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Universidade Cruzeiro do Sul 
Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
 
 MECÂNICA GERAL 
2º Semestre de 2016 
 
 
 
Prof. Ms. Adriano Mendanha 
2 
Vetores 
3 
Vetores 
no Plano e no Espaço 
 
Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, 
deslocamento e impulso, para serem completamente 
identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do 
sentido. 
Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou 
simplesmente vetores. 
 
4 
Representação Geométrica 
dos Vetores 
 
Os vetores são representados por segmentos de 
retas orientados no plano ou no espaço. 
A direção e o sentido do segmento orientado 
identifica a direção e o sentido do vetor. 
O comprimento do segmento orientado representa a 
magnitude do vetor. 
5 
Direção e Sentido 
 • Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a 
mesma direção se as retas suportes desses segmentos 
são paralelas ou coincidentes: 
 
 
 
 
 
 
• Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos 
orientados se eles têm mesma direção. 
• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos 
contrários. 
 
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ponto inicial ou origem 
ponto final ou extremidade (a ponta da seta do 
segmento orientado do vetor) 
Se o ponto inicial de um vetor V é A e o ponto final é 
B, então escrevemos 
V = 
Vetor 
 
7 
Segmentos orientados 
representando o mesmo vetor 
Na figura ao lado temos 4 
segmentos orientados, 
com origem em pontos 
diferentes, 
que representam o mesmo 
vetor. 
São considerados como 
vetores iguais, pois 
possuem a 
•mesma direção 
•mesmo sentido 
•mesmo comprimento 
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Vetor Oposto 
 
• Dado um vetor = , o vetor é o 
oposto de e se indica por - ou 
por - . 
 
Vetor Unitário 
 
• Um vetor é unitário se | | = 1. 
 
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Vetores Colineares 
 Dois vetores são colineares se tiverem a 
mesma direção. Em outras palavras: são 
colineares se tiverem representantes 
pertencentes a uma mesma reta ou a retas 
paralelas. 
 
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Vetores Coplanares 
Se vetores não nulos (não importa o número 
de vetores) possuem representantes 
pertencentes a um mesmo plano p, diz-se 
que eles são coplanares. 
 
11 
 
 
Soma de Vetores e 
Multiplicação por Escalar 
Operações com Vetores 
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A soma, V + W, de dois vetores V e W 
é determinada da seguinte forma: 
 
 tome um segmento orientado que 
representa V; 
tome um segmento orientado que 
representa W, com origem na 
extremidade de V; 
o vetor V + W é representado pelo 
segmento orientado que vai da origem 
de V até a extremidade de W. 
 
 
Figura: V + W = W + V 
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 Deduzimos que a soma de vetores é comutativa, para quaisquer 
vetores V e W, ou seja: 
 V + W = W + V. 
 
 
 
 Observamos também que a soma V + W está na diagonal do 
paralelogramo determinado por V e W, quando estão 
representados com a mesma origem. 
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Figura: V + (W + U) = (V + W) + U 
Deduzimos que a soma de vetores é associativa, para quaisquer 
vetores V, W e U, ou seja, 
V + (W + U) = (V + W) + U. 
 
 
 
 
 
15 
Vetor Nulo: vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua 
extremidade, denotado por 0 . 
Segue então, que 
V + 0 = 0 + V = V, 
para todo vetor V. 
 
Vetor Simétrico: é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma 
direção e sentido contrário. Denotamos o simétrico de V, -V. 
Segue então, que 
 V + (- V) = 0. 
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A diferença V menos W, por V - W = V+ (- W). 
 
 
 
Figura: A diferença V - W 
 
 
Daí temos: 
 W + (V - W) = (V - W) + W = V + (- W + W) = V + 0 = V. 
 
 
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• tem comprimento |  | vezes o comprimento de 
V; 
• a direção é a mesma de V, portanto são 
paralelos; 
• tem o mesmo sentido de V, se  > 0 e 
• tem o sentido contrário ao de V, se  < 0; 
• é o vetor nulo, se  = 0 ou V = 0. 
 
Figura: Multiplicaçãode vetor por escalar 
 
Se W =  V, dizemos que W é um múltiplo escalar de V. 
Dois vetores não nulos são paralelos (ou colineares) se, e somente 
se, um é um múltiplo escalar do outro. 
A multiplicação de um vetor V por um escalar ,  V, é determinada 
pelo vetor caracterizado por: 
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Sistema de Coordenadas Retangulares:Definimos as componentes 
de V como sendo as coordenadas (v1, v2) do ponto final do 
representante de V que tem ponto inicial na origem (0,0). 
Figura: As componentes do vetor V no plano Figura: As coordenadas de P são iguais 
as componentes de 
Vetores no Plano 
19 
A soma de dois vetores V = (v1, v2) e W = (w1, w2) é dada por: 
Figura: A soma de dois vetores no plano 
 
20 
A multiplicação de um vetor V = (v1, v2) por um escalar  é dada 
por 
Figura: A multiplicação de vetor por escalar no plano 
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Vetores no Espaço 
•Escolhemos um ponto como origem 
O. 
•Como eixos coordenados, três retas 
orientadas, passando pela origem, 
perpendiculares entre si. 
•Estes serão os eixos x, y e z. 
•O eixo z é o eixo vertical. Os eixos x 
e y são horizontais. 
•Cada par de eixos determina um 
plano chamado de plano coordenado. 
•Os três planos coordenados são: xy, 
yz e xz. 
Figura: As coordenadas de um 
ponto no espaço 
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Figura: As coordenadas de um 
ponto no espaço 
A cada ponto P no espaço associamos 
um terno de números (x, y, z), 
chamado de coordenadas do ponto 
P como se segue: 
 
•passe três planos por P paralelos aos 
planos coordenados; 
•a interseção do plano paralelo ao 
plano xy, passando por P, com o eixo 
z determina a coordenada z; 
•a interseção do plano paralelo ao 
plano xz, passando por P, com o eixo 
y determina a coordenada y; 
•a interseção do plano paralelo ao 
plano yz, passando por P, com o eixo 
x determina a coordenada x. 
 
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Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas 
(v1, v2, v3) do ponto final do representante de V que tem ponto 
inicial na origem. 
Figura: As componentes de um vetor no espaço 
 
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Figura: As coordenadas de P são 
iguais as componentes de 
 
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Se V = (v1, v2, v3) e  um 
escalar, então a multiplicação 
de  por V é dada por: 
 
Se V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3), 
então a adição de V com W é dada por: 
 
W 
V 
V 
W 
V 
Figura: V+W e V 
V + W = (v1+w1, v2+w2, v3+w3) 
αV = (α v1, α v2, α v3) 
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Vetor V com 
ponto inicial P= (x1,y1,z1) 
fora da origem 
e ponto final Q = (x2,y2,z2). 
Figura: V = PQ 
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Teorema: seja U, V e W vetores e  e  escalares 
As seguintes propriedades são válidas: 
1. U + V = V + U 
2. (U + V) + W = U + (V + W) 
3. U + = U 
4. U + (-U) = 
5.  ( U) = ( ) U 
6.  ( U + V) =  U +  V 
7. ( +) U =  U + U 
8. 1U = U