mef_cb-propagacao-de-erros
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z = sen x
∆z= ddx

fffffffsenx
LLLLL

MMMMM∆x= cos x dxdxfffffff
LLLLL

MMMMM∆x= cosx∆x

j) trigonométrica: z = cos x
∆z= ddx

fffffffcos x
LLLLL

MMMMM∆x= @senx dxdxfffffff
LLLLL

MMMMM∆x= senx∆x

k) trigonométrica: z = tg x
∆z= ddx

ffffffftgx
LLLLL

MMMMM∆x= sec2 x dxdxfffffff
LLLLL

MMMMM∆x=sec2 x∆x

OBS: a tabela geral de derivadas pode ser obtida no site.

GUIDG.COM 7

4A– Medida de Tempo de Reação humana: Com o auxilio de uma régua de 300 milímetros (30 cm) medimos
sete vezes o tempo de reação humana, sendo estes valores relativamente próximos.

Um estudante (a) segura a régua pela extremidade (30 cm)
enquanto o outro (b) fica atento para pegar a régua quando
(a) soltar, mas sem avisar. De todas as tentativas, montamos
uma tabela com sete medidas próximas que utilizaremos
nos exercícios.

i 1 2 3 4 5 6 7
Tabela 1 yi mm

` a

120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5

Subentendemos que você já tenha visto e estudado os Conceitos básicos da teoria de erros, caso contrário
será impossível resolver os exercícios abaixo.

A partir da tabela 1, seguindo os conceitos e regras da teoria, determine:

a) A média ou valor mais provável: y
fff
=

1
n
ffffX

i = 1

n

yi .

b) Monte uma tabela com o desvio de cada medida: ∆yi = yi@y
fffLLL MMM.

c) Monte outra tabela com o quadrado do desvio de cada medida: ∆yi
b c2

.

d) O desvio médio: ∆y
ffffffff

=

1
n
ffffX

i = 1

n

∆yi
LLL MMM.

e) O desvio padrão: σ y = 1
n@1
ffffffffffffffffX

i = 1

n

∆yi
b c2vuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
.

f) Informe o resultado da medida nos formatos:

(1) y. = y
fff
F ∆y
ffffffff

 ; (2) y. = y
fff
Fσ y ; (3) y. = y

fff
F erroescala ; (4) y. = y

fff
F erro

aleatório

Resolução:

a) Basta somarmos todos os valores da tabela 1 e dividir pelo número de medidas.

y
fff
=

1
7
ffffX

i = 1

7

yi

h
j

i
k

=

877,5
7
fffffffffffffffff

= 125, 3ff571429Q arredondando: yffff= 125,4 mm

b) Pegamos cada medida da tabela 1 e subtraímos da medida obtida na letra a. Esses valores são os desvios
das medidas. Colocamos em módulo, pois procuramos sempre pelo maior desvio.

i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 2
∆yi = yi@y

fffLLL MMM ∆yi mm` a 5,4 5,1 3,1 14,6 4,6 13,4 8,9

c) Pegamos a tabela 2 e elevamos cada desvio ao quadrado.

i 1 2 3 4 5 6 7
Tabela 3 ∆yi

b c2
mm2 29,16 26,01 9,61 213,16 21,16 179,56 79,21

d) Para o desvio médio, somamos todos os valores da tabela 2 e dividimos pelo número de medidas. Ou seja, é a
média aritmética dos desvios.

∆y
ffffffff

=

1
7
ffffX

i = 1

7

∆yi
LLL MMM

h
j

i
k

=

55,1
7
fffffffffffff

= 7, 8ff71428571Q arredondando: ∆yfffffffff= 7,9 mm

e) Para obter o desvio padrão, somamos os quadrados dos desvios, dividimos pelo número de medidas menos
uma unidade, e tiramos a raiz quadrada desse valor.

GUIDG.COM 8

σ y =
1

7@1
ffffffffffffffffX

i = 1

7

∆yi
b c2vuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=

1
6
fffX

i = 1

7

∆yi
b c2vuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=

557,87
6

fffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 9, 6ff42527331mmQ arredondando:σ y = 9,6 mm

f) Este passo apesar de simples também é importante, é a apresentação final das medidas:
(1) y. = 125,4F 7,9

b c
mm

(2) y. = 125,4F 9,6
b c

mm

(3) O erro de escala é considerado como a metade da menor medida. Para a régua milimetrada o erro é
de 0,5mm então: y. = 125,4F 0,5

b c
mm

(4) Exclusivamente para o curso de MEF da UDESC Joinville, foi adotado o erro aleatório como sendo
igual ao desvio padrão, portanto: y. = 125,4F 9,6

b c
mm

4B – Ainda com base no exercício anterior (4A), resolva:
a) Sabendo que a equação que se aplica a este caso (olhe para a figura do exercício 4A) é:
y = y0 + v0 t +

1
2
fffgt2b c, obtenha a fórmula para o cálculo do tempo de reação (isto é, uma fórmula com a variável

tempo “t” isolada).

b) Usando a fórmula obtida na letra a, monte uma quarta tabela com o tempo de reação para cada medida da
tabela 1 do exercício 4A. Considere g = 980,66cmAs@ 2 .

c) Com base na tabela obtida na letra b, determine o valor mais provável do tempo de reação. t
ff
=

1
n
ffffX

i = 1

n

ti

d) A partir da fórmula obtida na letra a, obtenha a equação do erro indeterminado para o tempo de reação ∆ t
ff
.

e) Calcular o erro propagado (para o valor mais provável do tempo de reação) a partir da fórmula obtida na letra d.
Considere ∆y =erroescala .

f) Informe o resultado da medida indireta do tempo de reação no formato adequado.

Resoluções:

a) Como y0 e v0 t (espaço e velocidade) são iguais à zero no instante em que o estudante (a) da figura solta a
régua, podemos escrever a equação como:

y = 0 + 0 + 12
fffgt2b c= 12fffgt2

b c
Q então isolamos a variavel t2 e tirando a raiz quadrada dos dois lados temos

a fórmula para calcular o tempo de reação: t = 2yg
ffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

b) Para criar a tabela 4 precisamos de algumas informações, acompanhe abaixo:
Note que g esta em cmAs@ 2 , temos duas opções: passamos g para milímetros ou passamos as medidas para
centímetros. Desta vez pegaremos o caminho mais curto, passaremos g para milímetros:

1cm = 10mm

g = 980,66cmAs@ 2 = 980,66cm
s2

fffffffffffffffffffffffffffffff10mm
1cm
ffffffffffffffffff

= 9806,6mmAs@ 2

Agora vamos determinar a unidade que acompanhará as medidas: Realizando as operações, no final a unidade
que sobra é o segundo, e indicamos por s, veja por que:

t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Q y e g são dados em mm Q t = 2y mm

` a
g mm
` a

s@ 2
fffffffffffffffffffffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=

2y
gs@ 2
ffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=

2ys2
g
ffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=

2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww s` a

Veja que sobrou somente o tempo em segundos, fora da raiz ( pois s2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= s), e esta é a unidade final, note
também que g tem 5 algarismos significativos mas yi tem quatro, então nossos resultados também devem ter 4

GUIDG.COM 9

algarismos significativos, fazemos isso utilizando os critérios de arredondamento. Agora pegamos a tabela 1 e a
partir dos valores calculamos o tempo de reação para cada medida, sendo g = 9806,6mmAs@ 2 .

i 1 2 3 4 5 6 7
Tabela 1 yi mm

` a

120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5

i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 4

t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

ti s
` a

0,1564 0,1631 0,1619 0,1690 0,1628 0,1511 0,1541

c) Basta somar todos os valores da tabela 4 e dividir pelo número de medidas, depois arredondamos e colocamos
o resultado em notação científica:

t
ff
=

1
7
ffffX

i = 1

7

ti =
1,1184

7
fffffffffffffffffffff

= 0,159 7fff71428 s` a Q arredondando: 0,1598 s` a= 1,598B10@ 1 s

d) Como g é uma constante, a derivada se faz dessa forma:

t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2ygfffffff
f g12fffff

Q chamamos 2yg
fffffffde u, e aplicamos a definição da equação do erro indeterminado:

∆t = ∂t∂y
ffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y = dtdyfffffffA dudyfffffff

LLLLLL
MMMMMM∆y = ddyfffffff2ygfffffff

f g12fffff
A

d
dy
fffffff2y

g
ffffffff g

LLLLLLLL
MMMMMMMM∆y =

1
2
fff2y