Aula_Teoria_de_Erros

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Teoria de Erros
�Mensurando é a grandeza a ser determinada num processo
de medição. Como regra geral, valor verdadeiro do
mensurando é uma quantidade desconhecida, isto é,
mesmo após a medição, o valor verdadeiro do mensurando só
pode ser conhecido aproximadamente, devido a erros de
medição � Esta é a razão da abordagem estatística para amedição � Esta é a razão da abordagem estatística para a
Teoria de Erros
�Quando o valor verdadeiro é conhecido � Aferição de
equipamentos ou experiências didáticas
Objetivos da Teoria de Erros
1) Obter o melhor valor para o mensurando a partir dos dados
experimentais disponíveis. Isto significa determinar a melhor
aproximação possível para o valor verdadeiro, em termo
η = y − yvErro �
aproximação possível para o valor verdadeiro, em termo
probabilísticos.
2) Obter a incerteza no melhor valor obtido, o que significa
determinar quanto este melhor valor pode ser diferente do valor
verdadeiro da grandeza física, em termos probabilísticos.
Teoria de Erros
Justificativa para a função gaussiana
1) Superposição de 2 distribuições retangulares: Uma variável 
discreta X, que só pode ter 5 valores equiprováveis: -2, -1, 0, 1 e 2
Justificativa para a função gaussiana
2) Superposição de 2 distribuições retangulares
Justificativa para a função gaussiana
3) Superposição de 3 distribuições retangulares
Relembrando
1) Obter o melhor valor para o mensurando a partir dos dados
experimentais disponíveis. Isto significa determinar a melhor
aproximação possível para o valor verdadeiro, em termo
η = y − yvErro �
aproximação possível para o valor verdadeiro, em termo
probabilísticos.
2) Obter a incerteza no melhor valor obtido, o que significa
determinar quanto este melhor valor pode ser diferente do valor
verdadeiro da grandeza física, em termos probabilísticos.
Melhor aproximação para o valor verdadeiro
Se uma medição de uma determinada grandeza y é repetida n vezes
com o mesmo instrumento de medidas, a melhor aproximação
para o valor verdadeiro da grandeza é o valor médio:
Incerteza
Uma grandeza física experimental deve ser determinada a partir de
medição e o resultado é sempre uma aproximação para o valor
verdadeiro. Os objetivos da teoria de erros consistem em
determinar o melhor valor possível (valor experimental) para a
grandeza a partir das medições e determinar quanto o melhor valorgrandeza a partir das medições e determinar quanto o melhor valor
obtido pode ser diferente do valor verdadeiro.
A incerteza no melhor valor y pode ser definida como uma
indicação de quanto este melhor valor pode diferir do valor
verdadeiro do mensurando, em termos de probabilidade.
Vamos estudar agora como calcular as incertezas em uma
medição...
Erros sistemáticos e Estatísticos
Se a melhor aproximação para o valor experimental é a média,
então a incerteza na medição deve estar associada à dispersão dos
valores ao redor da média.
O desvio padrão é um estimador da dispersão em torno da média
Erros sistemáticos e Estatísticos
� Erro sistemático: É sempre o mesmo nos n resultados. Isto
é, quando existe somente erro sistemático, os n resultados yi
são iguais e a diferença para o valor verdadeiro yv é sempre a
mesma.
� Erro estatístico ou aleatório: É um erro tal que os n� Erro estatístico ou aleatório: É um erro tal que os n
resultados yi se distribuem de maneira aleatória em torno do
valor verdadeiro yv (na ausência de erro sistemático).
Conforme o número de repetições da medição aumenta
indefinidamente o valor médio se aproxima do valor
verdadeiro da grandeza.
Erros sistemáticos
� Erros Sistemáticos instrumentais
�Erros Sistemáticos ambientais
� Erros Sistemáticos observacionais
�Erros Sistemáticos teóricos ...
�Sobram as incertezas sistemáticas residuais… 
Erros Estatísticos
O erro estatístico de uma medida é representado pelo desvio 
padrão do valor médio
Erro Total
( ) ( )22 sistesttotal xxx ∆+∆=∆
Precisão X Acurácia (exatidão)
�Acurácia ou exatidão é um conceito qualitativo para descrever
quanto o resultado de uma medição é próximo do valor verdadeiro.
Em outros termos, um valor muito acurado (ou muito exato) é um
valor muito próximo do valor verdadeiro, com erro total muito
pequeno.
� Precisão é um conceito qualitativo para caracterizar resultados� Precisão é um conceito qualitativo para caracterizar resultados
com erros estatísticos pequenos, com pequena dispersão em
relação ao valor médio verdadeiro. Em medições com boa
precisão, obtém-se resultados com muitos dígitos e bastante
repetitivos. Entretanto, pode existir erro sistemático grande e a
acurácia pode ser ruim.
Precisão X Acurácia (exatidão)
O seguintes casos abaixo são precisos? São acurados?
a)
b)
Precisão X Acurácia (exatidão)
c)
d)
Intervalo de confiança
Ex: Distribuição Gaussiana (ou normal)
(y −σ) < yv < (y +σ) ( com nível de confiança P)
Algarismos Significativos
Incerteza padrão experimental:
(y −σ) < yv < (y +σ) ( com nível de confiança P ≈ 68%)
Conceito de Algarismo Significativo: Algarismo significativo em
um número pode ser entendido como cada algarismo queum número pode ser entendido como cada algarismo que
individualmente tem algum significado, quando o número é
escrito na forma decimal.
O,OOOOXY ....ZWABCD...
Não significativo
Significativo
Não significativo
Exemplo
Uma distância foi medida, obtendo-se os resultados
y = 73,6m σ =1,2m 70,0 m < yv < 77,2 � C.L. ≈ 99,7%
Algarismos Significativos
� O primeiro algarimos em yv é 7 quase com certeza. Existe uma
probabilidade muito pequena que o algarismo correto seja 6.
� O segundo algarismo em yv é, quase com certeza, um dos
algarismos de 0 a 7. É muito pouco provável que seja 8 ou 9.
� O terceiro algarismoem yv pode ser qualquer um, mas a
probabilidade é um pouco maior para algarismo próximos de 6.probabilidade é um pouco maior para algarismo próximos de 6.
� Assim, quando se escreve y = 73,64 m e σ=1,23 m, o
algarismo 4 não é significativo porque este algarimo tem a
mesma chance de ser o algarismo correto que qualquer outro
algarismo de 0 a 9� é incorreto escrevê-lo no resultado
�O algarismo 3 na incerteza corresponde ao algarismo 4 e por
isso não tem muita utilidade.
Algarismos na incerteza padrão
�A incerteza padrão deve ser dada com 2 algarismos, quando o
primeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2.
�A incerteza padrão pode ser dada com 1 ou 2 algarismos,
quando o primeiro algarismo na incerteza for 3 ou maior.
O Resultado final para yv deve ter o 
mesmo número de casas decimais que σ 
Arredondamento de Números