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fffffh2 3r@ pi3fffffh3

d eLLLLLL
MMMMMM∆h + ∂∂rfffffffpi3fffffh2 3r@ pi3fffffh3

d eLLLLLL
MMMMMM∆r

∆V = pir ddh
fffffffh2b c@ pi3fffff

d e d
dh
fffffffh3b c

LLLLLL
MMMMMM∆h + pih2 ddrfffffffr` a@ ddrfffffffpi3fffffh3

d eLLLLLL
MMMMMM∆r

∆V = 2pihr@3pih
2

3
ffffffffffffffffLLLLLL

MMMMMM∆h + pih2@0
LLL MMM∆r

∆V = 2pihr@pih2
LLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r ou ∆V = pih 2r@h` aLLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r

Obs: Isso foi a demonstração, mas é claro que você pode pular esses passos e derivar diretamente a função,
faremos isso nos próximos exercícios.

Agora substituímos pelos valores fornecidos onde: h
fff
F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm

∆V= pi155,3 2B389,0 @155,3` aLLL MMM0,7 + pi155,3 2LLL MMM1,9

Colocando tudo isso na calculadora, obtemos: 356 627,591 3mm3
Agora passamos este valor para notação científica na mesma potência em que ficou a notação do volume, isto é,
10 7 mm3 . Devemos fazer isso para saber onde devemos arredondar o valor do desvio.

356 627,591 3mm3 = 0,035 662 759 13B10 7 mm3

Agora para arredondarmos olhamos o número de casas após a vírgula do volume, e aplicamos igualmente no
desvio, veja: V= 2,555B10 7 mm3 , vemos que têm três casas após a vírgula, portando o desvio também deve
ter este mesmo número de casas após a vírgula, então arredondando ∆V= 0,03 5fff662 759 13B10 7 mm3
temos: ∆V= 0,036B10 7 mm3 , agora podemos expressar a medida do volume da calota junto com seu erro
propagado:

V. = VF ∆V= 2,555B10 7 mm3F 0,036B10 7 mm3 = 2,555 F 0,036` aB10 7 mm3

2 – Mediu-se com um paquímetro a altura (h), o diâmetro maior (D) e o diâmetro menor (d) de um anel,
sendo os valores:

x. = xF ∆x` a
h. = 11,85 F 0,05` amm
D. = 50,25 F 0,05` amm
d. = 43,65 F 0,05` amm

Áreacírcunferência = pir 2

A partir da fórmula da área da circunferência determine:
a) as fórmulas da área da seção reta (circunferência maior) e do volume do anel.
b) calcule a área da seção reta e o volume do anel, respeitando as regras de operações com algarismos
significativos.
c) obtenha a equação do erro indeterminado para as duas fórmulas.
d) calcule os erros propagados para as duas fórmulas.
e) escreva os resultados das medidas indiretas em formato adequado, isto é:

Área = A´ = AF ∆A e Volume = V´ = VF ∆V.

GUIDG.COM 5

Resolução:
a) Primeiramente vamos esclarecer o que é a área da seção reta com a imagem, e depois escrevemos a nova
fórmula com base na fórmula fornecida pelo exercício.

Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio,
re-escrevemos a fórmula assim:

Áreacírcunferência = pir 2QA = pi D2
ffffff g2

=
piD2
4
fffffffffffff

Portanto a área da seção reta: A = piD
2

4
fffffffffffff

Agora a partir da fórmula da área da seção reta, podemos obter a fórmula do volume do anel, uma vez que o
volume da circunferência é calculado multiplicando a área da circunferência pela sua altura, o único problema é
que o anel não é maciço (possui o furo interno), então para isso calcula-se os dois volumes e subtrai-se o volume
maior do menor. Mas por enquanto o exercício pede apenas a fórmula.

Vanel =
pihD2

4
fffffffffffffffff

@
pihd2

4
fffffffffffffffff g

=

pih D2@d2
b c

4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

b) Agora que já temos as fórmulas basta substituir e calcular:
A = piD

2

4
fffffffffffff

=

pi50,252
4

fffffffffffffffffffffffffffff
= 1 98 3fff,179 45 = 1,983B10 3 mm2

Veja que o resultado é expresso em notação científica e com a quantidade adequada de algarismos significativos
(isto é quatro as) uma vez que nossas medidas possuem essa quantidade de as (lembre-se que isto é regra),
outra observação é a unidade de medida, fique atento! Neste caso a área é expressa em milímetros quadrados
(mm2 ).

Vanel =
pih D2@d2
b c

4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

=

pi11,85 50,252@43,652
b c

4
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

= 5 76 7fff,900 495 = 5,768B10 3 mm3
Da mesma forma calculamos o volume, que é expresso em milímetros cúbicos (mm3 ).

c) Para obter a equação do erro indeterminado, basta derivar as funções (isto é as fórmulas) parcialmente em
relação a suas respectivas variáveis.

A = piD
2

4
fffffffffffff
Q ∆A = ∂A∂D

fffffffffLLLLL
MMMMM∆D = ∂∂DfffffffffpiD

2

4
ffffffffffffff gLLLLLLL

MMMMMMM∆D =
2piD

4
fffffffffffffffLLLLL
MMMMM∆D = piD2ffffffffff

LLLLL
MMMMM∆D

No final da expressão acima, temos a equação do erro indeterminado da área, que nos levará ao erro propagado
da medida indireta, isto é o ∆A. Como foi dito no exercício anterior pulamos alguns passos, mas para as próximas
resoluções resumiremos ainda mais, no entanto o procedimento continua o mesmo, só que de forma mais rápida.

V=
pih D2@d2
b c

4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Q ∆V= ∂V∂h
fffffffffLLLLL
MMMMM∆h + ∂V∂Dfffffffff

LLLLL
MMMMM∆D + ∂V∂dfffffffff

LLLLL
MMMMM∆d =

pi D2@d2
b c

4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL

MMMMMMM∆h +
pihD
2
ffffffffffffffLLLLL
MMMMM∆D + @pihd2ffffffffffffffffffff

LLLLL
MMMMM∆d

Como foi dito, obtemos a equação do erro indeterminado para o volume, isto é o ∆V.

d) Para achar os erros propagados (isto é o ∆A e o ∆V), basta substituirmos os valores nas fórmulas e
calcularmos.
Os valores são: ∆A = 0,00 3fff946625771B10 3 = 0,004 B10 3 mm2 ;
 ∆V= 0,11 1ff729 564 6B10 3 = 0,112 B10 3 mm3

OBS: os valores devem ser expressos dessa forma: (1) passe o desvio (∆x) para a mesma notação exponencial da medida
indireta obtida anteriormente (ou seja, se no calculo da área obteve-se uma medida que ao passar para notação cientifica o
expoente de 10 foi três 10 3

b c
, devemos colocar o erro propagado nesta mesma potência, mas sem alterar o seu valor

verdadeiro, fazemos isso para determinar o número de algarismos significativos do erro propagado). (2) arredondamos o valor
de acordo com o número de algarismos significativos após a vírgula da medida indireta obtida anteriormente (isto é, se o
número de as após a vírgula no cálculo da área foi três, então devemos ter três as após a vírgula no erro propagado, e
atenção isto é regra!). (3) tome cuidado com as unidades de medida.
e) Área = A´ = AF ∆A = 1,983 F 0,004` aB10 3 mm2 ,
Volume = V´ = VF ∆V= 5,768 F 0,112` aB10 3 mm3 .

GUIDG.COM 6

3 - Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtenha a equação do erro
indeterminado ∆z` a para essas funções (que chamaremos de z). Considerando x= xF ∆x e y= yF ∆y
, onde x e y são constantes. Note que omitimos a aspa (’) em x e y para não confundir com a derivada que
também se representa por (’), mas normalmente em MEF usamos (’) para representar uma medida acompanhada
de seu desvio w. = wF ∆w` a.

Obs.: ∆z= ∂z∂x
ffffffffLLLLL
MMMMM∆x ou ∆z= ∂z∂xffffffff

LLLLL
MMMMM∆x+ ∂z∂yfffffff

LLLLLL
MMMMMM∆y

a) adição: z = x + y
∆z= dxdx

fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ dydyfffffff

LLLLLL
MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y

b) subtração: z = x – y
∆z= dxdx

fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ d @y

` a
dy
fffffffffffffffffffffLLLLLL

MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y

c) multiplicação: z = x.y
∆z= y dxdx

fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ x dydyfffffff

LLLLLL
MMMMMM∆y= y∆x+ x∆y

d) divisão: z = x/y
x
y
ffff

= xA y@ 1[∆z= y@ 1 dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ xdy

@ 1

dy
ffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y= ∆xyfffffffff+ x @1` ay@ 2

LLL MMM∆x= ∆xyfffffffff+ x∆yy2fffffffffff

e) potenciação: z = xn (n é um número qualquer)
∆z= dx

n

dx
ffffffffffLLLLL
MMMMM∆x= nxn@ 1 dxdxfffffff

LLLLL
MMMMM∆x=nxn@ 1 ∆x

f) logaritmo decimal: z = log x (neste caso “e” é o logaritmando, onde e = 2,718...)
∆z= ddx

ffffffflogxb c
LLLLL

MMMMM∆x= logexffffffffffffffdxdxfffffff
LLLLL

MMMMM∆x= logexffffffffffffff∆x

g) logaritmo natural: z = ln x (neste caso “e” é a base do logaritmo, onde e = 2,718...)
∆z= ddx

ffffffflnx
LLLLL

MMMMM∆x= 1xffffdxdxfffffff
LLLLL

MMMMM∆x= ∆xxfffffffff

h) exponenciação: z = ex
∆z= ddx

fffffffex
LLLLL

MMMMM∆x= ex dxdxfffffff
LLLLL

MMMMM∆x=ex ∆x

i) trigonométrica: