Magna 01 Ondas Eletromagneticas I

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Ondas Eletromagnéticas
Física Geral F-428 1
2
Radiação Eletromagnética
&
Onda Eletromagnética
3
Veremos:
• Uma onda eletromagnética ou radiação eletromagnética é uma forma 
de energia que se propaga no espaço, em meios materiais ou até 
mesmo no vácuo;
• No vácuo, ela se propaga na forma de ondas com uma velocidade 
constante bem definida, designada por c, a velocidade da luz no 
vácuo;
• Ela é emitida (e também absorvida) por partículas com carga elétrica 
que são aceleradas;
• Numa onda eletromagnética, temos o campo elétrico e o campo 
magnético que oscilam, e guardam uma relação fixa entre si; 
• e são perpendiculares entre si, e também perpendiculares à 
direção em que a onda se propaga.
Onda Eletromagnética
E

B

E

B

4
Sensibilidade do Olho Humano
Comprimento de onda (nm)
S
e
n
s
ib
ili
d
a
d
e
 R
e
la
ti
v
a
Frequência (Hz)
Comprimento de onda (m)
Comprimento de onda (nm)
Espectro Visível
Ondas Eletromagnéticas
Ondas Longas Ondas de Rádio Infravermelho Ultravioleta Raios X Raios gama
5
As Equações de Maxwell
Onde e são os campos elétrico e magnético, é a permissividade 
do vácuo, é a permeabilidade do vácuo, é a densidade de corrente 
elétrica e é a densidade de carga. 
No vácuo!!!!
6
As Equações de Maxwell
As duas últimas equações na coluna à direita mostram que variações espaciais ou 
temporais do campo elétrico (magnético) implicam em variações temporais ou 
espaciais do campo magnético (elétrico).
No vácuo!!!!
Onde e são os campos elétrico e magnético, é a permissividade 
do vácuo, é a permeabilidade do vácuo, é a densidade de corrente 
elétrica e é a densidade de carga. 
Um pouco da história.....
• Oersted mostrou que corrente elétrica produz 
campo magnético.
• Faraday mostrou que campos magnéticos 
variáveis no tempo produzem campos elétricos 
(lei da indução de Faraday).
• Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis 
no tempo produzem campos magnéticos (lei da 
indução de Maxwell).
7
   trBtrE ,,


(reciprocidade)
A equação de onda 
Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra 
vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda com fontes
(e assim as ondas são criadas: por 
densidades de carga e corrente dependentes da posição e tempo) 
8
A equação de onda 
9
Aqui u pode ser qualquer uma das 
componentes de E ou B: Ex ,Ey ,Ez ,Bx ,By ,Bz .
i) A variação de no tempo gera a dinâmica dos 
campos . 
ii) Mesmo numa região onde são nulos, pode haver 
campos obedecendo às equações:
10
0  8,85418  10
-12 C2/ N. m2
0 = 4  10
-7 T.m/A
Hoje:
c = 299.792.458 m/s
Exato!
(equação de onda) 
A equação de onda 
Assim, as equações obedecidas pelos componentes de 
são da forma:
James Clerk Maxwell (1862)
“A velocidade das ondas transversais em nosso 
meio hipotético, calculada a partir dos 
experimentos eletromagnéticos dos Srs. 
Kohlrausch e Weber, concorda tão exatamente 
com a velocidade da luz, calculada pelos 
experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil 
evitar a inferência de que a luz consiste nas 
ondulações transversais do mesmo meio que é 
a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”.
11
O experimento de Hertz 
(1885-1889)
12
(Descoberta das ondas de rádio em 1887)
A confirmação experimental veio 
com Heinrich Hertz
13
1. Bobina de indução produz alta voltagem
2. Faísca produz ondas eletromagnéticas
3. Ondas eletromagnéticas criam corrente elétrica 
no circuito produzindo pequenas faíscas 
Uma brincadeira... peguemos uma função ...
x
14
y = x2 y = (x-a)
2
y
y = (x-a)2 = (x-vt)2
x=0 x=a
Podemos fazer a função se deslocar no sentido 
positivo ou negativo de x:
sin(kx - t) ou sin(kx +t)
No nosso caso, começaremos com:
No caso de uma função oscilante...
15
(OBS.: poderíamos igualmente ter começado com Ez e By convenientes)
A equação de onda 
16
(onda se propaga na direção x)
A solução geral da equação de onda é
Em particular
É solução da equação de onda:
Período:
Frequência:
Comprimento 
de onda:
Velocidade de 
uma onda:
T
1
f
T


v f
k

 
Frequência 
angular: 2 f 
Número de 
onda: 2k 


Ondas eletromagnéticas
17
18
Ondas eletromagnéticas progressivas (1)
 Processos subatômicos podem produzir ondas eletromagnéticas
tais como raios gama, raios X e luz ( ‘pequenos’)
 As ondas eletromagnéticas também podem ser produzidas por um
oscilador ligado a uma antena
 A ligação entre o circuito da esquerda 
e o circuito da direita se dá por meio
de um transformador 
 Uma antena dipolo é usada como 
uma aproximação de um dipolo elétrico
 A voltagem e a corrente na antena
variam senoidalmente com o tempo 
e fazem as cargas na antena oscilarem com a frequência característica 
do circuito 
 As ondas eletromagnéticas criadas pelas cargas aceleradas se 
propagam a partir da antena com uma velocidade c e uma frequência f
= 0/(2)
P
Os campos naquele ponto “distante” P:
19
Maior 
amplitude
Menor 
amplitude
Amplitude
nula
P
k
E
B
k
 Note que os campos em P crescem, atingem um máximo, 
depois decrescem, zeram, crescem para o outro lado 
invertendo, atingem um máximo, decrescem etc...., 
e assim continuam...
 Observe que a direção de propagação, dada pelo 
vetor k sempre aponta para você (verifique aplicando 
a regra da mão direita).
Os campos em um ponto distante P....
20
Frentes de onda Raio
Componentes 
do campo 
elétrico
Componentes 
do campo 
magnético
Ondas eletromagnéticas planas
21
Direção de 
propagação
×
Propagação da Onda
22
 Para derivar esta equação, começamos por
 Tomando o rotacional desta equação, vemos que o lado direito se converte
em
 Já para o lado esquerdo temos
 Assim
Usar equação de Maxwell 
no vácuo – onde não
existem cargas ou
correntes
0
Derivando a equação da onda para o campo elétrico: 
1/v2 = 1/c2
23
Soluções de onda para as equações de Maxwell 
 Uma solução para as equações de Maxwell é uma onda eletromagnética.
 Assumiremos que as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo
(onde não existem cargas ou correntes).
 Partiremos da hipótese inicial de que as intensidades do campo elétrico e do
magnético em ondas eletromagnéticas são dadas por :
onde k = 2 / é o número de onda e  = 2 f a frequência angular de uma 
onda de comprimento de onda  e frequência f.
24
Soluções de onda para as equações de Maxwell 
 Note que não há dependência com as coordenadas y e z, somente
com a coordenada x e com o tempo t. Portanto, todos os pontos de mesmo x 
terão o mesmo valor dos campos no mesmo instante. 
 O que representa x = constante? Um plano!
 Esse tipo de onda é denominado onda plana.
 Podemos mostrar que estes E e B escritos dessa forma geral satisfazem 
as equações de Maxwell.
 Podemos fazer a função se deslocar no sentido positivo ou negativo de x 
simplesmente trocando o sinal relativo entre os dois termos:
sen(kx - t) ou sen(kx +t).
25
Ondas eletromagnéticas
(3ª Eq. de Maxwell)
• Sejam: 
)sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy  
c
B
E
c
kB
E
z
y
m
m 

Bz transverso à direção 
de propagação da onda: 
00
1

c
xˆ
zˆ
yˆ
26Tomemos:
Também dá para usar a forma integral...
(como feito no livro)
     
t
B
x
E
t
B
dx
dt
dB
dx
dt
dΦ
dx
x
E
tx,Etdx,xEd.
dt
dΦ
d.
B
B
























xconst
sE
sE
(e chegamos à mesma relação anterior)
Integral de linha de E.ds sobre os lados do retângulo de lados dx e ℓ =  (variação temporal do fluxo magnético no mesmo retângulo)
27
Ou ainda...
28
     
t
E
x
B
t
E
dx
dt
dE
dx
dt
dΦ
dx
x
B
tdx,xBtx,Bd.
dt
dΦ
d.
E
E




















00
00






xconst
sB
sB
Integral de linha de B.ds sobre os lados do retângulo de lados dx e ℓ =  (variação temporal do fluxo elétrico no mesmo retângulo)
Uma onda plana...
(se propagando na direção x)
• As expressões para Ey e Bz nos dão as componentes 
respectivas para cada ponto com coordenada x em cada 
instante t.
• Agora os valores de Ey e Bz dependem apenas de x e 
não dependem das coordenadas y e z do ponto no 
espaço. Isso significa que todos os pontos com o 
mesmo x terão as mesmas componentes dos 
campos.
• Portanto, em todos os pontos do plano que corresponde 
a um dado x, os campos serão iguais. 
29
Para ajudar você a imaginar uma onda plana...
30
x
y
z
E
Algumas perguntas....
• E se a propagação da onda fosse na 
direção y?
• Se a propagação fosse na direção z?
• Se a propagação fosse numa direção 
qualquer ?
31
Mais algumas perguntas...
• Por que escolhemos a função seno?
• Não poderíamos escolher a função 
cosseno?
• E se a onda seguisse uma função mais 
complicada?
32
• Em geral, qualquer função periódica pode ser escrita como uma
série (soma) possivelmente infinita de funções seno e cosseno:
uma série de Fourier:
Ex.: Onda quadrada
33
Outro exemplo:
34
Veja a animação aqui:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_dente_de_serra#/media/File:Synthesis_sawtooth.gif
Por essa razão...
• Já que as equações de onda são lineares 
nos campos (implicando que somas de 
soluções são solução),
• E qualquer função periódica pode ser 
escrita como uma soma de funções senos 
e cossenos,
• Então podemos simplificar e estudar 
apenas as soluções senoidais..
35
36
Transporte de energia (1)
• Ondas eletromagnéticas transportam energia;
• Sob a luz solar, sentimos calor... se você ficar muito tempo sob a luz do Sol, 
sua pele vai ficar bronzeada;
• Estes fenômenos se devem às ondas eletromagnéticas emitidas pelo Sol;
• A energia gerada por reações nucleares no Sol é transportada por ondas 
eletromagnéticas;
• A taxa de energia transportada por uma onda eletromagnética é normalmente 
definida como:
• Esta grandeza é denominada vetor de Poynting, em homenagem ao físico 
britânico John Poynting, que discutiu suas propriedades pela primeira vez
Vetor de Poynting: fluxo de energia= energia por unidade de área por unidade de tempo
Transporte de energia (2)
 O módulo do vetor de Poynting está relacionado à taxa instantânea segundo 
a qual a energia é transportada por uma onda eletromagnética através de 
uma determinada área.
 Mais simplesmente, a potência instantânea por unidade de área é
 A unidade do vetor de Poynting é W/m2.
 No caso de uma onda eletromagnética, como B é perpendicular a E, podemos 
escrever simplesmente
0
1
S EB


37
Transporte de energia (3)
 Sabemos que as intensidades dos campos elétrico e magnético estão 
relacionadas através da relação E/B = c.
 Podemos expressar a potência instantânea por unidade de área de uma
onda eletromagnética em termos da intensidade do campo elétrico ou do 
campo magnético.
 Normalmente, no entanto, é mais fácil medir campos elétricos do que
campos magnéticos, portanto escolhemos expressar a potência instantânea 
por unidade de área como
 Agora podemos usar a forma senoidal para o campo elétrico – mostrada 
abaixo – e obter uma expressão para a potência transportada por unidade de 
área
38
Transporte de energia (4)
 A maneira usual de descrever a potência por unidade de área de uma onda 
eletromagnética é a intensidade I da onda, dada por:
 A unidade para a intensidade é a mesma unidade do vetor de Poynting, W/m2.
 A média do sen2(kx-t) no tempo é ½ : 
 Assim, podemos expressar a intensidade como
2
max
0
22
max
2
2
1
2
1
)(sin
1
Edttkx
T
EE
T
rms 

 
  

(rms significa ‘root mean square’)
39
Transporte de energia (5)
 Uma vez que as intensidades dos campos elétrico e magnético de toda onda 
eletromagnética estão relacionados por E = cB, e c é um número grande, 
talvez você viesse a concluir que a energia transportada pelo campo elétrico 
fosse maior do que a transportada pelo campo magnético.
 Na verdade, a energia transportada pelo campo elétrico é igual à energia 
transportada pelo campo magnético.
 É possível entender este fato se lembrarmos que a densidade de energia de 
um campo elétrico é dada por
 E a densidade de energia de um campo magnético é dada por
40
Transporte de energia (6)
 Se substituirmos
 Obtemos
 Obtemos o resultado de que a densidade de energia do campo elétrico
é igual à densidade de energia do campo magnético em qualquer lugar
da onda eletromagnética.
41
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos
 
A
f
danSP ˆ

Emissão isotrópica:
SrSnS  ˆˆ

2med 4 R
P
SI
f


Ondas eletromagnéticas esféricas
SRPf
24
42
Fonte pontual
Pressão de radiação (1)
 Ao caminhar sob a luz solar, você sente calor, mas não sente força alguma 
proveniente do Sol. 
 A luz solar exerce uma pressão sobre você, mas esta pressão é tão pequena 
que você não consegue percebê-la.
 Este tipo de radiação não é necessariamente a mesma que a radiação 
radioativa decorrente da desintegração de núcleos instáveis.
 Vamos calcular a intensidade da pressão exercida pelas ondas 
eletromagnéticas.
43
Pressão de radiação (2)
 Uma onda eletromagnética transporta energia, U.
 Uma onda eletromagnética também transporta momento linear, p.
 Digamos que uma onda eletromagnética incidente em um objeto seja 
totalmente absorvida pelo objeto durante um intervalo de tempo t.
 O objeto ganhará energia U proveniente das ondas eletromagnéticas
durante um intervalo de tempo, e podemos relacionar a mudança no
momento do objeto |p | à mudança da energia com
 A variação no momento do objeto será no mesmo sentido da onda 
eletromagnética incidente.
c
U
p



44
Pressão de radiação (3)
 Se, ao invés disso, o objeto refletir totalmente as ondas eletromagnéticas,
o ganho de momento do objeto será duas vezes maior do que o momento
da onda incidente, por causa da conservação de momento, no sentido da 
onda incidente
 A segunda lei de Newton nos diz que .
 Para obter uma expressão para a pressão exercida por uma onda 
eletromagnética em termos da intensidade da onda, lembramos que
 a potência é a energia por unidade de tempo,
 a intensidade é a potência por unidade de área.
c
U
p


2
dt
pd
F


45
Pressão de radiação (4)
 Portanto, podemos relacionar a intensidade da onda ao momento transferido ao 
objeto quando a onda eletromagnética é absorvida:
o que nos dá uma expressão para a força exercida pela radiação no objeto A pressão pr é definida como a força por unidade de área, e assim, podemos 
escrever a pressão de radiação pr devido à absorção total da onda 
eletromagnética como:
OBS.: Não confunda o momento p com a pressão pr !!! A pressão está escrita com um subíndice r !!
pp  

(OBS.: escrevemos )
46
Momento linear transferido para um 
objeto em que incide a radiação
k
c
U
p
a
ˆ

Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear: haverá uma força sobre a superfície! 
k
c
U
p
r
ˆ2



no caso de absorção total
total da radiação
no caso de reflexão
total da radiação 
(colisão elástica)
p

p

p


kˆ
Obs.: veja que o momento transferido é o dobro neste caso: 
 2 otransferidinicialfinalrefletido pp)p()p(ppp
  
47
(Aqui o subíndice ‘a’ se refere a “absorção total”)
(Aqui o subíndice ‘r’ se refere a “reflexão total”)
Pressão de radiação (5)
 Se a onda eletromagnética é refletida, a pressão de radiação é o dobro:
Luz do Sol:
 A intensidade da luz do Sol é de até 1400 W/m2
 A pressão de radiação máxima para a luz do Sol que é totalmente absorvida é
 Sendo assim, a pressão de radiação da luz do Sol é muito pequena e não a 
percebemos...
2
r
I
p
c

(Já aqui o subíndice ‘r’ é para lembrar que se trata de uma Pressão!)
48
Mais um exemplo: 
pressão de radiação de um apontador a laser (1)
 Um apontador laser verde possui uma potência de 1 mW;
 Façamos o feixe do laser incidir perpendicularmente a uma folha de papel 
branca, que reflete a luz.
 A mancha luminosa sobre o papel tem 2 mm de diâmetro.
Questão:
Que força a luz proveniente do apontador laser exerce sobre o papel?
Resposta:
 A intensidade luminosa do apontador laser é dada por
49
Exemplo: pressão de radiação de um 
apontador laser (2)
 A pressão da radiação é igual à força exercida pela luz dividida pela área 
sobre a qual ela incide
 Assim, a força exercida sobre o papel é
50
Pinça óptica
 Anteriormente vimos que a força exercida pela luz em objetos é da ordem de 
10-12 N (picoNewton).
 Essa força é muito pequena para afetar objetos macroscópicos.
 Porém lasers bastante intensos focados em uma área pequena podem 
exercer forças tais que nos permitem manipular objetos tão pequenos quanto 
um único átomo.
 Essas forças são suficientemente intensas para mover e/ou segurar estes 
objetos.
 Esses dispositivos são chamados de “pinças ópticas”.
 Usadas em geral na manipulação de DNA.
51
Resumo da aula até agora...
• Ondas eletromagnéticas consistem de campos 
elétricos e magnéticos oscilantes;
• Os campos variáveis criam um ao outro 
reciprocamente, mantendo a propagação da onda 
autossustentável: um E variável cria B e um B
variável cria um E;
• E e B são perpendiculares à direção de 
propagação da onda (ondas transversais) e E é 
perpendicular a B;
• Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo 
com velocidade c.
52
c = 299 792 458 m/s (exato)!
Resumo da aula até agora...
• A direção de E  B dá a direção de propagação 
da onda (lembre da regra da mão direita!);
• Ondas eletromagnéticas transportam energia (S) 
e momento p (e, portanto, exercem pressão);
53
54
ADENDOS
Ondas eletromagnéticas 
Problema 1 (Cap.33; Ex.4)
Um certo laser de hélio-neônio emite luz
vermelha em uma faixa estreita de comprimentos
de onda em torno de 632,8 nm, com uma
“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em
unidades de frequência, da luz emitida?
55
Largura: , f
Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de
comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100
nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?
nm)0050,08,632(
2




HzGHzm
m
sm
f 5,71075,01010
)108,632(
/103 1092
229
8



 

   2221 cfcfcddfccf
!1074083,4
)108,632(
103 14
9
8
Hzf 




mas:
Note que:






f
ff
f
z
f
ff H10)004,0083,474(
2
12


56
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma
potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção 
de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor. 
Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as 
extremidades da antena receptora.
Ondas eletromagnéticas 
Problema 2
57
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média 
de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está 
a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal 
entre as extremidades da antena receptora. 
kWP
d
P
ItkxEE
f
f
m
4
4
;)(sen
2




f
d = 4 km
E
B
x
y
L = 
0,65 m
2/1
00
2
)()(... 





   c
P
d
L
LdEdydEmef
f
m
L
mL
mVV
mFsm
W
m
m
L 80080,0
)/1085,8()/103(2
104
104
65,0
2/1
128
3
3











;
2
)(
2
1
2/1
2
0
2
0 






dc
P
dEEcI
f
mm  mF /1085,8 120 
58
Problema 3 (Cap.33; Ex.16)
Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de 
onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz é 
posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa dB/dt com a 
qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição 
do detector?
sT
t
B
max
/1044,3 6


c = 2,998 108 m/s
59
Ondas eletromagnéticas 
Problema 4 (Cap.33; Ex.27)
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg
(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de
qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um
laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá
após transcorrer um dia, por causa do momento linear
associado à luz do laser?
60
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta),
está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta
ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após
transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?
m
xvv ˆ

luzn pp


dt
dp
F
dt
pd
F luzn
n
n 

mc
P
ama
c
P
Fn 
x
c
U
pluz ˆ

c
P
dt
dU
dt
dpluz 
c
1
attvvatvtv  )(0se;)( 00
s 86400606024dia 1;kg 1500;kW 10  mP
!/109,1
/1031500
8640010 3
8
4
sm
smkg
sW
t
mc
P
v 



61
Problema 5 (Cap.33; Ex.30)
Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente, 
0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica fazendo 
com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso 
da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa específica de 
19,0 g/cm3. (a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa? (b) 
Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por 
que o equilíbrio da esfera seria instável?
62
Ondas eletromagnéticas 
Problema 6 (Cap.33; Ex.37)
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois
filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização
da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são
 para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da
intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto
vale  ?
63
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em
relação à direção de polarização da luz incidente, as direçõesde polarização dos
filtros são  para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade
incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale  ?
 90
0
I2
I0
I1
E
1,0
0
2 
I
I
Dado:
  1,0sencossen90sencos90coscos 2222
0
2  
I
I
)90(coscos)90(cos;cos 220
2
12
2
01   IIIII
 2224 cos;01,001,0coscos  xxx





2
775,01
2
4,011
x


4,703354,0cos1125,0
6,199421,0cos8875,0
22
11


64
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
As densidades de energia elétrica e magnética 
2
0
0
2
2
2
1
2
),(como E
c
E
tru
c
E
B
B
 

0
2
2
0
2
),(e
2
1
),( 
B
truEtru
BE


A densidade total de energia armazenada no campo de radiação 
2
0
),(),(),( Etrutrutru
BE
 
00
1

c
65
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
x
z
y
k

0
E

0
B

danad ˆ

tc
U
Definindo
BES


0
1

0
E

0
B

S

|| SI


S
 (vetor de Poynting) :
 
A
danS
dt
dU
P ˆ

IBE 0|| 

ta
U
I



Potência transmitida:
66
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
Como )(sin),( 22
0
2 trkEtrE  
A média temporal da densidade de energia é dada por 
2
00
2
1
0
22
00
2
0
2
1
)(sin
1
Edttrk
T
EEu
T
 


  

Intensidade da radiação: definida pela média
2
00
2
1
Eccuc
V
U
ta
U
ta
U
I 













x
z
y
kˆ
0
E

0
B

ad

tc
U
67
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
x
z
y
k

0
E

0
B

ad

tc
U
Como:
ktrk
c
E
BE ˆ)(sin 2
2
0  
2
000
2
0
2
1
2
|| Ec
c
E
BE  
2
00
2
1
Ec
ta
U
I 



IBE 0|| 

)sin(),( 0 trkEtrE  

68
A barra em cima do U representa a média do U no tempo 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
x
z
y
k

0
E

0
B

dansd ˆ

tc
U
0
E

0
B

S

A mesma onda eletromagnética que 
transporta a energia também 
transporta momento linear: 
U
k
c
U
p ˆ



Densidade de momento linear ( ):
k
c
S
k
c
u
V
p ˆ||ˆ
2



BE
c
S 


 02p 
cuIS 

BES


0
1

p

69
Ondas eletromagnéticas 
Se há uma força  haverá uma pressão de radiação
tIAU 
c
I
A
F
c
IA
t
p
F aabs
a
a  Pressão

Pressão de radiação 
na absorção total
p

c
I
A
F
c
IA
t
p
F rrefabs
r
r
2
Pressão
2
 

Pressão de radiação 
na reflexão total
p

p


k
c
U
p
a
ˆ

k
c
U
p
r
ˆ2



70