A Distribuição Binomial

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A Distribuição Binomial
Henrique Dantas Neder
September 17, 2012
I Vamos supor uma variável aleatória discreta que tenha apenas
dois resultados possíveis: Sucesso (S) ou Fracasso (F). Vamos
codificar o resultado sucesso como sendo igual a 1 e o
resultado fracasso como sendo igual a 0. Então a repetição de
um experimento aleatório com apenas dois resultados
possíveis ocasionaria uma sequência de resultados tal como:
1,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,....
I Chamamos este experimento aleatório de experimento
aleatório de Bernoulli e a sua variável aleatória associada a
este experimento como variável aleatória de Bernoulli.
Digamos que a probabilidade de sucesso seja igual a p. Então,
em uma sequência infinita de realizações do experimento
teremos aproximadamente p × 100% resultados iguais a 1 e
(1− p)× 100% resultados iguais a 0.
I Geralmente designamos p como sendo um número decimal,
como por exemplo p = 0,235. Este experimento pode ser
visualizado mais concretamente da seguinte forma:
suponhamos que temos um auditório com N = 300 pessoas
sendo 75 pessoas com uma determinada característica e o
restante sem esta característica.
I Vamos selecionar aleatóriamente uma pessoa deste auditório e
designar como sendo sucesso a pessoa selecionada ter a
característica. A probabilidade p de sucesso será igual a
75/300 = 0, 25. Vamos considerar que podemos selecionar
mais pessoas indefinidamente mas para isto ser feito temos
que repor a pessoa selecionada anteriormente no auditório.
I Fazemos isto para conservar a probabilidade como sendo uma
constante e igual a 0,25. Este é um experimento Bernoulli.
I Podemos calcular a esperança matemática desta variável
aleatória, assim como a sua variância. A esperança
matemática será igual a:
E (X ) =∑Xp(x) = 0× (1− p) + 1× p = p
A variância será:
V (X ) =∑X 2p(x)− (E (X ))2 = 02 × (1− p) + 12 × p − p2 =
p − p2 = p(1− p)
I Uma variável aleatória binomial está relacionada a um
experimento aleatório de Bernoulli. Vamos supor que este
experimento de Bernoulli seja repetido n vezes. Cada uma
destas n repetições do experimento Bernoulli tem a mesma
probabilidade de sucesso p. Além disto, os resultados das
realizações do experimento são independentes, ou seja, o fato
de termos tido sucesso em uma realização não afetará a
probabilidade de termos sucesso ou fracasso em realizações
futuras.
I Digamos que realizamos n vezes o mesmo experimento
aleatório de Bernoulli e obtemos k sucessos. Este valor k
também pode ser concebido como uma variável aleatória
desde que imaginemos que podemos repetir a sequência de n
tentativas diversas vezes. Voltemos ao exemplo do auditório e
agora suponhamos que vamos selecionar com reposição n =
30 pessoas.
I Se fizermos uma primeira seleção desta amostra aleatória
poderemos ter um número de 12 pessoas com a característica
dentro da amostra de 30 pessoas, se fizermos uma nova
seleção, poderemos ter 18 pessoas e assim por diante. O
número de pessoas que tem a característica é uma variável
aleatória Binomial. Podemos então definir variável aleatória
binomial (e paralelamente um experimento aleatório binomial)
como:
1 - Seja Y uma variável aleatória de Bernoulli
2 - Realizamos o experimento Bernoulli n vezes
3 - Contamos quantas vezes foram obtidos sucessos
4 - O número de sucessos é uma variável aleatória Binomial
De acordo com o exemplo anterior poderemos ter uma sequência
como:
12,18,21,10,1,29,15,0,30,.....
I Um detalhe é que os valores desta sequência devem estar
contidos no intervalo [0,30]. Podemos imaginar que a
probabilidade de termos um valor igual a 0 ou 30 deve ser
muito baixo. A probabilidade de termos 30 sucessos é igual a
p30 = 0, 2530 = 8, 674× 10−19 ' 0 e a probabilidade de
termos 0 sucessos é igual a (1− p)30 = 0, 7530 = 0, 00017858.
I No entanto para valores intermediários deste intervalo de
resultados podemos valores de probabilidade não desprezíveis.
Para calcularmos a probabilidade para cada um destes valores
intermediários podemos utilizar a expressão:
P(X = x) =
(
n
x
)
px (1− p)n−x
I Por exemplo a probabilidade de X = 7 é:
P(X = 7) =
(
30
7
)
0, 257(1− 0, 25)30−7 =
30!
7!(30−x)!0, 257(1− 0, 25)30−7 = 0, 16623567
I Vamos definir uma rotina no Stata que calcule todas as
probabilidades para todos os valores contidos no intervalo de 0
a 30:
* ROTINA PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE UMA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
* definimos os parâmetros da variável aleatória binomial como
sendo: * p = 0,25 e n = 30
forvalues i=1(1)30 {
scalar p =
exp(lnfactorial(30))/(exp(lnfactorial(‘i’))*exp(lnfactorial(30-
‘i’)))*.25^‘i’*(1-.25)^(30-‘i’)
disp "P(X=‘i’) = ",p
}
I Os resultados de execução desta rotina são:
P(X=1) = .00178582
P(X=2) = .00863147
P(X=3) = .02685346
P(X=4) = .06042027
P(X=5) = .10472847
P(X=6) = .14545621
P(X=7) = .16623567
P(X=8) = .15930919
P(X=9) = .12980749
P(X=10) = .09086524
P(X=11) = .05506984
P(X=12) = .02906464
P(X=13) = .01341445
P(X=14) = .00542966
P(X=15) = .00193055
P(X=16) = .0006033
P(X=17) = .00016561
P(X=18) = .00003987
P(X=19) = 8.394e-06
P(X=20) = 1.539e-06
P(X=21) = 2.443e-07
P(X=22) = 3.331e-08
P(X=23) = 3.862e-09
P(X=24) = 3.754e-10
P(X=25) = 3.004e-11
P(X=26) = 1.925e-12
P(X=27) = 9.508e-14
P(X=28) = 3.396e-15
P(X=29) = 7.806e-17
P(X=30) = 8.674e-19
I Podemos desenvolver outra rotina Stata para desenharmos o
gráfico da função de probabilidade:
clear
set more off
set obs 30
gen x = .
gen p = .
forvalues i=1(1)30 {
scalar px =
exp(lnfactorial(30))/(exp(lnfactorial(‘i’))*exp(lnfactorial(30-
‘i’)))*.25^‘i’*(1-.25)^(30-‘i’)
replace x = ‘i’ in ‘i’/‘i’
replace p = px in ‘i’/‘i’ }
twoway (scatter p x)
I O gráfico resultante é:
0
.
05
.
1
.
15
.
2
p
0 10 20 30
x
I A distribuição de probabilidade correspondente a variável
aleatória Binomial irá depender dos valores dos parãmetros n
e p. No gráfico anterior podemos perceber uma certa
assimetria. Isto ocorre porque o valor do parâmetro p é
bastante distinto de 0,5. Existem duas situações possíveis em
que a distribuição de probabilidade da variável aleatória
Binomial será simétrica: ou quando o valor do parâmetro p =
0,5 ou quando mesmo que p 6= 0, 5 o valor de n é tão grande
(de forma que o produto np também seja grande. Um
exemplo é quando p = 0,25 (como no exemplo anterior e n =
100. Vamos adaptar a rotina anterior e produzir outro gráfico
para estes novos valores de parâmetros n e p:
clear
set more off
set obs 100
gen x = .
gen p = .
forvalues i=1(1)100 {
scalar px =
exp(lnfactorial(100))/(exp(lnfactorial(‘i’))*exp(lnfactorial(100-
‘i’)))*.25^‘i’*(1-.25)^(100-‘i’)
replace x = ‘i’ in ‘i’/‘i’
replace p = px in ‘i’/‘i’
}
twoway (scatter p x)
0
.
02
.
04
.
06
.
08
.
1
p
0 20 40 60 80 100
x
Podemos também calcular os valores da esperança matemática e
da variância para uma variável aleatória binomial. Sabemos que na
realidade uma variável aleatória binomial é uma soma de variáveis
aleatórias Bernoullis. Podemos empregar as propriedades do valor
esperado e da variância de uma variável aleatória para calcularmos
a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória
Binomial.
Se X = X1 + X2 + ...+ Xn então E [X ] = E [X1] + ...+ E [Xn] e
E [X ] = np, ou seja a esperança matemática de uma variável
aleatória binomial é igual ao produto do número de repetições n e
a probabilidade p. Se consideramos que as variáveis aleatórias
X1,X2, ...,Xnsão variáveis aleatórias independentes, então:
var(X ) = var(X1)+var(X2)+ ...+var(Xn) = nvar(Xi) = np(1−p)
Exemplos
1) Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de
conseguirmos 3 caras?
P(X = 3) =
(
10
3
)
0, 53(1− 0, 5)10−3 = 0, 1171875
No Stata este resultsado pode ser conseguido por:
disp exp(lnfactorial(10))/(exp(lnfactorial(3))*exp(lnfactorial(10-3)))*.5^3*(1-.5)^(10-3)
2) São realizadas 10 experiências com probabilidade de sucesso p
= 0,10. Considerando que o experimento tem distribuição
Binomial, calcular a média e o desvio padrão.
E (X ) = np = 10× 0, 10 = 1
V (X ) = np(1− p) = 10× 0, 10× 0, 90 = 0, 9
O desvio padrão será igual a
√
0, 9 = 0, 9486833
3) O Departamento de Estatística é formado por 35 professores,
sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores
será constituída sorteando com reposição, ao acaso, três membros
do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada
por pelo menos duas mulheres?
P(X ≥ 2 = 1− P(X < 2) = 1− (P(X = 0) + P(X = 1) =
1− (
(
35
0
)
(1435)
0(1− 1435)35−0 +
(
35
1
)
(1435)
1(1− 1435)35−1 =
0, 99999997
O comando Stata para fazer esta operação é:
disp 1-
(exp(lnfactorial(35))/(exp(lnfactorial(0))*exp(lnfactorial(35-
0)))*(14/35)^0*(1-14/35)^(35-
0)+exp(lnfactorial(35))/(exp(lnfactorial(0))*exp(lnfactorial(35-
0)))*(14/35)^0*(1-14/35)^(35-0))
4) Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 4
alternativas. Suponha que o aluno escolha a resposta ao acaso.
Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões?
Temos uma distribuição binomial com parâmetros p = 0,5 e n =
12. Desejamos calcular P(X ≥ 6).
P(X ≥ 6) =
(
12
6
)
0, 56 × (1− 0, 5)12−6 +
(
12
7
)
0, 57 × (1−
0, 5)12−7 + ...+
(
12
12
)
0, 512 × (1− 0, 5)12−12
Adaptando uma rotina Stata anterior podemos ter:
clear
set more off
scalar p = 0
forvalues i=6(1)12 {
scalar px =
exp(lnfactorial(12))/(exp(lnfactorial(‘i’))*exp(lnfactorial(12-
‘i’)))*.25^‘i’*(1-.25)^(12-‘i’)
disp "P(X = ‘i’) = ", px
scalar p = p + px
}
disp "P(X >= 6) = ", p
O resultado da execução da rotina é: P(X ≥ 6) =0,05440223
Este resultado demonstra que se o aluno realizar a mesma prova
10000 vezes, ele acertará pelo menos 6 questões aproximadamente
em apenas 544 vezes. Ou seja, não adianta muito “chutar”. Se o
professor aumentar para 8 alternativas em cada questão, sendo
apenas uma verdadeira,o resultado torna-se 0,00179405.