aula 20 derivada
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INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013
AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA

PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI
AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA

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AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA

PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI
AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA

PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI

NOMENOME RA TURMA

Objetivos: Utilizar o conceito de derivada em uma aplicação prática, que é a
determinação do volume máximo que pode conter uma folha de tamanho determinado.
Conhecimentos: Conceitos básicos limites, derivadas, cálculo de volume.
Habilidades: Utilizar princípios matemáticos em situações práticas, resolução de
equações de 1o e 2o graus, representação em planos cartesianos.
Atitudes esperadas: Observação, raciocínio matemático, compreensão no uso da
derivada.

Introdução Teórica:
No cálculo, a derivada é a “medida” da variação de uma função. Podemos traduzí-la como
a taxa de variação de um evento qualquer. Pensando numa situação hipotética, se uma
determinada empresa está crescendo, a taxa de crescimento é positiva, ou, em linguagem
matemática, dizemos que a derivada do crescimento é positiva. Vamos olhar um exemplo
considerando os últimos anos de uma empresa fictícia:

ano crescimento (%)

2010 7,5

2011 2,7

2012 0,9

Observe que as taxas são positivas, porém cada vez menores. Podemos dizer que a
derivada desse fenômeno é positiva, porém está diminuindo. Isso não significa que a
empresa está diminuindo e sim que ela está crescendo mais lentamente.
Portanto, a derivada reflete a variação de um fenômeno.
Se um fenômeno é descrito por uma função matemática (o que não é o caso do
crescimento de uma empresa, mas pode ser aplicado a muitos fenômenos da natureza), a
derivada mostra o comportamento desse fenômeno, que pode ser ao longo do tempo (aí
estaremos derivando em relação ao tempo) ou em relação à sua posição (estamos
derivando em relação ao eixo de posição).
A ideia de derivada (assim como a de integral) veio com Isaac Newton (1643-1727) e
com Leibniz (1646-1716) quando, de forma independente e quase ao mesmo tempo, eles
criaram o conceito de cálculo infinitesimal, ou seja, o cálculo desenvolvido em pequenos
intervalos.
Diz a lenda que o que teria inspirado Newton foi uma maçã caindo em sua cabeça. Se é
verdade ou não, somente Newton poderia dizer. Mas o fato é que é uma boa imagem
para explicar o cálculo. Se observarmos atentamente um objeto qualquer (que pode até
ser uma maçã) caindo livremente veremos que a velocidade aumenta a cada instante. Se
considerarmos intervalos de tempo muito pequenos (infinitesimais) veremos que a taxa de
variação da velocidade é constante. A essa taxa de variação de velocidade deu-se o
nome de aceleração. Portanto, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao
tempo, assim como a velocidade é a derivada da posição ao longo do tempo.
Agora imagine uma função (ou um evento qualquer) com uma derivada positiva que vai
diminuindo (o que significa que a sua taxa de crescimento diminui) e que, aos poucos, se
anula e torna-se negativa. Ao ter uma derivada negativa, significa que a função está
diminuindo de valor. Portanto, quando a derivada é nula, significa que a função não está
crescendo nem diminuindo e, neste caso, ela atingiu seu ponto de máximo. Nesta aula
vamos utilizar esse conceito, de que quando a derivada de uma função é nula, significa

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que ela atingiu seu máximo (poderia ser o contrário, uma função de derivada negativa que
se torna positiva teria seu ponto de máximo quando a derivada é nula.
Uma outra situação em que a derivada é nula é no ponto de inflexão, isto é, quando a
função muda de curvatura. Na figura abaixo vemos uma função que tem ponto de
máximo, ponto de mínimo e inflexão. Repare que em torno do ponto de inflexão a
derivada é negativa. À esquerda do ponto a derivada é negativa e está aumentando o
valor até chegar na inflexão (derivada nula), à direita a função também é negativa,
diminuindo de valor.

ponto de máximo

ponto de mínimo

ponto de inflexão

ponto de mínimo
Figura 1: máximo, mínimo e inflexão de uma função

PARTE PRÁTICA
Nossa tarefa na aula de hoje será determinar o maior volume que conseguimos obter
para uma caixa (sem a tampa) construída a partir de uma chapa quadrada de lado l (no
nosso caso, usaremos uma folha de papel).
A chapa (folha) será recortada igualmente nos quatro cantos, retirando quatro quadrados
iguais de lado a. Veja na figura 2.

Figura 2: recortes da folha
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Em seguida, a folha será dobrada (linhas pontilhadas) e a caixa estará pronta (figura 3).

Figura 3: folha cortada e as linhas de dobra

Porém, ANTES DE FAZER OS CORTES é necessário calcular o valor do corte (a) em
função do lado da folha original (l).
Para isso:
1. Determine o volume da caixa, em função de l e a.
2. Derive a função de volume em relação a a.
3. Substitua o valor de l de acordo com a sua folha, calculando o valor de a.
4. Construa a sua caixa, calcule o volume da caixa. Esse é o máximo volume que você

conseguirá a partir dessa folha.
5. Mostre em um gráfico (folha no final da apostila) Volume x recorte (a) que o valor que

você escolheu para o recorte é o que dá o maior volume. Para isso, calcule os volumes
das caixas para três valores maiores que a e para três valores menores que a .

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Conclusões:

Referências Bibliográficas:

Piskunov, N. S.; “Cálculo diferencial e integral”; Ed, Moscou,1973.
Boulos, Paulo, Cálculo diferencial e integral; Ed Univ. Brasília, 2000.

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