Intervalo de Confiança
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Intervalo de Confiança

Prof. Carlos Amorim

Intervalo de Confiança

Um intervalo de confiança para um parâmetro ,
com um nível de confiança de , é um

intervalo aleatório tal que:

θ
α−1

),( supinf LL

αθ −=<< 1)( LLP )1,0(∈ααθ −=<< 1)( supinf LLP , )1,0(∈α

onde deve ter um valor pequeno para termos um nível de
confiança elevado.

α

Valores usuais para o nível de confiança: 95%, 99% e 90%.

%95

Intervalo de Confiança

),(~ 2σµNX
desconhecido

%951 =−α

~X 








n
N

2

,
σ

µ
Xµ

σ
µ 96,1−

σ
µ 96,1+


 n Xµn

σ
µ 96,1−

n

σ
µ 96,1+





+

n
X

σ
96,1




−

n
X

σ
96,1 ,

O IC para com 95% de confiança:µ

Interpretação: 95% dos possíveis ICs
obtidos a partir de uma amostra de

tamanho n, conterão de fato o verdadeiro
valor da média populacional.

X

X

X

X

IC para a média com variância
conhecida

),(~ 2σµNX

α−1

~X 








n
N

2

,
σ

µ

( )
α

σ
µ

−=







≤

−
≤− 1b

Xn
bP

( )[ ] ασµσ −=≤−≤− 1bXnbP
( ) ασµσ −= ≤−≤− 1bXbPα−1 (nível de confiança)

~

n

X

σ
µ−

)1,0(N

α
σ

µ
−=








≤

−
≤− 1

/
b

n

X
bP

( ) ασµσ −=







≤−≤− 1

n
bX

n
bP

α
σ

µ
σ

−=







+−≤−≤−− 1

n
bX

n
bXP

α
σ

µ
σ

−=







+≤≤− 1

n
bX

n
bXP

infL supL

IC para a média com variância
conhecida

:.CI 



+

n
bX

σ




−

n
bX

σ
,

onde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNPonde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNP

)1,0(~ NZ0

2/)1( α− 2/)1( α−

)1( α−

bb−

Nível de

Confiança

Valor b

90% 1,64

95% 1,96

99% 2,57

90% grau de confiança – existem 10 possibilidades de 100 que o IC não contenha a média populacional
95% grau de confiança – existem 5 possibilidades de 100 que o IC não contenha a média populacional
99% grau de confiança – existe 1 possibilidade de 100 que o IC não contenha a média populacional

IC para a média com variância
conhecida

• Ex1: A duração da vida útil de uma peça de
equipamento é tal que horas. Foram amostradas
100 dessas peças obtendo-se a média de 500 horas.
Deseja-se construir um intervalo de confiança para a
verdadeira duração média da peça com um nível de

5=σ

confiança de 95%.

:.CI 



+

n
bX

σ




−

n
bX

σ
,

( ) 2/95,0)1,0(0 =≤≤ bNP 475,0= 96,1=b

:.CI 



+

100

5
96,1500




−

100

5
96,1500 ,

]98,500[ 02,499 ,:.CI

IC para a média com variância
conhecida

Para %991 =−α

( ) 2/99,0)1,0(0 =≤≤ bNP 495,0= 57,2=b

:.CI 



+

100

5
57,2500




−

100

5
57,2500 ,:.CI 


+

100
57,2500


−

100
57,2500

]285,501[ 715,498 ,:.CI

Aumentando o nível de confiança de 95% para 99%, diminuímos o risco
de estar errados: de 5% de risco passamos a 1% de risco, ou seja,
temos menos possibilidades (1/100 em vez de 5/100) de que o IC não
contenha a média populacional. Por outro lado, ao diminuir o risco, o

intervalo fica mais amplo e, portanto, menos útil será a informação
sobre a precisão.

Determinação do tamanho de uma
amostra

:.CI 



+

n
bX

σ




−

n
bX

σ
,

ε = erro amostral

( ) α−=≤≤ 1)1,0(0 bNP

n
b

σ
ε =

2








=
ε

σb
n

Determinação do tamanho de uma
amostra

• Ex2: Queremos estimar a renda média no primeiro ano
de um profissional. Quantas coletas devemos realizar se
desejamos ter um intervalo de confiança de 95% e um
erro máximo tolerável de R$ 1.000,00. Suponha

que o desvio padrão seja conhecido e igual a R$ 3.000.que o desvio padrão seja conhecido e igual a R$ 3.000.

( ) 2/95,0)1,0(0 =≤≤ bNP 475,0= 96,1=b

2

1000

)3000)(96,1(







=

2








=
ε

σb
n 54,34= 35=n

Aceitemos agora ;2000=ε
2

2000

)3000)(96,1(







=n 64,8= 9=n

Dobrando o erro
podemos reduzir em
aproximadamente 1/4 o
tamanho da amostra.

IC para a média com variância
desconhecida

),(~ 2σµNX

~
X

σ
µ−

)1,0(N

Se o valor de σ2 é desconhecido ⇒ substituir por uma estimativa

( )
~1

2µ∑
=

−
n

i

iX 2
)(nχ =

−

n

X

σ
µ

~
X µ−

)1( −nt

Caso 1:

~

n

σ
)1,0(N

∑
=

−
−

==
n

i

i XX
n

S
1

2)(
1

1
σˆ

desconhecido

~
ˆ

n

X

σ
µ−

~
2

1

σ
=i

)(nχ

( )
~

2

1

2

σ

∑
=

−
n

i

i XX 2
)1( −nχ

1

)(

ˆ 1

2

2

−

−
=

∑
=

n

XX
n

i

i

σ ( ) ∑
=

−=−
n

i

i XXn
1

22 )(ˆ1σ

2

)1(2

2

~
ˆ)1(

−

−
n

n
χ

σ
σ

=

−

−

1

ˆ)1(
2

2

n

n

n

σ
σ

~
ˆ

n

σ )1( −n
t

)1( −nt

IC para a média com variância
desconhecida

( )
~

σˆ
µ−Xn

)1( −nt ( ) α
σ

µ
−=








≤

−
≤− 1

ˆ
b

Xn
bP

( )[ ] ασµσ −=≤−≤− 1ˆˆ bXnbPα−1
(nível de confiança)

( ) ασµσ −=







≤−≤− 1

ˆˆ

n
bX

n
bP

α
σ

µ
σ

−=







+−≤−≤−− 1

ˆˆ

n
bX

n
bXP

α
σ

µ
σ

−=







+≤≤− 1

ˆˆ

n
bX

n
bXP

infL supL

(nível de confiança)

IC para a média com variância
desconhecida

:.CI 



+

n
bX

σˆ




−

n
bX

σˆ
,

onde: ( ) )1()1( α−=≤≤− − btbP n

bb− t0

α−1

2/α2/α

IC para a média com variância
desconhecida

Caso 2: X tem uma distribuição qualquer.

Para n grande:

:.CI 



+

n
bX

σˆ




−

n
bX

σˆ
, 

n

 n

onde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNP

Pelo TLC: 








n
NX

2

,~
σ

µ

( )
~

σˆ
µ−Xn

)1( −nt
n grande

A distribuição t se
aproxima da distribuição
normal padrão.

IC para a média com variância
desconhecida

• Ex3: Uma amostra aleatória de 20 cigarros foi analisada para
estimar a quantidade de nicotina por cigarro, observando-se a

média de 1,2 mg e variância amostral de 0,04. Pressupondo que as
observações têm distribuição Normal, determine um IC para o valor
médio da quantidade de nicotina por cigarro, grau de confiança de

95%.95%.

:.CI 



+

n
bX

σˆ




−

n
bX

σˆ
,

:.CI 



+

20

04,0
093,22,1




−

20

04,0
093,22,1 ,

]2936,1[ 1064,1 ,:.CI

( ) )1()1( α−=≤≤− − btbP n

-∞ +∞0 b-b

2,5%2,5%

Distribuição t de Student com
19 graus de liberdade

95%

19t

( ) 95,0)120( =≤≤− − btbP

?093,2

IC para a média com variância
desconhecida

• Ex4: A amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de
uma população normal. Construir um intervalo de confiança
para a média ao nível de 95%.

]13,10[ 27,7:.CI ]13,10[ 27,7 ,:.CI

IC para a proporção

~pˆ

)1,0(~
ˆ

N

n

pq

pp −









n

pq
pN , pq −=1, α−=












≤

−
≤− 1

/

ˆ
b

npq

pp
bP

[ ] α−=≤−≤− 1/ˆ/ npqbppnpqbP

[ ] α−=+≤≤− 1/ˆ/ˆ npqbppnpqbpPn

infL supL

[ ] α−=+≤≤− 1/ˆ/ˆ npqbppnpqbpP

[ ] α−=+≤≤− 1/ˆˆˆ/ˆˆˆ nqpbppnqpbpP

:.CI 



+

n

qp
bp

ˆˆ
ˆ




−

n

qp
bp

ˆˆ
ˆ ,

onde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNP

IC para a proporção

• Ex5: Examinadas 500 peças de uma grande produção
encontrou-se 260 defeituosas. No nível de 90% construir um
intervalo de confiança para a verdadeira proporção de peças
defeituosas.

][:.CI ]%2,55[ %8,48 ,:.CI

IC para a variância

1) Média desconhecida

∑
=

−
−

=
n

i

i XX
n

S
1

22 )(
1

1

( )
n

( ) ∑
=

−=−
n

i

i XXSn
1

22 )(1

( )
~

2

1

2

σ

∑
=

−
n

i

i XX 2
)1( −nχ

2

)1(2

2

~
)1(

−