 é o deslocamento
horizontal inicial da bola.
Na direção vertical, devido a ação da gravidade, existe a força peso. Aplicando a 2𝑎 Lei
de Newton nessa direção e supondo a bola de massa 𝑚 = 1, obtemos que:
𝑚𝑎 =
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
= −𝑔 =⇒ 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣𝑦𝑡− 𝑔𝑡
2
2
onde 𝑣𝑦 é a componente da velocidade inicial na direção vertical e 𝑦0 é o deslocamento vertical
inicial da bola.
13
Concluímos das equações obtidas acima que, uma parametrização para a trajetória da
bola é
𝛼(𝑡) =
(︂
𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡, 𝑦0 + 𝑣𝑦𝑡− 𝑔𝑡
2
2
)︂
= (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑣𝑥, 𝑣𝑦) + 𝑡
2
(︂
0,−𝑔
2
)︂
Exemplo 2.2. Seja 𝒞 uma curva de R2, descrita por uma função contínua, definida explici-
tamente pela relação
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼 ⊂ R
Então, uma parametrização natural de 𝒞 é
𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑓(𝑡)) com 𝑡 ∈ 𝐼
Exemplo 2.3. Do exemplo anterior, segue que uma parametrização natural para:
A reta 𝑦 = 2𝑥 − 2, é 𝛼(𝑡) = (𝑡, 2𝑡 − 2) com 𝑡 ∈ R e para a curva 𝑦 = sen𝑥, é
𝛽(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡) com 𝑡 ∈ R
(a) 𝛼(𝑡) = (𝑡, 2𝑡− 2) (b) 𝛽(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡)
Exemplo 2.4. Sejam 𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) e 𝛽(𝑡) = (𝑡2, 𝑡4), 𝑡 ∈ R equações paramétricas das curvas
𝒞1 e 𝒞2 respectivamente. Elas possuem a mesma equação cartesiana, embora sejam curvas
diferentes.
Sol.: De fato, para 𝒞1 temos que sua equação paramétrica é⎧⎨⎩ 𝑥 = 𝑡,𝑦 = 𝑡2, ⇒ 𝑥 = √𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥2. (2.1)
Para 𝒞2 sua equação paramétrica é⎧⎨⎩ 𝑥 = 𝑡2,𝑦 = 𝑡4, ⇒ 𝑡2 = √𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ≥ 0. (2.2)
14
Observamos que 𝒞1 está representada pela parábola 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ∈ 𝑅 enquanto que a curva
𝒞2 está representada pela porção de parábola 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ≥ 0.
(a) 𝑡 ∈ R (b) 𝑡 > 0
Figura 2.1: 𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑡2)
Exemplo 2.5. Seja ℒ a reta de R2 que passa pelo ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0), paralela ao vetor
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2). Encontre uma parametrização da reta ℒ.
Sol.: Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℒ, então usando a álgebra de vetores temos que −→𝑂𝑃 = −−→𝑂𝑃0 + 𝑡�⃗�
para algum 𝑡 ∈ R, isto é (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑣1, 𝑣2). Assim, uma parametrização de ℒ é
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑦0 + 𝑡𝑣2),
com 𝑡 ∈ R. Logo, suas equações paramétricas são:
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑡 ∈ R, 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑡 ∈ R. (2.3)
Por outro lado, podemos eliminar o parâmetro 𝑡 nas equações paramétricas para obter uma
expressão cartesiana da reta ℒ. Se 𝑣1, 𝑣2, são não nulos, então
𝑥− 𝑥0
𝑣1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑣2
, (2.4)
é uma expressão cartesiana da reta ℒ.
Exemplo 2.6. Seja ℒ a reta de R3 que passa pelo ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e é paralela ao vetor
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3). Encontre uma parametrização da reta ℒ.
15
Figura 2.2: Parametrização da Reta em R3.
Sol.: Se 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℒ, então −→𝑂𝑃 = −−→𝑂𝑃0 + 𝑡�⃗� para algum 𝑡 ∈ R,
Assim,
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)
isto é, uma parametrização de ℒ é 𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑧0 + 𝑡𝑣3), com 𝑡 ∈ R. Logo, suas
equações paramétricas são:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑡 ∈ R
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑡 ∈ R. (2.5)
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑣3, 𝑡 ∈ R.
Por outro lado, podemos eliminar o parâmetro 𝑡 nas equações paramétricas para obter
uma expressão cartesiana da reta ℒ. Se 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, são não nulos, então
𝑥− 𝑥0
𝑣1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑣2
=
𝑧 − 𝑧0
𝑣3
, (2.6)
é uma expressão cartesiana da reta ℒ.
Exemplo 2.7. (Curvas Orientadas)
Consideremos as curvas 𝐶1 e 𝐶2. (Ver Figura 2.3 )
Ambas curvas tem equação em coordenadas cartesianas 𝑦 = 𝑥2 com 𝑥 ∈ [−1, 2]. Porém,
𝐶1 inicia-se no ponto 𝐴 = (−1, 1) e termina em 𝐵 = (2, 4); enquanto que 𝐶2 inicia-se em 𝐵
e termina em 𝐴. Para parametrizar cada curva temos que considerar sua orientação.
Uma parametrização de 𝐶1 é tomando 𝑥 = 𝑡 como parámetro : 𝛼1(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) com
𝑡 ∈ [−1, 2]. Observamos que 𝛼1(−1) = (−1, 1) = 𝐴 e 𝛼1(2) = (2, 4) = 𝐵.
16
Figura 2.3: Curvas 𝐶1 e 𝐶2.
Como 𝐶2 é a curva 𝐶1 com a orientação invertida, então podemos parametrizar 𝐶2 como
𝛼2(𝑡) = 𝛼1(𝑎 + 𝑏 − 𝑡) com 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Desta forma, 𝛼2(𝑡)= 𝛼1(−1 + 2 − 𝑡) = 𝛼1(1 − 𝑡).
𝛼2(𝑡) = 𝛼1(1− 𝑡) = (1− 𝑡, (1− 𝑡)2) com 𝑡 ∈ [−1, 2]
Observamos que 𝛼2(−1) = 𝐵 e 𝛼2(2) = 𝐴.
2.2 Coordenadas Polares
Até agora usamos apenas as coordenadas cartesianas para descrever um ponto no plano.
Nesta seção relembraremos um sistema de coordenadas introduzido por Newton, denominado
Coordenadas Polares, que será útil para o melhor entendimento do comportamento de
certas curvas.
Figura 2.4: Coordenadas Polares (𝑟, 𝜃)
Definimos um ponto 𝑂 fixo, chamado de polo (ou origem) e um raio que parte do polo
17
chamado eixo polar. Em tal sistema de coordenadas podemos associar a cada ponto 𝑃 do
plano um par de coordenadas polares (𝑟, 𝜃), onde 𝑟 é chamado de coordenada radial de 𝑃
enquanto 𝜃 é a coordenada angular (ou ângulo polar) de 𝑃 .
Por conveniência tomaremos a origem do sistema de coordenadas cartesianas como o polo
e o semi-eixo não negativo 𝑥 como o eixo polar.
Exemplo 2.8. Marque a localização dos pontos cujas coordenadas polares são (6, 45𝑜), (5, 120𝑜),
(3, 225𝑜).
Figura 2.5: Determinando pontos em coordenadas polares.
∙ A relação entre as coordenadas polares e um sistema retangular é dado por⎧⎨⎩ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃𝑦 = 𝑟 sen 𝜃. (2.7)
Estas equações permitem encontrar 𝑥 e 𝑦 quando forem dados 𝑟 e 𝜃.
Exemplo 2.9. Ache as coordenadas retangulares do ponto polar 𝑃 = (6, 2𝜋/3).
Sol. Ja que 𝑟 = 6 e 𝜃 = 2𝜋/3, de (2.7) temos que
𝑥 = 6 cos
2𝜋
3
= 6
(︂
− 1
2
)︂
= −3 e 𝑦 = 6 sen 2𝜋
3
= 6
(︂√
3
2
)︂
= 3
√
3
∙ Para encontrar 𝑟 e 𝜃 a partir de 𝑥 e 𝑦 usamos as identidades trigonométricas:
sen2𝜃 + cos2 𝜃 = 1 e tan 𝜃 =
sen 𝜃
cos 𝜃
de modo que 𝑥 e 𝑦 (2.7) satisfaçam as relações:
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 e tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
. (2.8)
Exemplo 2.10. Ache as coordenadas polares do ponto cartesiano 𝑃 = (−2, 2√3).
18
Sol. Ja que tan 𝜃 =
2
√
3
−2 = −
√
3 e 𝑃 pertence ao II quadrante, então 𝜃 =
2𝜋
3
. Logo, de
(2.8) temos que
𝑟 =
√︀
4 + 4(3) = 4 e 𝜃 =
2𝜋
3
Observação 2.1. Ao contrário do sistema de coordenadas cartesianas um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦)
tem muitas representações diferentes no sistema de coordenadas polares.
Exemplo 2.11. O ponto 𝑃 = (3, 𝜋/6) pode-se determinar de diferentes formas,
𝑃 =
(︂
− 3, 7𝜋
6
)︂
=
(︂
− 3,−5𝜋
6
)︂
=
(︂
3,−11𝜋
6
)︂
.
Observação 2.2. Outra relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto (𝑥, 𝑦) e suas
coordenadas polares (𝑟, 𝜃) é
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
e sen 𝜃 =
𝑦
𝑟
Exemplo 2.12. A equação polar da reta 𝑥 = 4 é
𝑟 cos 𝜃 = 4 −→ 𝑟 = 4
cos 𝜃
Exemplo 2.13. A equação polar da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 9 é
(𝑟 cos 𝜃)2 + (𝑟 sen 𝜃)2 = 9 −→ 𝑟 = 3
2.2.1 Gráfico de uma Equação Polar
O gráfico de uma função de equação explícita 𝑟 = 𝑓(𝜃) ou implícita 𝐹 (𝑟, 𝜃) = 0, consiste em
todo os pontos 𝑃 que têm pelo menos uma representação (𝑟, 𝜃) cujas coordenadas satisfaçam
a equação que a determina.
19
Família de Retas
Se 𝜃0 for um ângulo fixo, então para todos os valores de 𝑟 os pontos (𝑟, 𝜃0) estão sobre uma
única reta que forma com o eixo polar um ângulo 𝜃0. Portanto, a equação de uma reta em
coordenadas polares é
𝜃 = 𝜃0.
Figura 2.6: Reta em coordenadas polares
Variando-se 𝜃 a equação produz uma família de retas que forma com o eixo polar um
ângulo 𝜃.
Família de Círculos
1. Em coordenadas polares a equação
𝑟 = 𝑎,
representa um círculo de raio 𝑎 com centro no polo 𝑂.
Note que, variando-se 𝑎 a equação produz uma família de círculos com centro no
polo.
2. A equação
𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃,
representa um círculo de raio 𝑎 com centro sobre o eixo x e tangente na origem ao
eixo y.
20
Figura 2.7: Círculo Polar com centro na origem
Figura 2.8: Círculo Polar com centro em (𝑎, 0)
3. equação
𝑟 = 2𝑎 sen 𝜃,
representa um círculo de raio 𝑎 com centro sobre o eixo y e tangente na origem ao
eixo x.
Figura 2.9: Círculo Polar com centro em (0, 𝑎)
21
Exemplo 2.14. Esboce o gráfico da equação 𝑟 = sen 𝜃 em coordenadas polares.
Sol. Dando valores para 𝜃 na equação obtemos o gráfico: (Ver Tabela 2.1)
Figura 2.10
𝜃 0 𝜋/6 𝜋/2 2𝜋/3 5𝜋/6 𝜋
𝑟 = sen 𝜃 0 1/2 1
√
3/2 1/2 0
(𝜃, 𝑟) (0, 0) (1/2, 𝜋/6) (1, 𝜋/2) (
√
3/2, 2𝜋/3) (1/2, 5𝜋/6) (0, 2𝜋)
Tabela 2.1
Devido a que 𝑟2 = 𝑟 sen 𝜃, tem-se que sua equação cartesiana é:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 = 𝑟 sen 𝜃 = 𝑦 ou que implica que 𝑥2 +
(︂
𝑦 − 1
2
)︂2
=
1
4
Exemplo 2.15. (Parametrização de Circunferências) Parametrize a circunferencia de
equação (𝑥− ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 no sentido anti-horário.
Sol. Da seção anterior, fazendo 𝑥− ℎ = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑦 − 𝑘 = 𝑟 sen 𝜃 podemos parametrizar
a circunferência com 𝛼(𝜃) = (𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃) com 𝜃 ∈ [0, 2𝜋].
Exemplo 2.16. (Parametrização de Elipses) Parametrize a elipse de equação
(𝑥− ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 no sentido anti-horário.
Sol. Fazendo
(𝑥− ℎ)
𝑎
= cos 𝜃 e
(𝑦 − 𝑘)
𝑏
= sen 𝜃 podemos parametrizar a elipse com
𝛼(𝜃) = (ℎ + 𝑎 cos 𝜃, 𝑘 + 𝑏 sen 𝜃) com 𝜃 ∈ [0, 2𝜋]
22
Exemplo 2.17. Considere a curva 𝐶 de interseção entre o plano 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 e o
cilindro 𝑦2 + 𝑧=4. Determine uma parametrização para 𝐶. Figura 2.11
Sol. Seja (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) pontos de 𝐶 onde 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡) estão na circunferência 𝑦2+𝑧2 = 4,
Figura 2.11
é dizer podemos colocar 𝑦(𝑡) = 2 cos 𝑡 e 𝑧(𝑡) = 2 sen 𝑡.
Como 𝑥(𝑡) esta no plano 2𝑥− 2𝑦 + 𝑧 = 2, isolando: 𝑥(𝑡) = 1− 𝑧(𝑡)/2 + 𝑦(𝑡), podemos
escrever a parametrização da curva 𝐶 como:
𝛼(𝑡) = (1 + 2 cos 𝑡− sen 𝑡, 2 cos 𝑡, 2 sen 𝑡) com 𝑡 ∈ [0, 𝜋/2]. Observe que 𝛼(0) = (3, 2, 0) e
𝛼(𝜋/2) = (0, 0, 2).
2.3 Exercícios
1. De uma parametrização para cada uma das curvas
𝑎) a reta 𝑥 + 𝑦 = 1
𝑏) a parábola 𝑥 = 4𝑦2
𝑐) a circunferência (𝑥− 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑑) a elipse
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, 𝑥 ≥ 0.
𝑒) o ramo da hipérbole
𝑥2
𝑎2
− 𝑦
2
𝑏2
= 1, 𝑥 ≥ 0.
𝑓) a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 intersectada com o plano 𝑥 + 𝑦 = 2
𝑔) o paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e o plano 𝑦 = 1
2. Encontre uma parametrização e esboce as curvas abaixo apresentadas:
(a) A parte do círculo que esta no terceiro quadrante orientada no sentido anti-horário.
23
(b) A elipse
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1 orientada no sentido anti-horário.
(c) O círculo de raio 4, centrado em (1,−3), orientado no sentido anti-horário.
(d) O quadrado que passa pelos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), orientado no sen-
tido anti-horário.
(e) O triângulo que passa pelos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1), orientado no sentido
horário.
(f) A interseção do cilindro parabólico 𝑦 = 𝑥2 e o elipsoide 𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑧2 = 16
3. Parametrize a curva 𝐶 de interseção entre o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e o plano 𝑧 = 2− 𝑥.
4. Parametrize a curva 𝐶 no espaço que resulta da interseção de duas superfícies dadas
pelas equações: 𝑦 = 𝑥2 e 𝑧 = 𝑦, com −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.
5. Determine as rectas tangentes às curvas dadas nos pontos indicados:
(a) 𝛼(𝑡) = (1 + cos 𝑡, sen 𝑡, 2 sen(𝑡/2)), 𝑡 = 𝜋.
(b) 𝛼(𝑡) = (𝑒−𝑡, 𝑡2, 5 + 𝑡), 𝑡 = 0.
6. Considere a curva 𝛼 : R→ R3 dada por 𝛼(𝑡) = (2 cos 𝑡, 3 sen 𝑡, 𝑡). Prove que o traço de
𝛼 está contido num cilindro elíptico. Determine a velocidade de 𝛼 no ponto que está
no plano 𝑧 = 0.
24
Capítulo 3
Integrais de Linha
3.1 Comprimento de Arco
Seja 𝐶 uma curva em 𝑅3 parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Podemos
pensar que esta curva é a trajetória descrita por uma partícula se movendo com velocidade
𝑣(𝑡) = ‖𝛼′(𝑡)‖.
Qual é o comprimento desta curva quando 𝑡 varia de 𝑎 até 𝑏?. Intuitivamente, isto nada
mais é do que o espaço percorridopela partícula no intervalo do tempo [𝑎, 𝑏], isto é
∫︀ 𝑏
𝑎
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡.
Vejamos:
Figura 3.1: Comprimento de arco
Seja 𝑃 uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏], isto é, 𝑃 = {𝑡0, 𝑡1, . . . , 𝑡𝑛} onde
𝑎 = 𝑡0 ≤ 𝑡1 ≤ · · · ≤ 𝑡𝑛 = 𝑏 e △𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 = 𝑏− 𝑎
𝑛
25
O comprimento do segmento de reta 𝛼(𝑡𝑖) até 𝛼(𝑡𝑖+1) é
‖𝛼(𝑡𝑖+1)− 𝛼(𝑡𝑖)‖ =
√︀
(𝑥(𝑡𝑖+1)− 𝑥(𝑡𝑖))2 + (𝑦(𝑡𝑖+1)− 𝑦(𝑡𝑖))2 + (𝑧(𝑡𝑖+1)− 𝑧(𝑡𝑖))2.
Aplicando o Teorema de valor médio as funções 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡) no intervalo [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1],
obtemos 𝑡1𝑖 , 𝑡2𝑖 , 𝑡3𝑖 ∈ [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1] tais que
𝑥(𝑡𝑖+1)− 𝑥(𝑡𝑖) = 𝑥′(𝑡1𝑖 ) (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (3.1)
𝑦(𝑡𝑖+1)− 𝑦(𝑡𝑖) = 𝑦′(𝑡2𝑖 ) (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (3.2)
𝑧(𝑡𝑖+1)− 𝑧(𝑡𝑖) = 𝑧′(𝑡3𝑖 ) (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (3.3)
Logo o comprimento total da linha poligonal é
𝑆𝑛 =
𝑛−1∑︁
𝑖=0
‖𝛼(𝑡𝑖+1)− 𝛼(𝑡𝑖)‖
=
𝑛−1∑︁
𝑖=0
√︁
(𝑥′(𝑡1𝑖 ))2 + (𝑦′(𝑡
2
𝑖 ))
2 + (𝑧′(𝑡3𝑖 ))2 (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (soma de Riemann)
Portanto, o comprimento da curva 𝐶 é o limite de 𝑆𝑛 quando 𝑛→∞, isto é,
𝐿(𝐶) = lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 =
∫︁ 𝑏
𝑎
√︀
(𝑥′(𝑡))2 + (𝑦′(𝑡))2 + (𝑧′(𝑡))2 𝑑𝑡
Definição 3.1. O comprimento da curva 𝐶 ⊂ R3 é definido por
𝐿(𝐶) =
∫︁ 𝑏
𝑎
‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 =
∫︁ 𝑏
𝑎
√︀
(𝑥′(𝑡))2 + (𝑦′(𝑡))2 + (𝑧′(𝑡))2 𝑑𝑡. (3.4)
Observação 3.1. Analogamente ao feito, definiremos o comprimento de uma curva 𝐶 ⊂ R2
parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) com 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], por:
𝐿(𝐶) =
∫︁ 𝑏
𝑎
√︀
(𝑥′(𝑡))2 + (𝑦′(𝑡))2 𝑑𝑡. (3.5)
Exemplo 3.1. O comprimento de uma circunferência de raio 𝑟 é igual a 2𝜋𝑟.
Sol: De fato, seja 𝐶 a circunferência de raio 𝑟 com centro na origem, parametrizada por
𝛼(𝑡) = (𝑟 cos 𝑡, 𝑟 sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
É simples ver que 𝛼′(𝑡) = (−𝑟 sen 𝑡, 𝑟 cos 𝑡) e ‖𝛼′(𝑡)‖ = 𝑟, logo
𝐿(𝐶) =
∫︁ 2𝜋
0
𝑟 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟.
Podemos também calcular o comprimento de 𝐶 usando a parametrização
𝛽(𝑡) = (𝑟 cos 2𝜋𝑡, 𝑟 sen 2𝜋𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1]
Neste caso, 𝛽′(𝑡) = (−2𝜋𝑟 sen 2𝜋𝑡, 2𝜋𝑟 cos 2𝜋𝑡) e ‖𝛽′(𝑡)‖ = 2𝜋𝑟, logo
𝐿(𝐶) =
∫︁ 1
0
2𝜋𝑟 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟.
26
3.2 Integral de Linha de uma Função Escalar
Sejam 𝑓 : R3 → R uma função real e 𝐶 uma curva em R3 que é parametrizada por 𝛼(𝑡) =
(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].
Podemos supor que 𝐶 representa um arame e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) a densidade (massa por unidade
de comprimento) em cada ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶, o objetivo será calcular a massa total do
arame.
Para isto, dividamos o intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] por meio de uma partição regular,
𝑎 = 𝑡0 ≤ 𝑡1 ≤ · · · ≤ 𝑡𝑛 = 𝑏 e △𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 = 𝑏− 𝑎
𝑛
,
Obtendo assim uma decomposição de 𝐶 em curvas 𝐶𝑖 definidas em [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1]
Figura 3.2: 𝐹 : 𝐶 ⊂ R3 → R
Denotemos por △𝑠𝑖 o comprimento da curva 𝐶𝑖, isto é
△𝑠𝑖 =
∫︁ 𝑡𝑖+1
𝑡𝑖
‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡.
Pelo Teorema de Valor Médio para integrais, existe 𝑢𝑖 ∈ [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1] tal que
△𝑠𝑖 = ‖𝛼′(𝑢𝑖)‖ (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) = ‖𝛼′(𝑢𝑖)‖ △𝑠𝑖
Quando 𝑛 é grande, △𝑠𝑖 é pequeno e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) pode ser considerada constante em 𝐶𝑖 e igual
a 𝑓(𝛼(𝑢𝑖)). Portanto, a massa total 𝑀 é aproximada por
𝑆𝑛 =
𝑛−1∑︁
𝑖=0
𝑓(𝛼(𝑢𝑖))‖𝛼′(𝑢𝑖)‖△𝑡𝑖, (soma de Riemann)
27
onde 𝑆𝑛 é a soma de Riemann da função 𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 no intervalo [𝑎, 𝑏]. Logo, a massa
𝑀 é calculada por
𝑀 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡.
Definição 3.2. Consideremos a curva 𝐶 ⊂ R3, parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)),
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], onde 𝛼 é de classe 𝐶1, e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) uma função real e contínua em 𝐶. Definimos a
integral de linha de 𝑓 ao longo de 𝐶 por∫︁
𝐶
𝑓 𝑑𝑠 =
∫︁
𝐶
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡. (3.6)
Exemplo 3.2. Calcule
∫︀
𝐶
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a hélice parametrizada pela função
𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
Sol. Desde que 𝛼(𝑡) é de classe 𝐶1 em [0, 2𝜋] e 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡, 1). Logo,
𝑑𝑠 = ‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 =
√
sen2𝑡 + cos2 𝑡 + 1 𝑑𝑡 =
√
2 𝑑𝑡
Como 𝑓 é contínua, então∫︁
𝐶
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑠 =
∫︁ 2𝜋
0
(cos2 𝑡 + sen2𝑡 + 𝑡2)
√
2 𝑑𝑡
=
√
2
∫︁ 2𝜋
0
(1 + 𝑡2) 𝑑𝑡 =
√
2
[︂
𝑡 +
𝑡3
3
]︂2𝜋
0
=
2
√
2𝜋
3
(3 + 4𝜋2) (3.7)
Se pensarmos na hélice como um arame e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 como a densidade de
massa no arame, então a massa total do aramé é
2
√
2𝜋
3
(3 + 4𝜋2)
Definição 3.3. A integral de linha de 𝑓 ao longo de uma curva 𝐶 ⊂ R2 parametrizada
por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) de classe 𝐶1 em [𝑎, 𝑏] e 𝑓(𝑥, 𝑦) uma função real contínua definida em
𝐶, é ∫︁
𝐶
𝑓 𝑑𝑠 =
∫︁
𝐶
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡. (3.8)
Exemplo 3.3. Calcule
∫︀
𝐶
𝑥𝑦 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o quarto de círculo do primeiro quadrante para-
metrizado por 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋
2
].
Sol. Desde que 𝛼(𝑡) é de classe 𝐶1 em [0, 𝜋/2] e 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡). Logo,
𝑑𝑠 = ‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 =
√
sen2𝑡 + cos2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡
Como 𝑓 é contínua, então∫︁
𝐶
𝑥𝑦 𝑑𝑠 =
∫︁ 𝜋
2
0
cos 𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 =
1
2
sen2𝑡
]︂𝜋
2
0
=
1
2
. (3.9)
28
Observação 3.2. Quando 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 , a formula (3.8) tem como interpretação geométrica
a área de uma cerca que tem como base a curva 𝐶 e altura 𝑓(𝑥, 𝑦) em cada (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶.
3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial
Sejam 𝐹 : R3 −→ R3, 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹3(𝑥, 𝑦, 𝑧)) um campo vetorial e 𝐶
uma curva em 𝑅3, definida por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].
Para motivar a definição de integral de linha de 𝐹 ao longo de 𝐶, suponhamos que 𝐹
representa um campo de forças e calculemos o trabalho realizado pela força 𝐹 ao deslocar
uma partícula ao longo de 𝐶.
Quando 𝐶 é um segmento de reta ligando o ponto 𝐴 ao ponto 𝐵 e 𝐹 é uma força
constante, sabemos que o trabalho realizado pela força 𝐹 ao deslocar uma partícula ao longo
de 𝐶 é dado por
𝑊 = 𝐹 · −→𝐴𝐵 = força × deslocamento.
Figura 3.3: Trabalho para deslocar uma partícula 𝑃 sobre uma curva 𝐶
Quando 𝐶 não é um segmento de reta, podemos aproximarmá-la por uma linha poligonal
com vértices em 𝐶, do seguinte modo: dividimos o intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] por meio de uma
partição regular de ordem 𝑛, 𝑎 = 𝑡0 < · · · < 𝑡𝑖 < · · · < 𝑡𝑛 = 𝑏, obtendo assim uma linha
poligonal de vértices 𝛼(𝑡𝑖) = (𝑥(𝑡𝑖), 𝑦(𝑡𝑖), 𝑧(𝑡𝑖)) 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑛.
Como para 𝑛 grande △𝑡𝑖 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 é pequeno, o deslocamento da partícula de 𝛼(𝑡𝑖) a
𝛼(𝑡𝑖+1) é aproximado pelo vetor △𝑠𝑖 = 𝛼(𝑡𝑖+1) − 𝛼(𝑡𝑖), e 𝐹 pode ser considerado constante
e igual a 𝐹 (𝛼(𝑡𝑖)) no intervalo [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1]. Supondo que 𝛼′(𝑡) existe para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], então
pela definição de derivada, temos que
△𝑠𝑖 ≈ 𝛼′(𝑡𝑖) △𝑡𝑖
29
Figura 3.4: Aproximação da Trajetória de uma partícula por uma Poligonal
Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partícula de 𝛼(𝑡𝑖) até 𝛼(𝑡𝑖+1) é aproxima-
damente
𝐹 (𝛼(𝑡𝑖))△𝑠𝑖 ≈ 𝐹 (𝛼(𝑡𝑖)) 𝛼′(𝑡𝑖) △𝑡𝑖.
Assim, o trabalho 𝑊 realizado pela força 𝐹 ao deslocar uma partícula ao longo de 𝐶 é:
𝑊 = lim
𝑛−→∞
(︂𝑛−1∑︁
𝑖=0
𝐹 (𝛼(𝑡𝑖)) 𝛼
′(𝑡𝑖) △𝑡𝑖
)︂
(3.10)
Logo,
𝑊 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹 (𝛼(𝑡)) · 𝛼′(𝑡) 𝑑𝑡. (3.11)
Definição 3.4. Seja 𝐶 ⊂ R3 uma curva parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) com
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], onde 𝛼 é de classe 𝐶1, e 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹3(𝑥, 𝑦, 𝑧)) um campo
vetorial contínuo definido em 𝐶. Definimos a integral de linha de 𝐹 ao longo de 𝐶 por∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹 (𝛼(𝑡)) · 𝛼′(𝑡) 𝑑𝑡. (3.12)
Se a curva 𝐶 é fechada, isto é 𝛼(𝑎)= 𝛼(𝑏) a integral de linha é denotada por
∮︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟.
Note que ao usarmos as componentes de 𝐹 e de 𝛼, a equação (3.12) se escreve∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹1(𝛼(𝑡)) 𝑥
′(𝑡) 𝑑𝑡 +
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹2(𝛼(𝑡)) 𝑦
′(𝑡) 𝑑𝑡 +
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹3(𝛼(𝑡)) 𝑧
′(𝑡) 𝑑𝑡.
=
∫︁
𝐶
𝐹1 𝑑𝑥 +
∫︁
𝐶
𝐹2 𝑑𝑦 +
∫︁
𝐶
𝐹3 𝑑𝑧 (3.13)
30
Observação 3.3. Se 𝐶 é uma curva no plano 𝑥𝑦 parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) com
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], a integral de linha de 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝐹1(𝑥, 𝑦), 𝐹2(𝑥, 𝑦)) ao longo de 𝐶 é dada por∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁
𝐶
𝐹1 𝑑𝑥 +
∫︁
𝐶
𝐹2 𝑑𝑦 (3.14)
Exemplo 3.4. Calcule
∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟, onde 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝐶 é a curva parametrizada
por 𝛼(𝑡) = (sen 𝑡, cos 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
Sol. Ja que 𝐹 é contínua em R3 e 𝛼′(𝑡) = (cos 𝑡,− sen 𝑡, 1), temos∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁ 2𝜋
0
(sen 𝑡, cos 𝑡, 𝑡) · (cos 𝑡,− sen 𝑡, 1) 𝑑𝑡 =
∫︁ 2𝜋
0
𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋2 (3.15)
Propriedades
1.
∫︁
𝐶−
𝐹 · 𝑑𝑟 = −
∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟, onde 𝐶− é a curva 𝐶 com orientação oposta.
2.
∫︁
𝐶
(𝑎𝐹 + 𝑏𝐺) · 𝑑𝑟 = 𝑎
∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 + 𝑏
∫︁
𝐶
𝐺 · 𝑑𝑟
3. Se 𝐶 admite uma decomposição num número finito de curvas 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛, isto é,
𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ · · · ∪ 𝐶𝑛, então:∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁
𝐶1
𝐹 · 𝑑𝑟 +
∫︁
𝐶2
𝐹 · 𝑑𝑟 + · · ·+
∫︁
𝐶𝑛
𝐹 · 𝑑𝑟
Exemplo 3.5. Considere 𝐶 a fronteira de um quadrado no plano 𝑥𝑦 de vértices (0, 0), (1, 0),
(1, 1), (0, 1), orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha∫︁
𝐶
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁
𝐶
𝑥2 𝑑𝑥 +
∫︁
𝐶
𝑥𝑦 𝑑𝑦.
Sol. A curva 𝐶 é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados
por:
𝛼1(𝑡) = (𝑡, 0), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
𝛼2(𝑡) = (1, 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
𝛼3(𝑡) = (−𝑡, 1), −1 ≤ 𝑡 ≤ 0
𝛼4(𝑡) = (0,−𝑡), −1 ≤ 𝑡 ≤ 0.
Assim, para 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑥𝑦) e 𝑑𝑟 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦), temos
31
Figura 3.5: 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3 ∪ 𝐶4
∫︁
𝐶1
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
𝑡2 𝑑𝑡 =
1
3∫︁
𝐶2
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
𝑡 𝑑𝑡 =
1
2∫︁
𝐶3
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 0
−1
−𝑡2 𝑑𝑡 = −1
3∫︁
𝐶4
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 0
−1
0 𝑑𝑡 = 0.
Logo, ∫︁
𝐶
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
+
1
2
− 1
3
=
1
2
3.4 Campos Conservativos. Independência da Trajetória
Definição 3.5. Um campo vetorial 𝐹 : Ω ⊂ R𝑛 −→ R𝑛 denomina-se conservativo se existe
um campo escalar diferenciável 𝑓 : Ω ⊂ R𝑛 −→ R tal que:
▽𝑓 = 𝐹, em Ω.
Teorema 3.1. Seja 𝐹 um campo vetorial contínuo definido num subconjunto aberto 𝑈 ⊂ R3
para o qual existe uma função real 𝑓 tal que ▽𝑓 = 𝐹, em 𝑈 . Se 𝐶 é uma curva em 𝑈 com
ponto inicial e final 𝐴 e 𝐵, respectivamente, parametrizada por uma função 𝛼(𝑡) de classe
𝐶1 por partes, então ∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁
𝐶
∇𝑓 · 𝑑𝑟 = 𝑓(𝐵)− 𝑓(𝐴)
O campo vetorial 𝐹 do Teorema anterior é chamado campo gradiente ou campo conser-
vativo e a função 𝑓 , uma função potencial.
32
3.4.1 Construção de uma Função Potencial
Se 𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é um campo vetorial gradiente de uma função potencial 𝑓 num aberto
𝑈 ⊂ R3, então:
∇𝑓 = 𝐹
ou
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝐹1 (3.16)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝐹2 (3.17)
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝐹3 (3.18)
Usando integrais indefinidas e integrando (3.16) em relação a 𝑥 (mantendo 𝑦 e 𝑧 constantes)
obtemos:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∫︁
𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝐴(𝑦, 𝑧), (3.19)
onde 𝐴(𝑥, 𝑦) é uma constante de integração a ser determinada. Analogamente integrando
(3.17) e (3.18) em relação a 𝑦 e 𝑧 respectivamente, obtemos
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∫︁
𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 + 𝐵(𝑥, 𝑧), (3.20)
e
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∫︁
𝐹3(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 + 𝐶(𝑥, 𝑦), (3.21)
onde 𝐵(𝑥, 𝑧) e 𝐶(𝑥, 𝑦) são funções a serem determinadas.
Para encontrar 𝑓 devemos determinar 𝐴(𝑦, 𝑧), 𝐵(𝑥, 𝑧) e 𝐶(𝑥, 𝑦) de modo que as equações
(3.19), (3.20) e (3.21) tenham o mesmo lado direito.
Exemplo 3.6. Considere o campo gradiente 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑒−𝑦 − 2𝑥,−𝑥𝑒−𝑦 − sen 𝑦). Calcule∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟, onde 𝐶 é qualquer curva de classe 𝐶1 por partes de 𝐴 = (𝜋, 0) até 𝐵 = (0, 𝜋).
Sol. Se existe 𝑓 tal que ∇𝑓 = 𝐹 , pelo Teorema anterior,∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝑓(0, 𝜋)− 𝑓(𝜋, 0) (3.22)
Vejamos como encontrar 𝑓 :
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑦 − 2𝑥 (3.23)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒−𝑦 − sen 𝑦. (3.24)
33
Integrando em relação a 𝑥 e 𝑦 respectivamente obtemos:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒−𝑦 − 𝑥2 + 𝐴(𝑦) (3.25)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒−𝑦 + cos 𝑦 + 𝐵(𝑥) (3.26)
Por inspeção, resulta que 𝐴(𝑦) = cos 𝑦 e 𝐵(𝑥) = −𝑥2 verificam as equações (3.23) e (3.24).
Portanto, a função potencial é
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒−𝑦 + cos 𝑦 − 𝑥2.
Logo, ∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝑓(0, 𝜋)− 𝑓(𝜋, 0) = −1− (𝜋 + 1− 𝜋2) = 𝜋2 − 𝜋 − 2.
3.5 Exercícios
1. Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
(a) 𝛼(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡, 𝑒𝑡 sen 𝑡) 𝑡 ∈ [0, 2]
(b) 𝛼(𝑡) = (𝑎(cos 𝑡 + 𝑡 sen 𝑡), 𝑎(sen 𝑡− 𝑡 cos 𝑡)) 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
(c) 𝛼(𝑡) = (sen 𝑡, 𝑡, 1− cos 𝑡) 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
(d) 𝛼(𝑡) = (𝑡, 3𝑡2, 6𝑡3) 𝑡 ∈ [0, 2]
2. Calcule
∫︀
𝐶
𝑓𝑑𝑠, onde
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 e 𝐶 é a fronteira do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 e 𝐶 é a circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 e 𝐶 tem equações paramétricas 𝑥 = 𝑡− sen 𝑡, 𝑦 = 1− cos 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
√
𝑧 e 𝐶 é definida por 𝜎(𝑡) = (1, 2, 𝑡2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥+𝑦 e 𝐶 é a curva obtida como a interseção do semiplano 𝑥 = 𝑦, 𝑦 ≥ 0,
com o paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≤ 2.
3. Um arame tem a forma da curva obtida como interseção da porção da esfera
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, 𝑦 ≥ 0, com o plano 𝑥+ 𝑧 = 2. Sabendo-se que a densidade em cada
ponto do arame é dada por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦, calcule massa total do arame.
34
4. Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro
𝑥2 + 𝑦2 = 4, compreendida entre os planos 𝑧 = 0 e 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑧 ≥ 0. se o metro
quadrado de zinco custa 𝑀 reais, calcule o preço total da peça.
5. Calcule
∫︀
𝐶
𝐹.𝑑𝑟, onde
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦, 𝑦2 − 2𝑥𝑦) e 𝐶 é a parábola 𝑦 = 𝑥2 de (-2,4) a (1,1).
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦) =
(︂
𝑥√︀
𝑥2 + 𝑦2
,
𝑦√︀
𝑥2 + 𝑦2
)︂
e 𝐶 é a circunferência de centro na origem e raio
𝑎, percorrida no sentido anti-horário.
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 3𝑥, 2𝑦 − 𝑥) e 𝐶 é a elipse 4𝑥2 + 𝑦2 = 4, percorrida no sentido
anti-horário.
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2, 𝑥2− 𝑦2) e 𝐶 é a curva de equação 𝑦 = 1−|1−𝑥| de (0,0) a (2,0).
𝑒) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦𝑧, 𝑥𝑧, 𝑥(𝑦+1) e 𝐶 é a fronteira do triângulo de vértices (0,0,0), (1,1,1)
e (-1,1„-1), percorrida nesta ordem.
𝑓) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦, 𝑥2 + 𝑧, 𝑦2 − 𝑥) e 𝐶 é a curva obtida como interseção do cone
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, 𝑧 ≥ 0, com o cilindro 𝑥 = 𝑦2 de (0,0,0) a (1, 1,√2).
6. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑦2, 2𝑥𝑦) ao mover
uma partícula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e
pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑎 (𝑎 > 0) no sentido anti-horário.
7. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦2, 𝑧2, 𝑥2) ao longo da
curva obtida como interseção da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 com o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎𝑥,
onde 𝑧 ≥ 0 e 𝑎 ≥ 0. A curva e percorrida em sentido anti-horário quando vista do
plano 𝑥𝑦.
8. Determine a função potencial para cada campo gradiente 𝐹 dado.
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑥 sen 𝑦, 𝑒𝑥 cos 𝑦).
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦2 − 𝑦3, 2𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 + 2).
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦).
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 sen 𝑧, 𝑥 sen 𝑧, 𝑥𝑦 cos 𝑧).
9. Calcule∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 para os campos gradientes do item 8 𝑐) e 8 𝑑) onde 𝐶 é qualquer
curva de classe 𝐶1 unindo os pontos (0, 0, 𝜋/2) e (1, 1, 𝜋).
35
Capítulo 4
Integrais Múltiplas
4.1 Integrais Duplas
4.1.1 Integrais Duplas sobre um Retângulo
Seja 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) uma função definida no retângulo
𝑅 = [𝑎, 𝑏]× [𝑐, 𝑑] = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}
Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 em 𝑅, isto é, o gráfico de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma superfície 𝑆 situada acima do
retângulo 𝑅. Esta superfície, o retângulo 𝑅 e os quatro planos 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑐 e 𝑦 = 𝑑
formam a fronteira de uma região 𝑊 do espaço Assumindo que a região 𝑊 assim definida
Figura 4.1: Região W situada abaixo de 𝑆 e acima de 𝑅.
possui um volume, chamamos este volume de integral dupla de 𝑓 sobre o retângulo 𝑅 e o
36
denotamos por ∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ou
∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴.
4.1.2 Integral Dupla pelo Método de Riemann
Consideremos 𝑃1 e 𝑃2 duas partições regulares de ordem 𝑛 de [𝑎, 𝑏] e [𝑐, 𝑑] respectivamente,
isto é, 𝑃1 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 . . . , 𝑥𝑛} e 𝑃2 = {𝑦0, 𝑦1, 𝑦2 . . . , 𝑦𝑛}, onde
𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ · · · ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏 com △𝑥 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = 𝑏− 𝑎
𝑛
e
𝑐 = 𝑦0 ≤ 𝑦1 ≤ · · · ≤ 𝑦𝑛 = 𝑑 com △𝑦 = 𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗 = 𝑑− 𝑐
𝑛
O produto cartesiano 𝑃1 × 𝑃2 é dita uma partição regular de ordem 𝑛 do retângulo
𝑅 = [𝑎, 𝑏]× [𝑐, 𝑑]. Esta partição decompõe o retângulo 𝑅 em 𝑛2 sub-retângulos.
Figura 4.2: Partição de ordem 𝑛 = 4
Suponhamos que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma função real limitada em 𝑅, (isto é, existe 𝑀 >
0, tal que |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ 𝑀 , para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅). Denotemos por 𝑅𝑗𝑘 o sub-retângulo
[𝑥𝑗, 𝑥𝑗+1]× [𝑦𝑘, 𝑦𝑘+1] e 𝑐𝑗𝑘 um ponto qualquer em 𝑅𝑗𝑘. Formemos a soma
𝑆𝑛 =
𝑛−1∑︁
𝑘=0
(︂𝑛−1∑︁
𝑗=0
𝑓(𝑐𝑗𝑘) △ 𝑥 △𝑦
)︂
=
𝑛−1∑︁
𝑗,𝑘=0
𝑓(𝑐𝑗𝑘)△𝑥 △𝑦 =
𝑛−1∑︁
𝑗,𝑘=0
𝑓(𝑐𝑗𝑘) 𝑑𝐴,
onde △𝑥 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = 𝑏− 𝑎
𝑛
, △𝑦 = 𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗 = 𝑑− 𝑐
𝑛
e △𝐴 = △𝑥 △𝑦.
𝑆𝑛 é chamada soma de Riemann de 𝑓 sobre 𝑅.
37
Definição 4.1. Se lim
𝑛−→∞
𝑛−1∑︀
𝑗,𝑘=0
𝑓(𝑐𝑗𝑘) 𝑑𝐴 existe dizemos que 𝑓 é integrável sobre 𝑅 e escreve-
mos ∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 =
∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = lim
𝑛−→∞
𝑛−1∑︁
𝑗,𝑘=0
𝑓(𝑐𝑗𝑘) 𝑑𝐴 (4.1)
4.1.3 Integrais Iteradas
Teorema 4.1. (Teorema de Fubini) Se a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é contínua no retângulo
𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] então a integral dupla de 𝑓 sobre 𝑅 pode ser obtida através de integrais
iteradas, ou seja∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 𝑏
𝑎
(︂∫︁ 𝑑
𝑐
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑥 =
∫︁ 𝑑
𝑐
(︂∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
)︂
𝑑𝑦
Este Teorema indica como calcular uma integral dupla por meio de duas integrações sim-
ples sucessivas (ou iteradas) que podem ser calculadas aplicando-se o Teorema Fundamental
do Cálculo.
Exemplo 4.1. Calcule
∫︀∫︀
R
(4𝑥3 + 6𝑥𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 no retângulo 𝑅 = [1, 3]× [−2, 1].
Sol. Usando o Teorema de Fubini temos no retângulo 𝑅 = [1, 3]× [−2, 1] que:
Figura 4.3: Domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦)
38
∫︁ ∫︁
R
(4𝑥3 + 6𝑥𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
∫︁ 3
1
(︂∫︁ 1
−2
(4𝑥3 + 6𝑥𝑦2) 𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑥
=
∫︁ 3
1
[︂
(4𝑥3𝑦 + 2𝑥𝑦3)
]︂1
−2
𝑑𝑥
=
∫︁ 3
1
[︂
(4𝑥3 + 2𝑥)− (−8𝑥3 − 16𝑥)
]︂
𝑑𝑥
=
∫︁ 3
1
(12𝑥3 + 18𝑥) 𝑑𝑥 =
[︂
3𝑥4 + 9𝑥2
]︂3
1
= 312 (4.2)
ou ∫︁ ∫︁
R
(4𝑥3 + 6𝑥𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
∫︁ 1
−2
(︂∫︁ 3
1
(4𝑥3 + 6𝑥𝑦2) 𝑑𝑥
)︂
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
−2
[︂
(𝑥4 + 3𝑥2𝑦2)
]︂3
1
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
−2
[︂
(81 + 27𝑦2)− (1 + 3𝑦2)
]︂
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
−2
(80 + 24𝑦2) 𝑑𝑦 =
[︂
80𝑦 + 8𝑦3
]︂1
−2
= 312. (4.3)
Exemplo 4.2. Calcule as seguintes integrais
1.
∫︁ 𝜋
0
∫︁ 𝜋/2
0
cos𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2.
∫︁ 1
0
∫︁ 𝜋/2
0
(𝑒𝑦 + sen𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦.
Sol. Usando o Teorema de Fubini na primeira integral, temos que:
Figura 4.4: Domínio da primeira integral
39
∫︁ 𝜋
0
∫︁ 𝜋/2
0
cos𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
∫︁ 𝜋
0
(︂∫︁ 𝜋/2
0
cos𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑥
=
∫︁ 𝜋
0
[︂
cos𝑥 sen 𝑦
]︂𝜋/2
0
𝑑𝑥
=
∫︁ 𝜋
0
[︂
cos𝑥− 0
]︂
𝑑𝑥 =
∫︁ 𝜋
0
cos𝑥 𝑑𝑥
=
[︂
sen𝑥
]︂𝜋
0
= 0. (4.4)
Usando o Teorema de Fubini na segunda integral, temos que:∫︁ 1
0
∫︁ 𝜋/2
0
(𝑒𝑦 + sen𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
(︂∫︁ 𝜋/2
0
(𝑒𝑦 + sen𝑥) 𝑑𝑥
)︂
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
[︂
(𝑥𝑒𝑦 − cos𝑥)
]︂𝜋/2
0
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
[︂(︂
𝜋
2
𝑒𝑦 − 0
)︂
− (0− 1)
]︂
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
[︂
𝜋
2
𝑒𝑦 + 1
]︂
𝑑𝑦 =
[︂
𝜋
2
𝑒𝑦 + 𝑦
]︂1
0
=
𝜋
2
𝑒 + 1− 𝜋
2
=
𝜋
2
(𝑒− 1) + 1. (4.5)
Figura 4.5: Domínio da segunda integral
40
4.1.4 Integração sobre Regiões mais Gerais
Definição 4.2. Uma região 𝐷 do plano 𝑥𝑦 é chamada região de tipo I ou região vertical-
mente simples se é descrita do seguinte modo
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 e 𝜙1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜙2(𝑥)}, (4.6)
onde 𝜙1 e 𝜙2 são funções contínuas em [𝑎, 𝑏] e 𝜙1 ≤ 𝜙2.
Definição 4.3. Uma região 𝐷 do plano 𝑥𝑦 é chamada região de tipo II ou região hori-
zontalmente simples se é descrita do seguinte modo
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 e 𝜓1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝜓2(𝑦)}, (4.7)
onde 𝜓1 e 𝜓2 são funções contínuas em [𝑐, 𝑑] e 𝜓1 ≤ 𝜓2.
41
Teorema 4.2. Seja 𝑓 uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado
𝐷 ⊂ R2.
(𝑖) Se 𝐷 é uma região de tipo I, então:∫︁ ∫︁
D
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 𝑏
𝑎
(︂∫︁ 𝜙2(𝑥)
𝜙1(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑥.
(𝑖𝑖) Se 𝐷 é uma região de tipo II, então:∫︁ ∫︁
D
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 𝑑
𝑐
(︂∫︁ 𝜓2(𝑦)
𝜓1(𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
)︂
𝑑𝑦.
Exemplo 4.3. Calcule a integral
∫︀∫︀
D
𝑥𝑦2 𝑑𝐴, usando os dois tipos de regiões, onde 𝐷 é uma
região do primeiro quadrante limitada pelas curvas 𝑦 =
√
𝑥 e 𝑦 = 𝑥3.
Sol. Consideremos por separado as regiões:
Tipo I: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 e 𝑥3 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥}. ( Ordem de integração “𝑑𝑦𝑑𝑥”)
Figura 4.6: Região de tipo I
∫︁ ∫︁
D
𝑥𝑦2 𝑑𝐴 =
∫︁ 1
0
∫︁ √𝑥
𝑥3
𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
∫︁ 1
0
[︂
𝑥
𝑦3
3
]︂√𝑥
𝑥3
𝑑𝑥
=
∫︁ 1
0
[︂
𝑥 (
√
𝑥)3
3
− 𝑥 𝑥
9
3
]︂
𝑑𝑥 =
∫︁ 1
0
[︂
𝑥5/2
3
− 𝑥
10
3
]︂
𝑑𝑥
=
1
3
[︂
2
7
𝑥7/2 − 1
11
𝑥11
]︂1
0
=
1
3
[︂
2
7
− 1
11
]︂
=
5
77
. (4.8)
Tipo II: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 3√𝑦}. ( Ordem de integração “𝑑𝑥𝑑𝑦”)
42
Figura 4.7: Região de tipo II
∫︁ ∫︁
D
𝑥𝑦2 𝑑𝐴 =
∫︁ 1
0
∫︁ 3√𝑦
𝑦2
𝑥𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
[︂
𝑥2
2
𝑦2
]︂ 3√𝑦
𝑦2
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
[︂
𝑦2/3
2
𝑦2 − 𝑦
2
2
𝑦4
]︂
𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
[︂
𝑦8/3
2
− 𝑦
6
2
]︂
𝑑𝑦
=
1
2
[︂
3
11
𝑦11/3 − 𝑦
7
7
]︂1
0
=
1
2
[︂
3
11
− 1
7
]︂
=
5
77
. (4.9)
Exemplo 4.4. Calcule a integral
∫︀∫︀
D
𝑦 𝑑𝐴, onde 𝐷 é uma região limitada pelas curvas 𝑦 = 0
e 𝑦 = sen𝑥, quando 𝑥 ∈ [0, 𝜋].
Sol. Consideremos 𝐷 como uma região de tipo I
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 e 0 ≤ 𝑦 ≤ sen𝑥}.
Então, desde que sen2𝑥 =
1− cos 2𝑥
2
temos
∫︁ ∫︁
D
𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 𝜋
0
∫︁ sen𝑥
0
𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
∫︁ 𝜋
0
[︂
𝑦2
2
]︂sen𝑥
0
𝑑𝑥 =
∫︁ 𝜋
0
sen2𝑥
2
𝑑𝑥
=
1
4
∫︁ 𝜋
0
(1− cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = 1
4
[︂
𝑥− sen 2𝑥
2
]︂𝜋
0
=
1
4
(𝜋 − 0) = 𝜋
4
. (4.10)
43
Exemplo 4.5. Calcule a integral 𝐼 =
∫︀∫︀
R
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴, onde 𝑅 é uma região limitada pelas
curvas 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 3− 𝑥.
Sol. Este problema mostra como o número de regiões pode variar dependendo a ordem de
integraçãoa ser escolhida.
Considerando a ordem “𝑑𝑦 𝑑𝑥” ou Tipo I: Neste caso 𝑅 = 𝑅1 ∪𝑅2 ∪𝑅3. (Ver Figura 4.8)
Figura 4.8: Região expressada como 𝑅 = 𝑅1 ∪𝑅2 ∪𝑅3.
A integral fica∫︁ ∫︁
R
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 =
∫︁ 1
0
[︃∫︁ 𝑥2
0
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦
]︃
𝑑𝑥 +
∫︁ 2
1
[︂∫︁ 1
0
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦
]︂
𝑑𝑥 +
∫︁ 3
2
[︂∫︁ 3−𝑥
0
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦
]︂
𝑑𝑥
=
∫︁ 1
0
[︂
𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
]︂𝑥2
0
𝑑𝑥 +
∫︁ 2
1
[︂
𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
]︂1
0
𝑑𝑥 +
∫︁ 3
2
[︂
𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
]︂3−𝑥
0
𝑑𝑥
=
∫︁ 1
0
𝑥4 +
𝑥6
3
𝑑𝑥 +
∫︁ 2
1
1
3
+ 𝑥2 𝑑𝑥 +
∫︁ 3
2
9− 9𝑥 + 6𝑥2 − 4𝑥
3
3
𝑑𝑥 =
1207
210
Considerando a ordem “𝑑𝑥 𝑑𝑦” ou Tipo II: Neste caso temos uma única região de integração.
(Ver Figura 4.9)
Figura 4.9: Região 𝑅
44
A integral fica ∫︁ ∫︁
R
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 =
∫︁ 1
0
[︃∫︁ 3−𝑦
√
𝑦
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥
]︃
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
[︂
𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
]︂3−𝑦
√
𝑦
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
9− 9𝑦 − 𝑦
3/2
3
− 𝑦5/2 − 4𝑦
3
3
𝑑𝑦
=
1207
210
4.1.5 Área e Volumen
Vejamos algumas interpretações da integral dupla:
1. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, então a área de 𝐷 (𝐴(𝐷)) é:
𝐴(𝐷) =
∫︁ ∫︁
D
1 𝑑𝑥 𝑑𝑦
2. Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 é contínua em uma região fechada 𝐷. Seja 𝑣𝑜𝑙(𝑄) o volume do sólido
𝑄 que tem a 𝐷 como base e altura 𝑓(𝑥, 𝑦) em cada ponto (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, então
𝑣𝑜𝑙(𝑄) =
∫︁ ∫︁
D
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
3. Se o sólido 𝑄 está limitado sobre a região fechada 𝐷 pelas superfícies de equações
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) com 𝑓 e 𝑔 contínuas e 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦) ≥ 0 sobre 𝐷 (Ver
Figura 4.10), então
𝑣𝑜𝑙(𝑄) =
∫︁ ∫︁
D
[𝑓(𝑥, 𝑦)− 𝑔(𝑥, 𝑦)] 𝑑𝐴
Figura 4.10
45
4.2 Integrais Triplas
4.2.1 Integrais Triplas sobre um Paralelepípedo Retangular
Seja 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) uma função definida em um paralelepípedo (caixa) retangular
𝑅 = [𝑎, 𝑏]× [𝑐, 𝑑]× [𝑝, 𝑞] = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑝 ≤ 𝑧 ≤ 𝑞}
Se 𝑃1 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 . . . , 𝑥𝑛}, 𝑃2 = {𝑦0, 𝑦1, 𝑦2 . . . , 𝑦𝑛}, e 𝑃3 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2 . . . , 𝑧𝑛} são
partições regulares de [𝑎, 𝑏], [𝑐, 𝑑] e [𝑝, 𝑞] respectivamente, isto é
𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ · · · ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏 com △𝑥 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = 𝑏− 𝑎
𝑛
,
𝑐 = 𝑦0 ≤ 𝑦1 ≤ · · · ≤ 𝑦𝑛 = 𝑑 com △𝑦 = 𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗 = 𝑑− 𝑐
𝑛
e
𝑝 = 𝑧0 ≤ 𝑧1 ≤ · · · ≤ 𝑧𝑛 = 𝑞 com △𝑧 = 𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘 = 𝑞 − 𝑝
𝑛
O produto cartesiano 𝑃1 × 𝑃2 × 𝑃3 é dita uma partição regular de ordem 𝑛 da caixa
𝑅 = [𝑎, 𝑏]× [𝑐, 𝑑]× [𝑝, 𝑞]. Esta partição subdivide 𝑅 em 𝑛3 caixas denotadas por 𝑅𝑖𝑗𝑘.
Definição 4.4. Se lim
𝑛−→∞
𝑛−1∑︀
𝑖,𝑗,𝑘=0
𝑓(�˜�𝑖, �˜�, �˜�) △𝑥𝑖 △𝑦𝑗 △𝑧𝑘 = lim
𝑛−→∞
𝑛−1∑︀
𝑖,𝑗,𝑘=0
𝑓(�˜�𝑖, �˜�, �˜�) 𝑑𝑉 é um
número real que não depende da escolha de (�˜�𝑖, �˜�, �˜�) em 𝑅𝑖𝑗𝑘, chamamos este limite de
integral tripla de 𝑓 sobre 𝑅, e o denotamos por:∫︁ ∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 ou
∫︁ ∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 (4.11)
Teorema 4.3. (Teorema de Fubini). Se a função 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) é contínua na caixa retan-
gular 𝑅 = [𝑎, 𝑏]× [𝑐, 𝑑]× [𝑝, 𝑞] então a integral tripla de 𝑓 sobre 𝑅 pode ser obtida através de
46
integrais iteradas, ou seja∫︁ ∫︁ ∫︁
R
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 =
∫︁ 𝑏
𝑎
∫︁ 𝑑
𝑐
∫︁ 𝑞
𝑝
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
∫︁ 𝑑
𝑐
∫︁ 𝑏
𝑎
∫︁ 𝑞
𝑝
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
=
...
=
∫︁ 𝑞
𝑝
∫︁ 𝑏
𝑎
∫︁ 𝑑
𝑐
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧. (4.12)
Este Teorema indica como calcular uma integral tripla por meio de três integrações sim-
ples sucessivas (ou iteradas) que podem ser calculadas aplicando-se o Teorema Fundamental
do Cálculo.
Exemplo 4.6. Calcule
∫︁ ∫︁ ∫︁
R
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 em 𝑅 = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1].
Sol. Usando o Teorema de Fubini temos na caixa retangular 𝑅 = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1] que:
Figura 4.11: Domínio de 𝑓
∫︁ ∫︁ ∫︁
R
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ 1
0
(︂∫︁ 3
0
[︂
𝑥2
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
]︂2
0
𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑧
=
∫︁ 1
0
(︂∫︁ 3
0
(︂
2 + 2𝑦 + 2𝑧
)︂
𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑧
=
∫︁ 1
0
[︂
2𝑦 + 𝑦2 + 2𝑧𝑦
]︂3
0
𝑑𝑧
=
∫︁ 1
0
(︂
(6 + 9 + 6𝑧)− 0
)︂
𝑑𝑧
=
∫︁ 1
0
(15 + 6𝑧) 𝑑𝑧 =
[︂
15𝑧 + 3𝑧2
]︂1
0
= 18 (4.13)
47
4.2.2 Integração Triplas sobre Regiões mais Gerais
Definição 4.5. Uma região (sólido) 𝑊 do espaço 𝑥𝑦𝑧 é chamada região de tipo I ou 𝑧
simples se é descrita do seguinte modo
Figura 4.12: Região de Tipo I
𝑊 =
{︀
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 e 𝑓1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑓2(𝑥, 𝑦)
}︀
, (4.14)
onde 𝐷 é uma região limitada e fechada, projeção de 𝑊 no plano 𝑥𝑦, e 𝑓1 e 𝑓2 são funções
contínuas em 𝐷, com 𝑓1 ≤ 𝑓2. Neste caso,∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁
D
(︂∫︁ 𝑓2(𝑥,𝑦)
𝑓1(𝑥,𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧
)︂
𝑑𝑥 𝑑𝑦
Definição 4.6. Uma região (sólido) 𝑊 do espaço 𝑥𝑦𝑧 é chamada região de tipo II ou 𝑦
simples se é descrita do seguinte modo
𝑊 =
{︀
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 / (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷 e 𝑔1(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥, 𝑧)
}︀
, (4.15)
onde 𝐷 é uma região limitada e fechada, projeção de 𝑊 no plano 𝑥𝑧, e 𝑔1 e 𝑔2 são funções
contínuas em 𝐷, com 𝑔1 ≤ 𝑔2. Neste caso,∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁
D
(︂∫︁ 𝑔2(𝑥,𝑧)
𝑔1(𝑥,𝑧)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦
)︂
𝑑𝑥 𝑑𝑧
Definição 4.7. Uma região (sólido) 𝑊 do espaço 𝑥𝑦𝑧 é chamada região de tipo III ou 𝑥
simples se é descrita do seguinte modo
48
𝑊 =
{︀
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 / (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷 e ℎ1(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦, 𝑧)
}︀
, (4.16)
onde 𝐷 é uma região limitada e fechada, projeção de 𝑊 no plano 𝑦𝑧, e ℎ1 e ℎ2 são funções
contínuas em 𝐷, com ℎ1 ≤ ℎ2. Neste caso,∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁
D
(︂∫︁ ℎ2(𝑦,𝑧)
ℎ1(𝑦,𝑧)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥
)︂
𝑑𝑦 𝑑𝑧
Figura 4.13: Região de Tipo II Figura 4.14: Região de Tipo III
Observação 4.1. Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 para todo (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑊 , então o volume de 𝑊 é a integral
𝑣𝑜𝑙(𝑊 ) =
∫︁ ∫︁ ∫︁
W
1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Exemplo 4.7. Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies cujas equações são
𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1 e 𝑧 = 1 + 𝑥 + 𝑦.
Sol. Consideremos a região Tipo I:
𝑊 =
{︀
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 + 𝑥 + 𝑦}︀ .
Então,
𝑉 (𝑊 ) =
∫︁ 1
0
∫︁ 1
0
∫︁ 1+𝑥+𝑦
0
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
∫︁ 1
0
[︂
𝑧
]︂1+𝑥+𝑦
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
∫︁ 1
0
(1 + 𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥
=
∫︁ 1
0
[︂
𝑥 +
𝑥2
2
+ 𝑥𝑦
]︂1
0
𝑑𝑦
=
∫︁ 1
0
(︂
3
2
+ 𝑦
)︂
𝑑𝑦 =
[︂
3
2
𝑦 +
𝑦2
2
]︂1
0
= 2.
49
Exemplo 4.8. Calcule a integral
∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧, onde 𝑊 é uma região do primeiro octante
limitada pelos planos 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2, 2𝑦 + 𝑥 = 6 e 𝑦2 + 𝑧2 = 4.
Sol. Considerando W como região Tipo I:
Figura 4.15: Sólido 𝑊 com projeção no plano 𝑥𝑦 a região 𝐷
50
∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁
D
∫︁ √4−𝑦2
0
𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ ∫︁
D
[︂
𝑧2
2
]︂√4−𝑦2
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦
=
∫︁ 2
0
∫︁ 6−2𝑦
2−𝑦
(︂
4− 𝑦2
2
)︂
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
1
2
∫︁ 2
0
[︂
4𝑥− 𝑦2𝑥
]︂6−2𝑦
2−𝑦
𝑑𝑦
=
1
2
∫︁ 2
0
[︂
(24− 8𝑦 − 6𝑦2 + 2𝑦3)− (8− 4𝑦 − 2𝑦2 + 𝑦3)
]︂
𝑑𝑦
=
1
2
∫︁ 2
0
(16− 4𝑦 − 4𝑦2 + 𝑦3) 𝑑𝑦
=
1
2
[︂
16𝑦 − 2𝑦2 − 4 𝑦
3
3
+
𝑦4
4
]︂2
0
=
1
2
(︂
32− 8− 32
3
+ 4
)︂
=
26
3
. (4.17)
Exemplo 4.9. Calcule o volume do sólido 𝑊 limitado pelas superfícies de equações 𝑦 =
0, 𝑦 = 4, 𝑦 + 𝑧 = 4 e 𝑥2 + 𝑧 = 9.
Sol. Considerando o sólido como região tipo I:Figura 4.16: Sólido 𝑊
51
𝑣𝑜𝑙(𝑊 ) =
∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
=
∫︁ 4
0
∫︁ √𝑦+5
−√𝑦+5
∫︁ 9−𝑥2
4−𝑦
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
=
∫︁ 4
0
∫︁ √𝑦+5
−√𝑦+5
(9− 𝑥2 − 4 + 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
=
∫︁ 4
0
[︂
9𝑥− 𝑥
3
3
− 4𝑥 + 𝑦𝑥
]︂√𝑦+5
−√𝑦+5
𝑑𝑦
=
∫︁ 4
0
(︂
10(𝑦 + 5)1/2 − 2
3
(𝑦 + 5)3/2 + 2𝑦(𝑦 + 5)1/2
)︂
𝑑𝑦
=
[︂
20
3
(𝑦 + 5)3/2 − 4
15
(𝑦 + 5)5/2
]︂4
0
+
∫︁ 4
0
2𝑦(𝑦 + 5)1/2 𝑑𝑦
=
20
3
(93/2 − 53/2)− 4
15
(95/2 − 55/2) +
∫︁ 9
5
2(𝑤 − 5)𝑤1/2 𝑑𝑤
= 180− 100
3
51/2 − 324
5
+
20
3
51/2 + 2
∫︁ 9
5
(𝑤3/2 − 5𝑤1/2) 𝑑𝑤
=
576
5
− 80
3
√
5 + 2
[︂
2
5
𝑤5/2 − 10
3
𝑤3/2
]︂9
5
=
576
5
− 80
3
√
5 +
4
5
(95/2 − 55/2)− 20
3
(93/2 − 53/2)
=
576
5
− 80
3
√
5 +
72
5
+
40
3
√
5 =
648
5
− 40
3
√
5
= 8
(︂
81
5
− 5
3
√
5
)︂
=
8
15
(243− 25
√
5). (4.18)
4.3 Exercícios
1. Determine as regiões de integração e calcule as integrais iteradas dos seguintes proble-
mas
𝑎)
∫︀ 2
−1
∫︀ 3
1
3𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑏)
∫︀ 3
0
∫︀ 3
0
𝑥𝑦 + 7𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑐)
∫︀ 2
0
∫︀ 4
2
𝑥2𝑦2 − 17 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑)
∫︀ 3
1
∫︀ 1
−3 𝑥
3𝑦 − 𝑥𝑦3 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑒)
∫︀ 𝜋/2
0
∫︀ 𝜋/2
0
sen𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑓)
∫︀ 𝜋/2
0
∫︀ 𝜋/2
0
cos𝑥 sen 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑔)
∫︀ 1
0
∫︀ 𝜋
0
𝑒𝑥 sen 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
ℎ)
∫︀ 𝜋/2
0
∫︀ 𝜋/2
0
(𝑦 − 1) cos𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑖)
∫︀ 𝜋/2
0
∫︀ 𝑒
1
sen 𝑦
𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦
2. Calcular o valor das integrais duplas das seguintes funções nas regiões indicadas
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦; R = [0, 1]× [1, 2]
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦; R = [0, ln 2]× [0, ln 3]
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 3𝑦2; R = [−1, 1]× [−2, 2]
3. Calcule as integrais, para as regiões dadas
52
𝑎)
∫︀∫︀
D
𝑦2 sen(𝑥2); D limitada por 𝑦 = 𝑥1/3; 𝑦 = −𝑥1/3 e 𝑥 = 8.
𝑏)
∫︀∫︀
D
cos(𝑦3) 𝑑𝑥 𝑑𝑦; D limitada por 𝑦 = 𝑥1/2; 𝑦 = 2 e 𝑥 = 0.
𝑐)
∫︀∫︀
D
(𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦; D limitada por 𝑦 = 𝑥−2; 𝑦 = 1 e 𝑦 = 4.
𝑑)
∫︀∫︀
D
𝑦−2𝑒𝑥/
√
𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦; D é o quadrado [0, 1]× [1, 2]
4. As integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções ele-
mentares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os
cálculos.
𝑎)
∫︀ 1
0
∫︀ 1
𝑦
𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑏)
∫︀ 1
0
∫︀ 1
𝑥
sen 𝑦
𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
5. Calcule a área da região limitada pelas curvas
𝑎) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑏) 𝑦 = 6𝑥− 𝑥2, 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑐) 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑑) 𝑦 = 2𝑥2 − 3, 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑒) 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑓) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥𝑦 = 2
6. Calcular o valor da integral tripla das seguintes funções
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 sen 𝑧, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝜋
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧, −1 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, −2 ≤ 𝑧 ≤ 6
7. Determine o volume do sólido abaixo da superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e acima da região 𝐷 do
plano 𝑥𝑦 delimitada pelas curvas dadas
𝑎) 𝑧 = 1 + 𝑥 + 𝑦, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1.
𝑏) 𝑧 = 2𝑥 + 3𝑦, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 𝑦 = 0, 𝑦 = 2.
𝑐) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 2.
8. Calcular
𝑎)
∫︀∫︀∫︀
W
𝑦 cos(𝑥 + 𝑧), onde 𝑊 é a região limitada pelas superfícies 𝑥 = 𝑦2, 𝑧 = 0,
𝑥 + 𝑧 = 𝜋/2.
𝑏)
∫︀∫︀∫︀
W
𝑧, onde 𝑊 é a região no primeiro octante limitada pelos planos 𝑦 = 0,
𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2, 2𝑦 + 𝑥 = 6 e o cilindro 𝑦2 + 𝑧2 = 4.
9. Esboce o solido delimitado pelos gráficos das equações dadas. Ache então seu volume
por integração tripla.
𝑎) 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0
𝑏) 𝑧 = 𝑦, 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 4, 𝑧 = 0
53
Capítulo 5
Transformação ou Mudança de
Coordenadas
Definição 5.1. Seja 𝑄 ⊂ R𝑛 um aberto. Diz-se que uma função ou transformação 𝑇 : 𝑄→
R𝑛 é uma Mudança de Coordenadas em 𝑄, se verificar as seguintes condições:
i) T é de classe 𝐶1.
ii) T é injetiva.
iii) 𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (�¯�) ̸= 0; ∀ �¯� ∈ 𝑄, onde 𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (�¯�) ̸= 0 é o determinante da Matriz Jacobiana
de 𝑇 .
5.1 Mudança de Variáveis na Integral Dupla
Motivação: Na integração de funções de uma variável, usamos o método de substituição
para simplificar a integral
∫︀ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. Este método é baseado na fórmula∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
∫︁ 𝑑
𝑐
𝑓(𝑇 (𝑢))𝑇 ′(𝑢) 𝑑𝑢, (5.1)
onde 𝑥 = 𝑇 (𝑢) e 𝑑𝑥 = 𝑇 ′(𝑢) 𝑑𝑢.
Exemplo 5.1. Em (5.1) para 𝑓(𝑥) =
1√
1− 𝑥2 , temos:∫︁ 1
0
𝑑𝑥√
1− 𝑥2 =
∫︁ 𝜋/2
0
cos𝑢 𝑑𝑢√
1− sen2 𝑢 =
∫︁ 𝜋/2
0
𝑑𝑢 =
𝜋
2
;
sempre que 𝑇 : [0, 𝜋/2] −→ [0, 1], com
𝑇 (𝑢) = sen𝑢 = 𝑥, 𝑇 ′(𝑢) = cos𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥.
54
Figura 5.1: Mudança de variável em R
Para funções de duas variáveis uma mudança de variáveis fica determinada por uma
transformação 𝑇 do plano 𝑢𝑣 para o plano 𝑥𝑦. Suponha-se que se queira calcular a integral
dupla ∫︁ ∫︁
D
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Definimos uma transformação 𝑇 de uma região 𝑄 do plano 𝑢𝑣 tal que 𝑇 (𝑄) = 𝐷, isto é:
𝑇 : 𝑄 −→ 𝐷, 𝑇 (𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)).
A condição de 𝑇 é a mesma da Definição 5.1
Figura 5.2: Transformação de uma região no plano
Teorema 5.1. (Mudança de Variáveis) Seja 𝑇 (𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) uma transformação,
onde 𝑥 e 𝑦 são funções de classe 𝐶1 num subconjunto 𝑄 de R2 tal que
1. 𝑇 é injetora em 𝑄.
2. O determinante do jacobiano da transformação 𝑇 é diferente de zero, i.e:
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝜕𝑥𝜕𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ ̸= 0 em 𝑄.
55
Se 𝑓 é integrável em 𝑇 (𝑄), então:∫︁ ∫︁
T(Q)=D
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ ∫︁
Q
𝑓(𝑇 (𝑢, 𝑣)) |𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣)| 𝑑𝑢 𝑑𝑣
=
∫︁ ∫︁
Q
𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) |𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣)| 𝑑𝑢 𝑑𝑣. (5.2)
Exemplo 5.2. Calcule
∫︁ ∫︁
D
𝑒
𝑦−𝑥
𝑦+𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 onde 𝐷 é a região triangular limitada pela reta 𝑦+𝑥 =
2 e os eixos coordenados.
Sol. Observamos que a dificuldade da integral esta na função de integração. Fazemos:⎧⎨⎩ 𝑢 = 𝑦 − 𝑥,𝑣 = 𝑦 + 𝑥, =⇒ 𝑥 = 𝑣 − 𝑢2 e 𝑦 = 𝑢 + 𝑣2 .
Deste modo, definimos a transformação 𝑇
𝑇 (𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) =
(︂
𝑣 − 𝑢
2
,
𝑢 + 𝑣
2
)︂
𝑇−1(𝑥, 𝑦) = (𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) = (𝑦 − 𝑥, 𝑦 + 𝑥).
Por outro lado, sabemos por propriedade de determinantes que
Figura 5.3: Mudando o domínio de integração.
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣) =
1
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇−1(𝑥, 𝑦)
.
Logo,
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇−1(𝑥, 𝑦) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝜕𝑢𝜕𝑥 𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒−1 1
1 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ = −2 ̸= 0
56
e
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝜕𝑥𝜕𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒−12 121
2
1
2
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ = −12 ̸= 0.
Consequentemente, para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑦−𝑥
𝑦+𝑥 temos de (5.2) que:∫︁ ∫︁
D
𝑒
𝑦−𝑥
𝑦+𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
1
2
∫︁ ∫︁
Q
𝑒
𝑢
𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣 =
1
2
∫︁ 2
0
∫︁ 𝑣
−𝑣
𝑒
𝑢
𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣
=
1
2
∫︁ 2
0
𝑣(𝑒− 𝑒−1) 𝑑𝑣 = 𝑒− 𝑒−1.
Exemplo 5.3. Calcule
∫︁ ∫︁
D
(𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 onde 𝐷 é a região no primeiro quadrante limitada
pelas curvas (hipérboles) 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 3, 𝑥2 − 𝑦2 = 1, 𝑥2 − 𝑦2 = 4.
Sol. Observamos que a dificuldade da integral esta no domínio 𝐷 de integração. Fazemos:⎧⎨⎩ 𝑢 = 𝑥𝑦,𝑣 = 𝑥2 − 𝑦2, =⇒ (𝑥2 + 𝑦2)2 = 4𝑢2 + 𝑣2 =⇒ 𝑥2 + 𝑦2 =
√
4𝑢2 + 𝑣2.
Figura 5.4: Mudando o domínio de integração
É claro que 𝑇−1(𝑥, 𝑦) = (𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) = (𝑥𝑦, 𝑥2 − 𝑦2) e
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇−1(𝑥, 𝑦) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝜕𝑢𝜕𝑥 𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒−𝑦 𝑥
2𝑥 −2𝑦
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ = −2(𝑥2 + 𝑦2) ̸= 0
57
Logo, por propriedade de determinantes
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣)=
1
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇−1(𝑥, 𝑦)
= − 1
2(𝑥2 + 𝑦2)
= − 1
2(4𝑢2 + 𝑣2)
̸= 0.
Consequentemente, para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 temos de (5.2) que:∫︁ ∫︁
D
(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ 3
1
∫︁ 4
1
√
4𝑢2 + 𝑣2
1
2
√
4𝑢2 + 𝑣2
𝑑𝑣 𝑑𝑢 =
∫︁ 3
1
∫︁ 4
1
1
2
𝑑𝑣 𝑑𝑢
= 3.
5.1.1 Mudança em Coordenadas Polares
Seja a transformação 𝑇 : (0,∞)× [𝜃0, 𝜃0 + 2𝜋] −→ R2, dada por
𝑇 (𝑟, 𝜃) = (𝑥(𝑟, 𝜃), 𝑦(𝑟, 𝜃))
onde 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃.
Figura 5.5: Transformação Polar
𝑇 assim definida é injetora e
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝜕𝑥𝜕𝑟 𝜕𝑥𝜕𝜃𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕𝜃
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒cos 𝜃 −𝑟 sen 𝜃
sen 𝜃 𝑟 cos 𝜃
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ = 𝑟(cos2 𝜃 + sen2𝜃) = 𝑟 ̸= 0. (5.3)
Então, de (5.2) e (5.3)∫︁ ∫︁
T(Q)=D
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ ∫︁
Q
𝑓
(︀
𝑥(𝑟, 𝜃), 𝑦(𝑟, 𝜃)
)︀
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
=
∫︁ ∫︁
Q
𝑓
(︀
𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃
)︀
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃. (5.4)
58
Figura 5.6: Transformação Polar
Exemplo 5.4. A transformação 𝑇 (𝑟, 𝜃) = (𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃), aplica o conjunto
𝑄 =
{︂
0 ≤ 𝑟 ≤ 4
cos 𝜃
e 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
4
}︂
no conjunto 𝐷 = 𝑇 (𝑄) como se vê na Figura 5.6.
Exemplo 5.5. Calcule
∫︁ ∫︁
D
ln(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 onde 𝐷 é a região no primeiro quadrante
limitada pelas circunferências 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
Sol. Usando a mudança polar 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 temos que
𝑄 = {(𝑟, 𝜃) ∈ R2/ 1 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
2
} e 𝐷 = 𝑇 (𝑄)
Figura 5.7: Mudando o domínio usando coordenadas polares
59
Logo, de (5.4), temos:∫︁ ∫︁
D
ln(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ ∫︁
Q
ln(𝑟2) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
∫︁ 2
1
∫︁ 𝜋/2
0
ln(𝑟2) 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟
=
𝜋
2
∫︁ 2
1
ln(𝑟2) 𝑟 𝑑𝑟 = 𝜋
∫︁ 2
1
𝑟 ln(𝑟) 𝑑𝑟
= 𝜋
(︂
𝑟2
2
ln 𝑟
⃒⃒⃒⃒2
1
−
∫︁ 2
1
𝑟
2
𝑑𝑟
)︂
integração por partes
= 𝜋
(︂
2 ln 2− 3
4
)︂
=
𝜋
4
(8 ln 2− 3).
Exemplo 5.6. Calcule o volume do sólido 𝑊 acima do plano 𝑥𝑦 limitado pelo paraboloide
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦. (Ver Figura 5.8)
Sol. Completando quadrados na equação do cilindro 𝑥2+𝑦2−2𝑦 = 0 obtém-se 𝑥2+(𝑦−1)2 =
1. Portanto, se (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑊 , então
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥2 + 𝑦2, sempre que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2/ 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 1}.
Figura 5.8: Sólido 𝑊
Usando a mudança polar temos que a fronteira de 𝐷 cuja equação é 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 é
a imagem da curva 𝑟 = 2 sen 𝜃 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. (Ver Figura 5.9)
60
Figura 5.9
Logo, de (5.4) temos que o volume de 𝑊 é
𝑣𝑜𝑙 (𝑊 ) =
∫︁ ∫︁
D
(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
∫︁ ∫︁
Q
𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃,
onde 𝑄 = {(𝑟, 𝜃) ∈ R2/ 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 sen 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋}. Assim,
𝑣𝑜𝑙 (𝑊 ) =
∫︁ 𝜋
0
∫︁ 2 sen 𝜃
0
𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
∫︁ 𝜋
0
𝑟4
4
⃒⃒⃒⃒2 sen 𝜃
0
𝑑𝜃 =
∫︁ 𝜋
0
4 sen4𝜃 𝑑𝜃 =
3𝜋
2
.
Observação 5.1. Para integrar
∫︁
sen4𝜃 𝑑𝜃 usamos o fato que
sen4𝜃 = sen2𝜃 sen2𝜃 =
(1− cos 2𝜃)
2
(1− cos 2𝜃)
2
=
1
4
(1− 2 cos 2𝜃 + cos2 2𝜃)
=
1
4
(︂
1− 2 cos 2𝜃 + 1 + cos 4𝜃
2
)︂
=
1
8
(︂
2− 4 cos 2𝜃 + 1 + cos 4𝜃
)︂
=
1
8
(︂
3− 4 cos 2𝜃 + cos 4𝜃
)︂
5.2 Mudança de Variáveis na Integral Tripla
A mudança de variáveis na integral dupla pode ser estendida a integrais triplas.
Seja a transformação 𝑇 : R3 −→ R3 definida por
𝑇 (𝑢, 𝑣, 𝑠) = (𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑠), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑠), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑠)).
onde 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑠), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑠) e 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑠) são funções com derivadas parciais
contínuas num subconjunto aberto 𝑈 ⊂ R3.
61
Então, o determinante do jacobiano da transformação 𝑇 é
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑠
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ .
Se 𝑇 é uma transformação injetiva num subconjunto fechado 𝑄 ⊂ 𝑈 e det 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣, 𝑠) ̸= 0,
em 𝑄, então:∫︁ ∫︁ ∫︁
T(Q)=W
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁ ∫︁
Q
𝑓(𝑇 (𝑢, 𝑣, 𝑠)) |𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣, 𝑠)| 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑠
=
∫︁ ∫︁ ∫︁
Q
𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑠), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑠), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑠)) |𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑢, 𝑣, 𝑠)| 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑠. (5.5)
5.3 Mudança de Coordenadas Cilíndricas
As coordenadas cilíndricas de um ponto 𝑃 no espaço R3 é uma extensão natural das coor-
denadas polares. Podem-se usar as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) para descrever a projeção do
ponto 𝑃 no plano 𝑥𝑦, e a mesma coordenada 𝑧 do sistema retangular.
Assim, 𝑇 : 𝑊 ⊂ R3 → R3 é uma mudança de coordenadas definida por:
𝑇 (𝑟, 𝜃, 𝑧) = (𝑟 cos 𝜃; 𝑟 sen 𝜃, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
onde 𝑊 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧)/ 𝑟 > 0, 0 < 𝜃 < 2𝜋, 𝑧 ∈ R}. A relação entre as coordenadas
Figura 5.10: Representação de um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) em coordenadas cilíndricas
62
retangulares (𝑥, 𝑦, 𝑧) do ponto 𝑃 e suas coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧) é⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sen 𝜃
𝑧 = 𝑧
=⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
𝑧 = 𝑧
Por meio destas equações é possível transformar coordenadas retangulares em coordenadas
cilíndricas e vice-versa.
O determinante do Jacobiano de 𝑇 é
𝑑𝑒𝑡 𝐽𝑇 (𝑟, 𝜃, 𝑧) =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
cos 𝜃 −𝑟 sen 𝜃 0
sen 𝜃 𝑟 cos 𝜃 0
0 0 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ = 𝑟 (cos
2 𝜃 + sen2𝜃) = 𝑟 (5.6)
Portanto, de (5.5) e (5.6) temos a mudança de variáveis em coordenadas cilíndricas:∫︁ ∫︁ ∫︁
T(Q)=W
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁ ∫︁
Q
𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃, 𝑧) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 (5.7)
Observação 5.2. O nome de coordenadas cilíndricas decorre do fato de que a superfície no
espaço 𝑥𝑦𝑧 imagem de 𝑟 = 𝑎 é um cilindro de raio 𝑎 simétrico ao eixo 𝑧 (Ver Figura 5.11).
Figura 5.11: Mudança em coordenadas cilíndricas
Exemplo 5.7. A esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 em coordenadas cilíndricas tem equação
𝑟2 + 𝑧2 = 𝑎2. (Ver Figura 5.12)
Exemplo 5.8. Esboce a região delimitada pelas equações cilíndricas 𝑧 = 𝑟2 e 𝑧 = 8− 𝑟2 e
suas equivalentes em coordenadas cartesianas.
Como 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2, as equações cartesianas representam os paraboloides: (Ver Figura
5.13)
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e 𝑧 = 8− 𝑥2 − 𝑦2.
63
Figura 5.12: Mudança em coordenadas cilíndricas
Figura 5.13: Região em coordenadas cilíndricas e cartesianas
Exemplo 5.9. O cone 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 em coordenadas cilíndricas tem equação
𝑧 = ± 𝑟.
Exemplo 5.10. Calcule
∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, onde 𝑊 é o sólido limitado pelas superfícies 𝑧 =√︀
8− 𝑥2 − 𝑦2 e 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑧.
Sol. Se (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑊 então
𝑥2 + 𝑦2
2
≤ 𝑧 ≤
√︀
8− 𝑥2 − 𝑦2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
onde 𝐷 é a projeção de 𝑊 no plano 𝑥𝑦. De fato, a interseção das superfícies é a curva cuja
equação obtém-se fazendo
𝑧 =
√
8− 2𝑧 =⇒ 𝑧2 = 8− 2𝑧 =⇒ (𝑧 + 1)2 = 9 =⇒
⎧⎨⎩ 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2 = 4.
Portanto, fazendo a projeção desta curva sobre o plano 𝑥𝑦 obtemos o conjunto 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈
R2/𝑥2 + 𝑦2 = 4}.
64
Usando mudança de variáveis cilíndricas observamos que 𝑊 é a imagem do conjunto 𝑄,
onde
𝑄 =
{︂
(𝑟, 𝜃, 𝑧) / 0 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 𝑟
2
2
≤ 𝑧 ≤
√
8− 𝑟2
}︂
.(Ver Figura 5.14)
Logo,
Figura 5.14: 𝑇 (𝑟, 𝜃, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
∫︁ ∫︁ ∫︁
W
𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∫︁ ∫︁ ∫︁
Q
𝑟𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 =
∫︁ 2
0
∫︁ 2𝜋
0
∫︁ √8−𝑟2
𝑟2/2
𝑟𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟
∫︁ 2
0
∫︁ 2𝜋
0
𝑟
𝑧2
2
⃒⃒⃒⃒√8−𝑟2
𝑟2/2
𝑑𝜃 𝑑𝑟 =
∫︁ 2
0
∫︁ 2𝜋
0
𝑟
2
(︂
8− 𝑟2 − 𝑟
4
4
)︂
𝑑𝜃 𝑑𝑟
= 𝜋
(︂
4𝑟2 − 𝑟
4
4
− 𝑟
6
24
)︂⃒⃒⃒⃒2
0
=
28𝜋
3
(5.8)
5.4 Mudança de Coordenadas Esféricas
Se 𝑃 ∈ R3, então ele admite uma representação em coordenadas esféricas 𝑃 = (𝜌, 𝜑, 𝜃), onde⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝜌 = |𝑂𝑃 |, distância da origem 𝑂 até o ponto 𝑃
𝜑, Ângulo entre o segmento 𝑂𝑃 e o eixo 𝑧 positivo, 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋
𝜃,