Norma6118-2003
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2C

Para um pilar circular:

onde:

r calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico, através da expressão:

( )2p 4dDW +=

D é o diâmetro do pilar.

Wp pode se

∫= u
0

p ld eW

omento fletor

onde:

dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;

e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o m
MSd.

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19.5.2.3 Pilares de borda

a) quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:

d W
M KF 11 SdSd

Sd +=τ d*u

MSd1 = (MSd - MSd*) ≥ 0
onde

FSd é a reação de apoio;

u* é o perímetro crítico reduzido;

MSd é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao
centro do pilar;

WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o perímetro u.

O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na tabela 19.2, com C C2 de acordo com a
figura 19.3.

1p

onde:

:

1 e

Figura 19.3 - Perímetro crítico em pilares de borda

lano paralelo à borda livre: b) quando agir momento no p

d W
M K

d W
M K

d*u
F

2

22

1

11

p

Sd

p

SdSd
Sd ++=τ

onde:

MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre;

WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo perímetro u.

O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos para K na tabela 19.2, substituindo-se C1/C2 por C2/2C1
(sendo C1 e C2 estabelecidos na figura 19.3).

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e momento no plano paralelo à borda.

Com nto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada
uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada.

Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, respectivamente, os lados
do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, conforme tabela 19.2 (ver figura 19.4).

19.5.2.4 Pilares de canto

Aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não ag

o o pilar de ca

Figura 19.4 - Perímetro crítico em pilares de canto

19.5.2.5 Capitel

Quando existir capitel, devem ser feitas duas verificações nos contornos críticos C1’ e C2’, como indica a
figura 19.5.

onde:
d é a altura útil da laje no contorno C2’;
dc é a altura útil da laje na face do pilar;
da é a altura útil da laje no contorno C1’;

é a distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Quando:

≤ 2(dc – d) ⇒ basta verificar o contorno C2’;
2(dc – d) < 2dc ⇒ basta verificar o contorno C1’;

> 2dc ⇒ é necessário verificar os contornos C1’ e C2’.

Figura 19.5 - Definição da altura útil no caso de capitel

cl

cl

cl ≤
cl

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19.5.2.6 Casos especiais de definição do contorno crítico

âncias, o contorno crítico C ’ deve ser paralelo ao polígono circunscrito ao Se o contorno C apresentar reentr
contorno C (ver figura 19.6).

Figura 19.6 - Perímetro crítico no caso de o contorno C apresentar reentrância

ho do
r s que passam pelo centro de gravidade da área de aplicação da força e

ra (ver figura 19.7).

Se na laje existir abertura situada a menos de 8d do contorno C, não deve ser considerado o trec
conto no crítico C ’ entre as duas reta
que tangenciam o contorno da abertu

Figura 19.7 - Perímetro crítico junto à abertura na laje

19.5.2.7 Interação de solicitações normais e tangenciais

Não se exige a verificação da influência das solicitações normais, decorrentes de flexão simples ou composta
da laje, na resistência à punção.

19.5.3 Definição da tensão resistente nas superfícies críticas C, C ’ e C”

19.5.3.1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica C

Essa verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas a punção, com ou sem armadura.

τSd ≤ τRd2 = 0,27αv fcd
onde:

αν = (1 - fck/250), com fck em m
u0 (perímetro do contorno C) em lugar de u.

O valor de τ pode ser ampliado de 20% por efeito de estado multiplo de tensões junto a um pilar interno,
esse pilar não diferem mais de 50% e não existem aberturas junto ao pilar.

egapascal;

τSd é calculado conforme 19.5.2.1, com

Rd2
quando os vãos que chegam a

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19.5.3.2 Tensão resistente na superfície crítica C em elementos estruturais ou trechos sem
armadura de punção

A tensão resistente na superfície crítica

’

C ’ deve ser calculada como segue:

( ) 3/1ck1RdSd 100)/201(13,0 f d ρ+=τ≤τ
onde:

yx ρρ=ρ

d = (dx + dy) / 2

onde:

d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C ’ da área de aplicação da força, em centímetros;

ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser desprezada);

⎯ té a borda quando menor que 3d.

C ’ em elementos estruturais ou trechos com

ρx e ρy são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas:
⎯ na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados;

 no caso de proximidade da borda prevalece a distância a
Essa verificação deve ser feita no contorno crítico C ’ ou em C1' e C2', no caso de existir capitel.

19.5.3.3 Tensão resistente na superfície crítica
armadura de punção

A tensão resistente na superfície crítica C ’ deve ser calculada como segue:

( )
du

f A
s
df d ww

α+ρ+=τ≤τ 10,03RdSd
sen

5,1100)/201( dys
r

3/1
ck

sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior do que 0,75d;

Asw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C ’ ;

u é o perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de borda ou canto.

dades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro do pilar. Cada uma dessas extremidades
deve estar ancorada fora do plano da armadura de flexão correspondente.

onde:

sr ≤ 0,75d
onde:

α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;

fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para conectores ou
250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura maior que 15 cm, esses
valores podem ser aumentados conforme estabelece 19.4.2.

Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de conectores tipo pino com
extremi

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ie crítica C”

 (ver figuras 19.8 e 19.9), não seja mais
necessária armadura, isto é, τsd ≤ τRd1 (19.5.3.2).

19.5.3.4 Definição da superfíc

Quando for necessário utilizar armadura transversal, ela deve ser estendida em contornos paralelos a C ’ até
que, num contorno C” afastado 2d do último contorno de armadura

Figura 19.8 - Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfície crítica C”

Figura 19.9 - Disposição da armadura de punção em corte

No caso de ser necessária a armadura de punção, três verificações devem ser feitas:

⎯ tensão resistente de compressão do concreto no contorno C, conforme 19.5.3.1;
⎯ tensão resistente à punção no contorno C ’ , considerando a armadura de punção, conforme 19.5.3.3;
⎯ tensão resistente à punção no contorno C ” , sem armadura de punção, conforme 19.5.3.2.

19.5.3.5 Armadura de punção obrigatória

No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista
armadura de punção, mesmo que τSd seja menor que τRd1. Essa armadura deve equilibrar um mínimo de 50%
de FSd.

19.5.4 Colapso progressivo

Para garantir a dutilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão
inferior que atravessa o contorno C deve estar suficientemente ancorada além do contorno C ’ , conforme
figura 19.10, e deve ser tal que:

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