Regressão Linear Simples
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Regressão Linear Simples

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( ) ( )
α

σ
−=









 −
≤≤

− ∑∑
1

ˆ 2
11

2

XXXX

P

i
e

i

( ) ( )
α

σ
ββ

σ
β −=

















−
+≤≤

−
−

∑∑
1

ˆˆˆˆ
2

11
2

1

XX

b

XX

bP

i

e

i

e

( )






−
−

∑
2

1

ˆˆ

XX

b

i

eσβ
( ) 







−
+

∑
2

1

ˆˆ

XX

b

i

eσβ,:IC ( ) )1()2( α−=≤≤− − btbP n
onde:

Intervalo de Confiança
Ex2:

Para os dados do exemplo 1 construir um intervalo de
confiança para (propensão marginal a consumir) com nível
de confiança de 95%.

( )






−
−

∑
2

1

ˆˆ

XX

b

i

eσβ
( ) 







−
+

∑
2

1

ˆˆ

XX

b

i

eσβ,:IC

1β

( ) −∑ XX i ( ) −∑ XX i
( ) )1()2( α−=≤≤− − btbP nonde:

509,0ˆ1 =β

kn

ei
e −

= ∑
2

2
ˆ

σˆ
kn

XY ii

−

−−
= ∑

2

21 )
ˆˆ( ββ

210

273,337

−
= 1591,42= == 1591,42ˆ eσ 493006,6





−

33000

493006,6
306,2509,0 




+

33000

493006,6
306,2509,0,:IC

( ) %95)8( =≤≤− btbP 306,2=b

[ 42657,0 ]59142,0,:IC

Teste de hipóteses

1) Estabelecer as hipóteses:

*

110 : ββ =H
*

111 : ββ ≠H

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.αNível de significância =

( )
~

ˆˆ

ˆ

1

11

β

ββ

V

−
( )2−ntEstatística – teste: ( )∑

=

−
=

n

i

i

e

XX

V

1

2

2

1

ˆ
)ˆ(ˆ

σ
βonde:

Considerando k = 2.

Teste de hipóteses

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela “t”.

2/α2/α

( )2−nt

4) Calcular o valor da variável do teste:

Região Crítica

ct t0

2/α2/α

ct−

,

( )1
11

ˆˆ

ˆ

β

ββ

V
tcal

−
=

( )∑
=

−
=

n

i

i

e

XX

V

1

2

2

1

ˆ
)ˆ(ˆ

σ
β

Teste de hipóteses

5) Conclusões:

ccalc ttt ≤≤−Se , não se pode rejeitar .0H

ccal tt −<Se ou , rejeita-se .0Hccal tt > ccal 0ccal

Teste de hipóteses

Ex3:

Considerando os dados do exemplo 1, teste, ao
nível de significância de 5%, a hipótese de que a
propensão marginal a consumir da população é 0,3,

contra a hipótese alternativa de que é diferente de 0,3.contra a hipótese alternativa de que é diferente de 0,3.

Teste de hipóteses

Ex3:

1)

2)
%5=α

4)

33000

1591,42

3,0509,0 −
=calt 8473,5=

3,0: 10 =βH

3,0: 11 ≠βH

3)

%5=α

Estatística – teste:

ct t0

%5,2%5,2

ct−

%95)( =<<− cc tttP 306,2=ct

33000

5)

Como então rejeitamos, ao
nível de significância de 5%, a hipótese
nula, em favor da hipótese alternativa.
Isso significa que a propensão marginal
a consumir da população é diferente de
0,3.

306,28473,5 >

( ) ( )21
11 ~

ˆˆ

ˆ

−

−
nt

V β

ββ

( )8t

( )∑
=

−
=

n

i

i

e

XX

V

1

2

2

1

ˆ
)ˆ(ˆ

σ
β

33000

1591,42
=

Coeficiente de determinação (R2)

• É uma medida resumida que diz quanto a linha
de regressão amostral se ajusta aos dados.

• Mede a proporção da variação na variável• Mede a proporção da variação na variável
dependente que é explicada pela regressão.

• Assume valores entre: 10 2 ≤≤ R

Coeficiente de determinação (R2)

Y

ieˆ XY 10 ˆˆˆ ββ +=
FRA

Yi

iYˆ

Y

( )YYi −Variaçãototal ( )YYi −ˆ Variação devido a regressão

XXi

Y

Variação
total

Variação devido
a regressão

= + Variação devido a
forças aleatórias

Coeficiente de determinação (R2)

• A variação total dos valores observados de Y é
dada pela soma dos desvios ao quadrado:

( )
2

∑ −=
n

i YYSQT (Soma dos quadrados total)

• A soma dos quadrados devido a regressão
(devido à(s) variável(is) explicativa(s)):

( )
1

∑
=

−=
i

i YYSQT

( )
2

1

ˆ∑
=

−=
n

i

i YYSQE (Soma dos quadrados explicados)

Coeficiente de determinação (R2)

• A soma dos quadrados dos resíduos (ou não
explicada):

∑=
n

ieSQR
2ˆ∑

=i
i

1

SQRSQESQT +=

Portanto:

Coeficiente de determinação (R2)

SQT

SQE
R =2 ou

( )
( )∑

∑
−

−
=

2

2
ˆ

YY

YY

i

i

∑
SQT

SQR
R −=12

( )∑
∑

−
−=

2

2ˆ
1

YY

e

i

i

Mede a proporção ou percentual da variação total de Y
explicada pelo modelo de regressão.

Coeficiente de determinação (R2)

Ex4:

Considerando os dados do exemplo 1,
calcule o coeficiente de determinação.

SQR 273,337

SQT

SQR
R −=12

∑
=

=
n

i

ieSQR
1

2ˆ 273,337=

( )
2

1

∑
=

−=
n

i

i YYSQT 8890=

8890

273,337
1−= 962,0= Cerca de 96% da variação nas

despesas de consumo são
explicadas pela renda.

Obs: O coeficiente de correlação , pode
ser calculado por:

YX ,ρ
2

, RYX ±=ρ 962,0, =YXρ 9808,0=

As duas variáveis tem uma alta correlação
positiva.