Exercícios de Variáveis Aleatórias

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Terceira lista de exerc´ıcios de estat´ıstica - seg.sem.
de 2014
Henrique Dantas Neder- Professor Associado
17 de janeiro de 2015
1. Uma moeda equilibrada e´ lanc¸ada 3 vezes ao ar. Seja X o
nu´mero de coroas.
a) Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade da v.a. X.
b) Fac¸a um gra´fico representando a distribuic¸a˜o de proba-
bilidade para X.
c) Calcule o nu´mero me´dio de coroas.
d) Calcule a probabilidade do nu´mero de coroas na˜o exceder
um.
e) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o da v.a. X e represente-
a graficamente.
f) Calcule o desvio padra˜o da v.a. X.
g) Expresse a distribuic¸a˜o de probabilidade de X com uma
fo´rmula.
2. Numa loteria foram emitidos 10000 bilhetes. Sorteia-se um
preˆmio de 50000 reais e dez preˆmios de 5000 reais.
a) Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade da v.a. X
(valor do preˆmio poss´ıvel para o possuidor de um bilhete
de loteria).
b) Determine a esperanc¸a do ganho.
3. Considere a v. a. X, discreta, com a seguinte distribuic¸a˜o:
X 1 1 3 4
F(X) 0,1 0,4 0,9 1
F(X) e´ a func¸a˜o de distribuic¸a˜o cumulativa da v. a. A
func¸a˜o de distribuic¸a˜o cumulativa e´ definida como:
1
F (X = x) =
∑
xxminP (X=x)
onde xmin e´ o menor valor obser-
vado para a varia´vel aleato´ria.
Determine:
a) P (X ≤ 2);
b) A func¸a˜o de probabilidade f(x) e represente-a grafica-
mente;
c) E[X] e Var[X];
d) E[2X] e Var[3X];
4. Um vendedor de carros oferece a todos os seus clientes po-
tenciais uma corrida de 30 milhas no tipo de carro que o
cliente esta´ interessado em comprar, mais um almoc¸o ou
jantar gratuitos. Todos estes custos sa˜o cerca de US$ 50.
Se o cliente na˜o compra o carro, o vendedor perde US$ 50,
mas se o cliente comprar o carro, o lucro me´dio do vende-
dor e´ de cerca de US$ 500 (dos quais os custos da corrida
e da refeic¸a˜o devem ser deduzidos). No passado, 20 % dos
clientes compraram o carro depois da corrida e da refeic¸a˜o
gratuita. Qual e´ o lucro esperado para o vendedor nessa
situac¸a˜o?
5. Em cada caso, determine se a func¸a˜o dada e´ uma dis-
tribuic¸a˜o de probabilidade.
a. P(x) = 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .
b. P(x) = 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .
c. P(x) = 3/[4(3 - x)! x!] onde x = 0, 1, 2, 3,
d. P(x) = 0, 4(0, 6)x−1 onde x = 1, 2, 3, . . . .
6. A me´dia e o desvio-padra˜o de uma varia´vel aleato´ria x sa˜o
5.0 e 2,0, respectivamente. Determine a me´dia e o desvio-
padra˜o das seguintes varia´veis aleato´rias:
3 + x
2
3x
3x + 4
7. Selecionam-se aleatoriamente os algarismos (0, 1, 2,.... 9)
para nu´meros de telefone em pesquisas. A varia´vel aleato´ria
x e´ o algarismo escolhido.
Ache a me´dia e o desvio-padra˜o de x.
Ache o escore z para cada um dos valores poss´ıveis de x;
determine enta˜o a me´dia e o desvio-padra˜o da populac¸a˜o
de escore z. Observac¸a˜o: o escore z e´ a varia´vel resultante
da seguinte transformac¸a˜o linear: z = x−µxσx
8. Suponha que a varia´vel aleato´ria discreta x possa tomar
os valores 1, 2, ... n, e que esses valores sejam igualmente
prova´veis.
a. Mostre que µ = (n + 1) /2.
b. Mostre que σ2 = (n2 − 1)/12.
9. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente um
nu´mero inteiro entre 1 e 50; a varia´vel aleato´ria x e´ o valor
do nu´mero escolhido. Determine a me´dia e o desvio-padra˜o
de x.
(Sugesta˜o: 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) /2
12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.)
10. Um dentista tem 5 cadeiras dispon´ıveis para pacientes em
sua sala de espera. A distribuic¸a˜o de probabilidade do
nu´mero de cadeiras ocupadas, x, e´ dada por
3
x p(x)
0 0,304
1 0,228
2 0,171
3 0,128
4 0,096
5 0,073
a. Ache a me´dia ou valor esperado µ da varia´vel aleato´ria
x.
b. Calcule o desvio padra˜o ,sigmax, da varia´vel aleato´ria
x.
c. Calcule Pr(2 ≤ x ≤ 5)
d. Desenvolva (no formato tabular a cdf (Cumulative Dis-
tribution Function - Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada)
dessa distribuic¸a˜o.
11. A probabilidade do 7 em uma roleta e´ 1/38. Em um exper-
imento, a roleta e´ girada 500 vezes. Se esse experimento e´
repetido muitas vezes, determine a me´dia e o desvio-padra˜o
do nu´mero de 7s.
12. A probabilidade de ganhar na loteria do estado de Nova
York e´ de 1/25.827.165. Determine a me´dia e o desvio-
padra˜o do nu´mero de ganhos para algue´m que joga duas
vezes por semana durante 50 anos (ou seja, 5200 vezes).
(Expresse suas respostas com treˆs algarismos significativos.)
13. 0 Departamento de Sau´de do Estado de Nova York relata
uma taxa de 10% de incideˆncia do v´ırus HIV para a pop-
ulac¸a˜o ”de risco”. Desenvolve-se em uma regia˜o uma in-
tensa campanha educativa no sentido de reduzir essa taxa
de 10%. Posto em pra´tica o programa, faz-se um estudo
subsequente sobre 200 indiv´ıduos do grupo de risco.
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a. Admitindo que o programa na˜o tenha produzido efeito,
determine a me´dia e o desvio-padra˜o do nu´mero de casos
de HIV em grupos de risco de 200 pessoas.
b. Entre as 200 pessoas submetidas ao teste subsequ¨ente,
7% (ou seja, 14 pessoas) tiveram resultado positivo no teste
de HIV. Se o programa na˜o produz efeito, essa taxa e´ excep-
cionalmente baixa? Este resultado sugere que o programa
e´ eficaz?
14. Um teste de percepc¸a˜o extra-sensorial envolve o reconhec-
imento de uma forma. Pede-se a 50 indiv´ıduos de olhos
vendados que identifiquem uma forma dentre as possibil-
idades de um quadrado, um c´ırculo, um triaˆngulo, uma
estrela, um corac¸a˜o e o perfil do ex-presidente Millard Fill-
more (1800-1874).
a. Admitindo que todos os 50 indiv´ıduos deem respostas
aleato´rias, determine a me´dia e o desvio-padra˜o do nu´mero
de respostas corretas nesse grupo de 50.
b. Se 12 das 50 respostas sa˜o corretas, esse resultado pode
ter ocorrido por mera chance? O que podemos concluir?
15. A Providence Computer Supply Company sabe que 16%
de seus computadores necessitara˜o de reparos sob garantia
dentro de um meˆs da expedic¸a˜o. Em um meˆs t´ıpico, sa˜o
expedidos 279 computadores.
a. Se x e´ a varia´vel aleato´ria que representa o nu´mero de
computadores que exigem reparos sob garantia dentre os
279 computadores vendidos no meˆs, determine a me´dia e o
desvio-padra˜o de x.
b. Para um meˆs t´ıpico em que sa˜o vendidos 279 computa-
dores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o
nu´mero de computadores, que exigem reparo sob garantia
dentro de um meˆs? Qual seria um valor excepcionalmente
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elevado? (Esses valores ajudam a determinar o nu´mero de
te´cnicos necessa´rios.)
16. A Washington and Chang Trucking Company opera uma
grande caminho˜es. No ano passado, houve 84 casos de
avariaria. a. Determine o nu´mero dia´rio me´dio de avarias.
b. Determine a probabilidade de 2 caminho˜es apresentarem
avaria em um dia selecionado aleatoriamente.
17. Um cassino e´ flagrado tentando utilizar um par de dados vi-
ciados. No julgamento, ficou evidenciado que alguns pontos
pretos eram escavados, enchidos com chumbo e repintados a
fim de parecerem normais. Ale´m da evideˆncia f´ısica, os da-
dos foram jogados no tribunal, com os seguintes resultados
para a soma dos resultados dos dois dados:
12 8 9 12 12 9 8 7 12 10 12 3 2 12 10 9 12 11 11 12
Um perito em probabilidade afirma que, na jogada de dados
equilibrados (honestos), a me´dia deve ser 7,0, e o desvio-
padra˜o deve ser 2,4.
a. Determine a me´dia e o desvio-padra˜o dos valores amostrais
obtidos, no julgamento.
b. Com base nos resultados obtidos no julgamento, qual
e´ a probabilidade de obter um 12? Compare esse resul-
tado com a probabilidade de 1/36 (ou 0,0278) para dados
equilibrados.
c. Se a probabilidade de obter 12 com dados equilibrados e´
1/36, determine a probabilidade de obter ao menos um 12
em 20 jogadas de dados equilibrados.
d. Se o leitor fosse advogado de defesa, como refutaria os
resultados obtidos no tribunal?
18. As pacientes diagnosticadascom caˆncer de mama precoce-
mente teˆm 80% de probabilidade de serem completamente
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curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condic¸o˜es,
calcule a probabilidade de:
a. Oito ficarem completamente curadas.
b. Entre 3 e 5 (inclusive) na˜o ficarem curadas.
c. Na˜o mais de 2 permanecerem com a doenc¸a.
19. Para condenar um acusado sa˜o necessa´rios ao menos 9 vo-
tos de um ju´ri composto por 12 jurados. Suponha que a
probabilidade de que um jurado vote que um culpado seja
inocente e´ 0,2 e a probabilidade de que um jurado vote que
um inocente seja culpado e´ 0,1. Se cada jurado age indepen-
dentemente e se 65% dos acusados sa˜o culpados, encontre
a probabilidade de que o ju´ri tome a decisa˜o correta. Que
porcentagem de culpados e´ condenada?
20. Em 10000 lanc¸amentos independentes de uma moeda obteve-
se 5800 caras. E´ razoa´vel assumir que a moeda na˜o e´ justa?
Explique analiticamente.
21. Para determinar a existeˆncia de certa doenc¸a, 100 pessoas
sa˜o submetidas a um teste sangu´ıneo. Contudo decide-se
realizar o teste em grupos de 10 pessoas, isto e´, o sangue
de cada grupo sera´ misturado para fazer o teste. Se o re-
sultado for negativo um teste e´ suficiente para as 10 pes-
soas e se o teste e´ positivo, cada uma das 10 pessoas sera´
testada individualmente e, para tal grupo sera˜o realizados
11 testes. Assuma que qualquer pessoa, independente das
outras, tenha probabilidade 0.1 de ter a doenc¸a e calcule o
numero esperado de testes necessa´rios para as 100 pessoas.
22. Um bandido e´ preso em uma cela que conte´m 3 portas. A
primeira porta o leva a um tu´nel que o conduz a` pro´pria
cela depois de 2 dias de viagem. A segunda porta leva-o a
um tu´nel que o conduz a` pro´pria cela depois de 4 dias de
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viagem. A terceira porta o conduz a` liberdade depois de
um dia de viagem. Se assumirmos que o bandido seleciona
as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0.5, 0.3 e 0.2 respecti-
vamente, qual o nu´mero esperado de dias para que alcance
a liberdade?
23. Dois terc¸os da populac¸a˜o de certo munic´ıpio na˜o assistem
regularmente a programas de televisa˜o. Colocando-se 400
pesquisadores, cada um entrevistando oito pessoas, estimar
quantos desses pesquisadores informara˜o que ate´ duas pes-
soas sa˜o telespectadoras habituais.
24. Mostre que em uma se´rie de lanc¸amentos do tipo cara ou
coroa a esperanc¸a matema´tica do nu´mero de caras antes
do aparecimento da primeira coroa e´ dada por q/p onde p
e a probabilidade associada a ocorrer cara e q = 1-p e´ a
probabilidade associada a ocorrer coroa.
25. Uma varia´vel aleato´ria X assume valores 0, 1, 2, 3,..., n,
com probabilidade constante dada por: P (k) = 1n+1
Pede-se determinar o valor de n, a fim de que seu valor
esperado seja igual a sua variaˆncia.
26. Uma urna conte´m bolas brancas e pretas, em proporc¸o˜es
respectivas p e q = 1 - p, onde 0 < p < 1. Dela, efetu-
amos extrac¸o˜es sucessivas, com reposic¸a˜o. Seja Y a varia´vel
aleato´ria igual ao nu´mero de extrac¸o˜es necessa´rias, ate´ a
obtenc¸a˜o da primeira bola branca. Pede-se calcular:
a. P(Y = n), n = 1, 2, 3, ...;
b. E(Y);
27. Seja uma varia´vel aleato´ria discreta X com: E[(X − 1)]2 =
10 e E[(X − 2)]2 = 6
Determine E(X) e Var(X).
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28. Um jogador A paga R$5,00 a B e lanc¸a um dado. Se sair
face 3, ganha R$20,00. Se sair faces 4,5, ou 6, perde. Se
sair faces 1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Desta
vez lanc¸a 2 dados. Se sa´ırem duas faces 6, ganha R$50,00.
Se sair uma face 6, recebe o dinheiro de volta. Nos demais
casos,perde. Seja X o lucro l´ıquido do jogador A nesse jogo.
(a) Calcule a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
(b) Calcule o lucro esperado do jogador A.
29. Dois jogadores fazem uma aposta. O jogador A paga R$100,00
para o jogador B e lanc¸a duas moedas viciadas na˜o si-
multaneamente. A probabilidade de sair cara na primeira
moeda e´ 0,3 e na segunda moeda e´ 0,2. Se sair cara na
primeira moeda, o jogador A tem o direito de lanc¸ar a
segunda moeda: se sair cara, ganha R$ 200,00 e se sair
coroa, ganha R$100,00. Se sair coroa na primeira moeda,
A perde. Seja X o lucro do jogador A. Encontre a func¸a˜o
de distribuic¸a˜o de probabilidade de X e o lucro esperado de
A neste jogo.
30. Um atirador acerta na mosca do alvo, 20% dos tiros. Se ele
da´ 10 tiros, qual a probabilidade de ele acertar na mosca
no ma´ximo 1 vez?
31. Dois adversa´rios A e B disputam uma se´rie de 8 partidas de
um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma
partida e´ 0,6 e na˜o ha´ empate. Qual e´ a probabilidade de
A ganhar a se´rie?
32. Numa competic¸a˜o de tiro ao alvo, a probabilidade de um
atirador acertar e´ 14 Supondo que ele atira cinco vezes e que
os disparos sa˜o independentes, determine:
a) o valor esperado de acertos e o desvio-padra˜o;
b) a probabilidade de acertar todos os tiros;
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c)a probabilidade de acertar mais da metade dos tiros.
33. Relativamente a` distribuic¸a˜o da v.a. X, sabe-se E(X) =
6 e E(X2) = 62. Sendo Y uma outra varia´vel aleato´ria e
sabendo que Y = 12X + 3, determine E(Y) e Var(Y).
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