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INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013 AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI AULA PRÁTICA NO 20 – DERIVADA PROFS. SELMO TORQUETTO, ANGELO BATTISTINI NOMENOME RA TURMA Objetivos: Utilizar o conceito de derivada em uma aplicação prática, que é a determinação do volume máximo que pode conter uma folha de tamanho determinado. Conhecimentos: Conceitos básicos limites, derivadas, cálculo de volume. Habilidades: Utilizar princípios matemáticos em situações práticas, resolução de equações de 1o e 2o graus, representação em planos cartesianos. Atitudes esperadas: Observação, raciocínio matemático, compreensão no uso da derivada. Introdução Teórica: No cálculo, a derivada é a “medida” da variação de uma função. Podemos traduzí-la como a taxa de variação de um evento qualquer. Pensando numa situação hipotética, se uma determinada empresa está crescendo, a taxa de crescimento é positiva, ou, em linguagem matemática, dizemos que a derivada do crescimento é positiva. Vamos olhar um exemplo considerando os últimos anos de uma empresa fictícia: ano crescimento (%) 2010 7,5 2011 2,7 2012 0,9 Observe que as taxas são positivas, porém cada vez menores. Podemos dizer que a derivada desse fenômeno é positiva, porém está diminuindo. Isso não significa que a empresa está diminuindo e sim que ela está crescendo mais lentamente. Portanto, a derivada reflete a variação de um fenômeno. Se um fenômeno é descrito por uma função matemática (o que não é o caso do crescimento de uma empresa, mas pode ser aplicado a muitos fenômenos da natureza), a derivada mostra o comportamento desse fenômeno, que pode ser ao longo do tempo (aí estaremos derivando em relação ao tempo) ou em relação à sua posição (estamos derivando em relação ao eixo de posição). A ideia de derivada (assim como a de integral) veio com Isaac Newton (1643-1727) e com Leibniz (1646-1716) quando, de forma independente e quase ao mesmo tempo, eles criaram o conceito de cálculo infinitesimal, ou seja, o cálculo desenvolvido em pequenos intervalos. Diz a lenda que o que teria inspirado Newton foi uma maçã caindo em sua cabeça. Se é verdade ou não, somente Newton poderia dizer. Mas o fato é que é uma boa imagem para explicar o cálculo. Se observarmos atentamente um objeto qualquer (que pode até ser uma maçã) caindo livremente veremos que a velocidade aumenta a cada instante. Se considerarmos intervalos de tempo muito pequenos (infinitesimais) veremos que a taxa de variação da velocidade é constante. A essa taxa de variação de velocidade deu-se o nome de aceleração. Portanto, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, assim como a velocidade é a derivada da posição ao longo do tempo. Agora imagine uma função (ou um evento qualquer) com uma derivada positiva que vai diminuindo (o que significa que a sua taxa de crescimento diminui) e que, aos poucos, se anula e torna-se negativa. Ao ter uma derivada negativa, significa que a função está diminuindo de valor. Portanto, quando a derivada é nula, significa que a função não está crescendo nem diminuindo e, neste caso, ela atingiu seu ponto de máximo. Nesta aula vamos utilizar esse conceito, de que quando a derivada de uma função é nula, significa 2 que ela atingiu seu máximo (poderia ser o contrário, uma função de derivada negativa que se torna positiva teria seu ponto de máximo quando a derivada é nula. Uma outra situação em que a derivada é nula é no ponto de inflexão, isto é, quando a função muda de curvatura. Na figura abaixo vemos uma função que tem ponto de máximo, ponto de mínimo e inflexão. Repare que em torno do ponto de inflexão a derivada é negativa. À esquerda do ponto a derivada é negativa e está aumentando o valor até chegar na inflexão (derivada nula), à direita a função também é negativa, diminuindo de valor. ponto de máximo ponto de mínimo ponto de inflexão ponto de mínimo Figura 1: máximo, mínimo e inflexão de uma função PARTE PRÁTICA Nossa tarefa na aula de hoje será determinar o maior volume que conseguimos obter para uma caixa (sem a tampa) construída a partir de uma chapa quadrada de lado l (no nosso caso, usaremos uma folha de papel). A chapa (folha) será recortada igualmente nos quatro cantos, retirando quatro quadrados iguais de lado a. Veja na figura 2. Figura 2: recortes da folha 3 Em seguida, a folha será dobrada (linhas pontilhadas) e a caixa estará pronta (figura 3). Figura 3: folha cortada e as linhas de dobra Porém, ANTES DE FAZER OS CORTES é necessário calcular o valor do corte (a) em função do lado da folha original (l). Para isso: 1. Determine o volume da caixa, em função de l e a. 2. Derive a função de volume em relação a a. 3. Substitua o valor de l de acordo com a sua folha, calculando o valor de a. 4. Construa a sua caixa, calcule o volume da caixa. Esse é o máximo volume que você conseguirá a partir dessa folha. 5. Mostre em um gráfico (folha no final da apostila) Volume x recorte (a) que o valor que você escolheu para o recorte é o que dá o maior volume. Para isso, calcule os volumes das caixas para três valores maiores que a e para três valores menores que a . 4 Conclusões: Referências Bibliográficas: Piskunov, N. S.; “Cálculo diferencial e integral”; Ed, Moscou,1973. Boulos, Paulo, Cálculo diferencial e integral; Ed Univ. Brasília, 2000. 5 6
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