Testes de Hipóteses
50 pág.

Testes de Hipóteses

Disciplina:Estatística Econômica66 materiais1.449 seguidores
Pré-visualização3 páginas
nível de significância de 5%, a hipótese de que a média
da população é 1, contra a hipótese alternativa de que( )µ

( )2,~ σµNX

da população é 1, contra a hipótese alternativa de que
é maior do que 1.

( )µ

Teste de hipótese para proporções

1) Estabelecer as hipóteses:

00 : ppH =

01 : ppH ≠ (a)
(b)pp > uma das alternativas

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.α

(b)

(c)

0pp >

0pp <
uma das alternativas

Nível de significância =

~
ˆ

00

0

n

qp

pp − ( )1,0N
Estatística – teste:

Teste de hipótese para proporções

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela da N(0,1).

(a) (b) (c)

2/α2/α α α

4) Calcular o valor da variável do teste:

n

pp

pp
Z cal

)1(

ˆ

00

0

−

−
=

Região Crítica

cz Z0

2/α

Z0 Z0

2/α

cz− cz cz−

Teste de hipótese para proporções

5) Conclusões:

ccalc zzz ≤≤−(a) Se , não se pode rejeitar .0H

ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >

(b)

(c)

ccal zz <Se , não se pode rejeitar .0H

Se , rejeita-se .0Hccal zz >

ccal zz −<

Se , não se pode rejeitar .0H

Se , rejeita-se .0H

ccal zz −>

Teste de hipótese para proporções

Ex3:

As condições de mortalidade de uma região são tais
que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60
anos é de 60%. Testar essa hipótese ao nível de 5% se

em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente,em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente,
verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.

Teste de hipótese para a variância
com média desconhecida

1) Estabelecer as hipóteses:
2

0

2

0 : σσ =H
:1H

(a)

uma das alternativas

2

0

2 σσ ≠

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.α

(a)

(b)

(c)

2

0

2 σσ >
2

0

2 σσ <

Nível de significância =

( )
~

1
2

0

2

σ
Sn −

( )
2

1−nχEstatística – teste:

0σσ ≠

Teste de hipótese para a variância
com média desconhecida

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela .

(a) (b) (c)

2χ

2/α

2/α

α
α

4) Calcular o valor da variável do teste:

( )
2

0

2
2 1

σ
χ

Sn
cal

−
=

Região Crítica

( )
1

1

2

2

−

−
=

∑
=

n

XX

S

n

i

i

,

2

supχ
2

)1( −nχ0 2infχ
2

supχ
2

)1( −nχ0
2

)1( −nχ0 2
infχ

Se ou , rejeita-se

Se , não se pode rejeitar

Teste de hipótese para a variância
com média desconhecida

5) Conclusões:

2

sup

22

inf χχχ ≤≤ cal(a) .0H
2

inf

2 χχ <cal .0H
2

sup

2 χχ >cal

Se , rejeita-se

Se , não se pode rejeitar(b)

(c)

2

sup

2 χχ <cal .0H

Se , rejeita-se .0H
2

sup

2 χχ >cal

2

inf

2 χχ <cal

Se , não se pode rejeitar .0H

.0H

2

inf

2 χχ >cal

Teste de hipótese para a variância
com média desconhecida

Ex4:

Para testar a hipótese de que a variância de uma
população é 25, tirou-se uma amostra aleatória de 25
elementos obtendo-se . Admitindo-se ,

efetuar o teste de significância unilateral (unicaudal) a
3,182 =S 10,0=α

efetuar o teste de significância unilateral (unicaudal) a
esquerda.

Teste de hipótese para a variância
com média conhecida

Estatística - teste:

( )
21

2

~

n

i

iX

χ
µ∑

=

−

( )
2

2

1 ~ n
i χ

σ
=

Teste de hipótese para a diferença
de duas médias

1) Estabelecer as hipóteses:

dH =− 210 : µµ

Supondo que as variâncias populacionais são conhecidas,
independentes e normais.

Situação 1:

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.α

dH =− 210 : µµ
dH ≠− 211 : µµ

Para d = 0

Nível de significância =

(Testes unilaterais podem ser realizados)

210 : µµ =H

211 : µµ ≠H
(Testes para igualdade de duas médias)

Teste de hipótese para a diferença
de duas médias

Identificando a variável do teste:

21 µµ − 21 XX −

( )=− 21 XXE ( ) ( )=− 21 XEXE 21 µµ −( ) ( )
( )=− 21 XXV ( ) ( )=+ 21 XVXV

são independentes.1X 2Xe 2

2

2

1

2

1

nn

σσ
+

~21 XX − 







+−

2

2

2

1

2

1
21 ,

nn
N

σσ
µµ

( ) ( )

2

2

2

1

2

1

2121

nn

XX
Z

σσ

µµ

+

−−−
= )1,0(~ N (Estatística - teste)

Teste de hipótese para a
diferença de duas médias

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela da N(0,1).

2/α2/α

4) Calcular o valor da variável do teste:

Região Crítica

cz Z0

2/α2/α

cz−

( )

2

2

2

1

2

1

21

nn

dXX
Zcal

σσ
+

−−
=

Teste de hipótese para a
diferença de duas médias

5) Conclusões:

ccalc zzz ≤≤−Se , não se pode rejeitar .0H

ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >

Teste de hipótese para a
diferença de duas médias

Ex5:

Um fabricante faz dois tipos de pneus. Para o
tipo A, milhas, e para o tipo B, milhas.
Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40 pneus do tipo B,

obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de duração média

2500=σ 3000=σ

obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de duração média
dos respectivos tipos. Adotando-se , testar a
hipótese de que a vida média dos dois tipos é a mesma.

%4=α

Teste de hipótese para a
diferença de duas médias

Ex5:

1)

2)

0:0 =− BAH µµ

%4=α

0:1 ≠− BAH µµ

4)
( )

( ) ( )
40

3000

50

2500

02600024000

22

+

−−
=calZ 38,3−=

BA µµ =

BA µµ ≠

2)

3)

%4=α

Estatística – teste:

cz Z0

%2%2

cz−

%48

%48)0( =<< czZP 05,2=cz

4050

5)

Como então rejeitamos,
ao nível de significância de 4%, a
hipótese nula, em favor da hipótese
alternativa. Isso significa que a vida
média dos dois tipos de pneus são
diferentes.

05,238,3 −<−

( ) ( )1,0~
22

N

nn

dXX
Z

B

B

A

A

BA

σσ
+

−−
=

Teste de hipótese para a diferença
de duas médias

Supondo que as variâncias populacionais são desconhecidas,
mas são supostamente iguais.

Situação 2:

( ) ( )
22

2121 XX

σσ

µµ −−−
2σ1σ e desconhecidos.

Identificando a variável do teste:

( ) ( )2121 µµ


−−− XX

σσσ == 21

Estimador não tendencioso da variância, comum as duas populações, é dada por:

2

2

2

1

2

1

nn

σσ
+

21 e desconhecidos.

2

21

11
σ








+

nn

( ) ( )
221

1

2

22

1

2

11
2

21

−+

−+−
=

∑∑
==

nn

XXXX

S

n

i

i

n

i

i

ou
( ) ( )

2

11

21

2

22

2

112

−+
−+−

=
nn

SnSn
S

Teste de hipótese para a diferença
de duas médias

Identificando a variável do teste:

Supondo que as variâncias populacionais são desconhecidas,
mas são supostamente iguais.

Situação 2:

( )221 −+nnt
( ) ( )

~
11 2

21

2121

S
nn

XX









+

−−− µµ
=calt (Estatística - teste)

Teste de hipótese para a diferença
de duas médias

Ex6:

Uma amostra da população A forneceu os valores
10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13 e 9, e uma amostra da
população B forneceu os valores 14, 16, 16 e 10.

Supondo que a variável em análise tem distribuiçãoSupondo que a variável em análise tem distribuição
normal com variância , em ambas as populações,
teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que
a média da população A é igual a média da população
B.

2σ

Teste de hipótese para a diferença
de duas médias

Variâncias desconhecidas