Ondas Mecânicas

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Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
� Exemplos de ondas mecânicas.
� Descrição matemática.
� Função de onda.
� Equação de onda.
� Velocidade de ondas mecânicas.
� Ondas em uma corda esticada.
Ondas mecânicas
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Vibrações mecânicas:
Ondas mecânicas
Equação de onda:
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Vibrações elétricas / magnéticas:
Ondas eletromagnéticas
Equação de onda:
2 2
2 2 2
1 0x xE E
z c t
∂ ∂
− =
∂ ∂
2 2
2 2 2
1 0y y
B B
z c t
∂ ∂
− =
∂ ∂
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Ondas mecânicas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Ondas na superfície do mar: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave
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Ondas na superfície do mar: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Ondas na superfície do mar: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave
Transporte de matéria: deriva de Stokes.
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Ondas mecânicas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Ondas transversais:
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Ondas mecânicas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Ondas longitudinais:
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Ondas progressivas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Função de onda:
( , ) cos cos( )
v
xy x t A t A kx t  = ω − = − ω  
  
2k pi=
λ
vkω =
2 2 f
T
pi
ω = = piFrequência e período:
Comprimento e número de onda:
Relação de dispersão: vTλ =
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Ondas progressivas: 
Função de onda e velocidade de fase:
[ ]( , ) cos( ) cos ( )y x t A kx t A t= −ω = ϕ
( ) constante v dx
dt k
tϕ = ⇒ ω= =
Propagação no sentido +x.
[ ]( , ) cos( ) cos ( )y x t A kx t A t= + ω = ϕ
( ) constante v dx
dt
t
k
ϕ = ⇒ ω= = −
Propagação no sentido –x.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/waves/wavsol.html#c3
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Ondas progressivas: 
Função de onda:
( , ) cos( )y x t A kx t= −ω
Velocidade de vibração e aceleração:
v ( , ) sen( )y
y
x t A kx t
t
∂
= = ω − ω
∂
2
2
2( , ) cos( )y
y
a x t A kx t
t
∂
= = −ω −ω
∂
2( , ) ( , )ya x t y x t= −ω
2
2 2
2 cos( ) ( , )
y k A kx t k y x t
x
∂
= − − ω = −
∂
Equação de onda:
MHS
2 2
2 2 2
1 0
v
y y
x t
∂ ∂
− =
∂ ∂
vkω =
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Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
( , ) cos( )y x t A kx t= −ω
Ondas progressivas: 
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Velocidade de propagação de ondas mecânicas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Ondas em uma corda esticada:
1y
x
F y
F x
∂ 
= −  ∂ 
2 y
x x
F y
F x +∆
∂ 
=  ∂ 
1 2y y y
x x x
y yF F F F
x x+∆
 ∂ ∂   
= + = −    ∂ ∂    
20
2
x
x xx
y y
yx x
x x
+
∆ →
∆
∂ ∂   
−    ∂∂ ∂   
=
∆ ∂
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Velocidade de propagação de ondas mecânicas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Ondas em uma corda esticada:
2
2y y
yF m a x
t
∂
= ∆ = µ∆
∂
2 2
2 2
y y
x F t
∂ µ ∂
=
∂ ∂
2 2
2 2 2
1 0
v
y y
x t
∂ ∂
− =
∂ ∂
v
F
=
µ
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Velocidade de propagação de ondas mecânicas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
v
F
=
µ
Física B2 – 2012/02 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Energia no movimento ondulatório:
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Potência instantânea:
y
yF F
x
∂ 
= −  ∂ 
( , ) cos( )y x t A kx t= −ω
sen( )y A kx t
t
∂
= ω −ω
∂
sen( )y kA kx t
x
∂
= − − ω
∂
( , ) ( , )v ( , )y yP x t F x t x t=
( , ) y yP x t F
x t
∂ ∂   
= −    ∂ ∂   
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Energia no movimento ondulatório:
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Potência instantânea:
2 2( , ) sen ( )P x t Fk A kx t= ω −ω
2 2 2( , ) sen ( )P x t F A kx t= µ ω −ω
v
F
=
µ
Potência média:
0
1 ( , )
T
médP P x t dtT
= ∫
2 21
2méd
P F A= µ ω
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Energia no movimento ondulatório:
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Intensidade:
Fontes puntiformes (simetria esférica):
24
PI
r
=
pi
méd
transv
PI
A
=
Área transversal à 
direção de propagação
Potência média da onda
2
1 2
2
2 1
I r
I r
=
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Bibliografia:
� Física II – Termodinâmica e Ondas, H. D. Young & R. A. Freedman, 12a ed., 
Pearson, 2008.
� Curso de Física Básica. Vol. 2 – Fluidos, Oscilações, Ondas e Calor, 
Moysés Nussenzveig, Edgar Blücher, 1996.
� Física Conceitual, P. G. Hewitt, 11a ed., Bookman, 2011. 
� A Física e o nosso mundo, Hans Christian von Baeyer, Elsevier, 2004.
� W. H. Munk, “Origin and generation of waves”, Proceedings of the 
International Conference on Coastal Engineering, No. 1, pp. 1-4, 1950. 
Disponível em http://journals.tdl.org/ICCE/article/view/904.
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Links interessantes:
� http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/waves/watwav2.html.
� http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave. 
� http://journals.tdl.org/ICCE/article/view/904.
� http://scientificsentence.net/Waves/index.php.