Intervalo de Confiança

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Intervalo de Confiança
Prof. Carlos Amorim
Intervalo de Confiança
Um intervalo de confiança para um parâmetro ,
com um nível de confiança de , é um
intervalo aleatório tal que:
θ
α−1
),( supinf LL
αθ −=<< 1)( LLP )1,0(∈ααθ −=<< 1)( supinf LLP , )1,0(∈α
onde deve ter um valor pequeno para termos um nível de
confiança elevado.
α
Valores usuais para o nível de confiança: 95%, 99% e 90%.
%95
Intervalo de Confiança
),(~ 2σµNX
desconhecido
%951 =−α
~X 





n
N
2
,
σ
µ
Xµ
σ
µ 96,1−
σ
µ 96,1+

 n Xµn
σ
µ 96,1−
n
σ
µ 96,1+



+
n
X
σ
96,1


−
n
X
σ
96,1 ,
O IC para com 95% de confiança:µ
Interpretação: 95% dos possíveis ICs 
obtidos a partir de uma amostra de 
tamanho n, conterão de fato o verdadeiro 
valor da média populacional.
X
X
X
X
IC para a média com variância 
conhecida 
),(~ 2σµNX
α−1
~X 





n
N
2
,
σ
µ
( )
α
σ
µ
−=





≤
−
≤− 1b
Xn
bP
( )[ ] ασµσ −=≤−≤− 1bXnbP
( ) ασµσ −= ≤−≤− 1bXbPα−1 (nível de confiança)
~
n
X
σ
µ−
)1,0(N
α
σ
µ
−=





≤
−
≤− 1
/
b
n
X
bP
( ) ασµσ −=





≤−≤− 1
n
bX
n
bP
α
σ
µ
σ
−=





+−≤−≤−− 1
n
bX
n
bXP
α
σ
µ
σ
−=





+≤≤− 1
n
bX
n
bXP
infL supL
IC para a média com variância 
conhecida 
:.CI 


+
n
bX
σ



−
n
bX
σ
,
onde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNPonde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNP
)1,0(~ NZ0
2/)1( α− 2/)1( α−
)1( α−
bb−
Nível de 
Confiança
Valor b
90% 1,64
95% 1,96
99% 2,57
90% grau de confiança – existem 10 possibilidades de 100 que o IC não contenha a média populacional
95% grau de confiança – existem 5 possibilidades de 100 que o IC não contenha a média populacional
99% grau de confiança – existe 1 possibilidade de 100 que o IC não contenha a média populacional
IC para a média com variância 
conhecida
• Ex1: A duração da vida útil de uma peça de
equipamento é tal que horas. Foram amostradas
100 dessas peças obtendo-se a média de 500 horas.
Deseja-se construir um intervalo de confiança para a
verdadeira duração média da peça com um nível de
5=σ
confiança de 95%.
:.CI 


+
n
bX
σ



−
n
bX
σ
,
( ) 2/95,0)1,0(0 =≤≤ bNP 475,0= 96,1=b
:.CI 


+
100
5
96,1500


−
100
5
96,1500 ,
]98,500[ 02,499 ,:.CI
IC para a média com variância 
conhecida
Para %991 =−α
( ) 2/99,0)1,0(0 =≤≤ bNP 495,0= 57,2=b
:.CI 


+
100
5
57,2500


−
100
5
57,2500 ,:.CI 

+
100
57,2500

−
100
57,2500
]285,501[ 715,498 ,:.CI
Aumentando o nível de confiança de 95% para 99%, diminuímos o risco
de estar errados: de 5% de risco passamos a 1% de risco, ou seja,
temos menos possibilidades (1/100 em vez de 5/100) de que o IC não
contenha a média populacional. Por outro lado, ao diminuir o risco, o
intervalo fica mais amplo e, portanto, menos útil será a informação
sobre a precisão.
Determinação do tamanho de uma 
amostra
:.CI 


+
n
bX
σ



−
n
bX
σ
,
ε = erro amostral
( ) α−=≤≤ 1)1,0(0 bNP
n
b
σ
ε =
2





=
ε
σb
n
Determinação do tamanho de uma 
amostra
• Ex2: Queremos estimar a renda média no primeiro ano
de um profissional. Quantas coletas devemos realizar se
desejamos ter um intervalo de confiança de 95% e um
erro máximo tolerável de R$ 1.000,00. Suponha
que o desvio padrão seja conhecido e igual a R$ 3.000.que o desvio padrão seja conhecido e igual a R$ 3.000.
( ) 2/95,0)1,0(0 =≤≤ bNP 475,0= 96,1=b
2
1000
)3000)(96,1(





=
2





=
ε
σb
n 54,34= 35=n
Aceitemos agora ;2000=ε
2
2000
)3000)(96,1(





=n 64,8= 9=n
Dobrando o erro
podemos reduzir em
aproximadamente 1/4 o
tamanho da amostra.
IC para a média com variância 
desconhecida 
),(~ 2σµNX
~
X
σ
µ−
)1,0(N
Se o valor de σ2 é desconhecido ⇒ substituir por uma estimativa
( )
~1
2µ∑
=
−
n
i
iX 2
)(nχ =
−
n
X
σ
µ
~
X µ−
)1( −nt
Caso 1:
~
n
σ
)1,0(N
∑
=
−
−
==
n
i
i XX
n
S
1
2)(
1
1
σˆ
desconhecido
~
ˆ
n
X
σ
µ−
~
2
1
σ
=i
)(nχ
( )
~
2
1
2
σ
∑
=
−
n
i
i XX 2
)1( −nχ
1
)(
ˆ 1
2
2
−
−
=
∑
=
n
XX
n
i
i
σ ( ) ∑
=
−=−
n
i
i XXn
1
22 )(ˆ1σ
2
)1(2
2
~
ˆ)1(
−
−
n
n
χ
σ
σ
=
−
−
1
ˆ)1(
2
2
n
n
n
σ
σ
~
ˆ
n
σ )1( −n
t
)1( −nt
IC para a média com variância 
desconhecida 
( )
~
σˆ
µ−Xn
)1( −nt ( ) α
σ
µ
−=





≤
−
≤− 1
ˆ
b
Xn
bP
( )[ ] ασµσ −=≤−≤− 1ˆˆ bXnbPα−1
(nível de confiança)
( ) ασµσ −=





≤−≤− 1
ˆˆ
n
bX
n
bP
α
σ
µ
σ
−=





+−≤−≤−− 1
ˆˆ
n
bX
n
bXP
α
σ
µ
σ
−=





+≤≤− 1
ˆˆ
n
bX
n
bXP
infL supL
(nível de confiança)
IC para a média com variância 
desconhecida 
:.CI 


+
n
bX
σˆ



−
n
bX
σˆ
,
onde: ( ) )1()1( α−=≤≤− − btbP n
bb− t0
α−1
2/α2/α
IC para a média com variância 
desconhecida
Caso 2: X tem uma distribuição qualquer.
Para n grande:
:.CI 


+
n
bX
σˆ



−
n
bX
σˆ
, 
n

 n
onde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNP
Pelo TLC: 





n
NX
2
,~
σ
µ
( )
~
σˆ
µ−Xn
)1( −nt
n grande
A distribuição t se
aproxima da distribuição
normal padrão.
IC para a média com variância 
desconhecida
• Ex3: Uma amostra aleatória de 20 cigarros foi analisada para
estimar a quantidade de nicotina por cigarro, observando-se a
média de 1,2 mg e variância amostral de 0,04. Pressupondo que as
observações têm distribuição Normal, determine um IC para o valor
médio da quantidade de nicotina por cigarro, grau de confiança de
95%.95%.
:.CI 


+
n
bX
σˆ



−
n
bX
σˆ
,
:.CI 


+
20
04,0
093,22,1


−
20
04,0
093,22,1 ,
]2936,1[ 1064,1 ,:.CI
( ) )1()1( α−=≤≤− − btbP n
-∞ +∞0 b-b
2,5%2,5%
Distribuição t de Student com
19 graus de liberdade
95%
19t
( ) 95,0)120( =≤≤− − btbP
?093,2
IC para a média com variância 
desconhecida
• Ex4: A amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de
uma população normal. Construir um intervalo de confiança
para a média ao nível de 95%.
]13,10[ 27,7:.CI ]13,10[ 27,7 ,:.CI
IC para a proporção 
~pˆ
)1,0(~
ˆ
N
n
pq
pp −






n
pq
pN , pq −=1, α−=








≤
−
≤− 1
/
ˆ
b
npq
pp
bP
[ ] α−=≤−≤− 1/ˆ/ npqbppnpqbP
[ ] α−=+≤≤− 1/ˆ/ˆ npqbppnpqbpPn
infL supL
[ ] α−=+≤≤− 1/ˆ/ˆ npqbppnpqbpP
[ ] α−=+≤≤− 1/ˆˆˆ/ˆˆˆ nqpbppnqpbpP
:.CI 


+
n
qp
bp
ˆˆ
ˆ


−
n
qp
bp
ˆˆ
ˆ ,
onde: ( ) 2/)1()1,0(0 α−=≤≤ bNP
IC para a proporção
• Ex5: Examinadas 500 peças de uma grande produção
encontrou-se 260 defeituosas. No nível de 90% construir um
intervalo de confiança para a verdadeira proporção de peças
defeituosas.
][:.CI ]%2,55[ %8,48 ,:.CI
IC para a variância 
1) Média desconhecida
∑
=
−
−
=
n
i
i XX
n
S
1
22 )(
1
1
( )
n
( ) ∑
=
−=−
n
i
i XXSn
1
22 )(1
( )
~
2
1
2
σ
∑
=
−
n
i
i XX 2
)1( −nχ
2
)1(2
2
~
)1(
−−
n
Sn
χ
σ
α
σ
−=





<
−
< 1
)1(
2
2
b
Sn
aP
α
σ
−=





−
<<
−
1
)1(
1
)1( 222 Sn
b
Sn
a
P ασ −=




 −
<<
−
1
)1()1( 22
2
a
Sn
b
Sn
P
infL supL
IC para a variância 
1) Média desconhecida
:.CI 

−
a
Sn 2)1(


 −
b
Sn 2)1(
,
( )
b
XX
n
i
i
2
1
∑
=
−
,
( )
a
XX
n
i
i
2
1
∑
=
−
ou
onde: ( ) 2/2 )1( αχ =>− bP n
( ) 2/12 )1( αχ −=>− aP n
b
2/α
2
)1( −nχ0 a
2/α
α−1
IC para a variância
• Ex6: Admita , e que se deseja construir um
intervalo de confiança para a variância ao nível de 90%.
10=n 42 =S
%5%5
( ) %52 )110( =>− bP χ 919,16=b
b
%5
2
)1( −nχ0 a
%5
%90 ( ) %952 )110( =>− aP χ 325,3=a
:.CI 

−
a
Sn 2)1(


 −
b
Sn 2)1(
,
:.CI 

×
325,3
49


 ×
919,16
49
,
:.CI ]82,10[ 13,2 ,
IC para a variância 
2) Média conhecida
( )
~
2
1
2
σ
µ∑
=
−
n
i
iX 2
)(nχ ( )
b
X
n
i
i
2
1
∑
=
− µ
,
( )
a
X
n
i
i
2
1
∑
=
− µ:.CI
( )
α
σ
µ
−=












<
−
<
∑
= 1
2
1
2
b
X
aP
n
i
i
infL supL
( ) ( )
α
µ
σ
µ
−=












−
<<
− ∑∑
== 11
2
21
2
a
X
b
X
P
n
i
i
n
i
i
b a
onde: ( ) 2/2 )( αχ => bP n
( ) 2/12 )( αχ −=> aP n