Testes de Hipóteses
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Testes de Hipóteses

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e diferentes.Situação 3:

Variável do teste:

( ) ( )
( )t

XX
t ~21

21 −−−
=

µµ

os graus de liberdade para t são dados por:

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

1









−
+









−









+

=

n

S

nn

S

n

n

S

n

S

gl

( ) ( )
( )glt

n

S

n

S
t ~

2

2

2

1

2

1

21









+

=

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

1) Estabelecer as hipóteses:

dppH =− 210 :

dppH ≠− 211 :
(Testes unilaterais podem ser realizados)

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.αNível de significância =

Identificando a variável do teste:

21 pp − 21 ˆˆ pp −

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

Identificando a variável do teste:

( )=− 21 ˆˆ ppE ( ) ( )=− 21 ˆˆ pEpE 21 pp −

( )=− 21 ˆˆ ppV ( ) ( ) =−+ )ˆ,ˆ(2ˆˆ 2121 ppCovpVpV
2

22

1

11

n

qp

n

qp
+

0

21 nn

~ˆˆ 21 pp − 







+−

2

22

1

11
21 ,

n

qp

n

qp
ppN

( ) ( )

2

22

1

11

2121
ˆˆ

n

qp

n

qp

pppp
Z

+

−−−
= )1,0(~ N

(Estatística - teste)
( ) ( )

2

22

1

11

2121

ˆˆˆˆ

ˆˆ

n

qp

n

qp

pppp
Z

+

−−−
= )1,0(~ N

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela da N(0,1).

2/α2/α

4) Calcular o valor da variável do teste:

Região Crítica

cz Z0

2/α2/α

cz−

( ) ( )

2

22

1

11

2121

ˆˆˆˆ

ˆˆ

n

qp

n

qp

pppp
Zcal

+

−−−
=

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

5) Conclusões:

ccalc zzz ≤≤−Se , não se pode rejeitar .0H

ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

Freqüentemente , então:0=d

210 : ppH =

211 : ppH ≠
(Teste para igualdade de duas proporções)

Identificando a variável do teste:

( ) ( )

2

22

1

11

2121
ˆˆ

n

qp

n

qp

pppp
Z

+

−−−
=

Por :0H ppp == 21

( )

21

21
ˆˆ

n

pq

n

pq

pp
Z

+

−
=

( )









+

−
=

21

21

11

ˆˆ

nn
pq

pp

Estimador apropriado de p, levando em
consideração todas as observações é:

21

2211
ˆˆ

ˆ
nn

pnpn
p

+
+

=

Identificando a variável do teste:

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

Para :0=d

( )

( )
( )1,0~

11
ˆ1ˆ

ˆˆ
21 N

pp

pp
Z







+−

−
= (Estatística - teste)

( ) 11ˆ1ˆ
21 nn

pp 







+−

onde:

21

2211
ˆˆ

ˆ
nn

pnpn
p

+
+

=

Teste de hipótese para a diferença entre
as proporções de duas populações

Ex7:

Deseja-se testar se são iguais as proporções de
homens e mulheres que lêem revista e se lembram de
determinado anúncio. São os seguintes os resultados de

amostras aleatórias independentes de homens eamostras aleatórias independentes de homens e
mulheres:

onde x1 é o número de homens que se lembram do
anúncio e x2 é o correspondente número de mulheres.

Admita

701 =x

Homens Mulheres

502 =x

2002 =n2001 =n

%.10=α

Teste de hipótese para a igualdade
de duas variâncias

1) Estabelecer as hipóteses:

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

22

2

2

10 : σσσ ==H
2

2

2

11 : σσ ≠H

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do
teste:

.αNível de significância =

Identificando a variável do teste:

( )
~

1
2

1

2

11

σ
Sn

U
−

=

( )
~

1
2

2

2

22

σ
Sn

V
−

=

( )
2

11−n
χ

( )
2

12 −n
χ

( )

( )
2

2

2

22

2

1

2

11

1

1

σ

σ
Sn

Sn

V

U

−

−

=
( )

( )

~

1

1

/

/

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

−

−
=

n

V

n

U

S

S

σ
σ

( )1,1 21 −− nnF

Teste de hipótese para a
igualdade de duas variâncias

Supondo verdadeira:

(Estatística - teste)

0H

=
2

2

2

2

2

1

2

1

/

/

σ
σ

S

S

22

2

2

1 σσσ ==

( )1,12
2

2

1

21
~ −− nnF

S

S

22 /σS 2S

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela da distribuição F.

supf

2/α

( )1,1 21 −− nnF
0

inff

2/α Região Crítica

Teste de hipótese para a
igualdade de duas variâncias

4) Calcular o valor da variável do teste:

2

2

2

1

S

S
Wcal =

5) Conclusões:

Se ou , rejeita-se

Se , não se pode rejeitarsupinf fWf cal ≤≤ .0H

inffWcal < .0HsupfWcal >

Teste de hipótese para a
igualdade de duas variâncias

Ex8:

Queremos verificar se duas máquinas produzem
peças com a mesma homogeneidade quanto à
resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas

amostras de seis peças de cada máquina, e obtivemosamostras de seis peças de cada máquina, e obtivemos
as seguintes resistências:

Admita %.10=α

Máquina A 145 127 136 142 141 137

Máquina B 143 128 132 138 142 132