Variáveis Aleatórias

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Variáveis Aleatórias
Henrique Dantas Neder
Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia
April 26, 2012
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
I
O conceito de variável aleatória está intrínsicamente
relacionado ao conceito de experimento aleatório.
I
Seja um experimento E, cujo espaço amostral é Ω. Podemos
para cada evento pertencente a Ω relacionar um número X
pertencente ao conjunto dos números reais.
I
Uma variável aleatória é uma função que relaciona um número
real a cada resultado no espaço amostral de um experimento
aleatório.
I
Estamos restringindo as variáveis aleatórias ao conjunto dos
números reais. Mas nada impede, em princípio, que possamos
ter uma variável aleatória definida mno conjunto dos números
complexos.
I
Esta relação deve ser tal que para dois eventos determinados
de Ω podemos ter um mesmo número relacionado e
pertencente a R. O contrário não é possível (ou permitido
dentro desta definição): não podemos ter para um mesmo
evento de Ω dois números distintos pertencentes a R.
I
Então podemos definir variável aleatória X, uma variável
pertencente a R tal que para cada evento de Ω existe um e
somente um número associado no espaço dos números reais R.
Vejamos um exemplo: seja o experimento aleatório �jogam-se
2 dados�. Seja X, o número de caras do resultado. Então para
cada evento de Ω temos uma e somente um número de caras.
Desta forma X é uma variável aleatória.
I
Uma variável aleatória é definida como uma função que
relaciona um valor numérico a cada ponto amostral do espaço
amostral de um experimento. Cada realização do experimento
gera um valor experimental da variável aleatória. Este valor
experimental da variável aleatória é igual ao valor da variável
aleatória associado ao ponto amostral que corresponde ao
resultado do experimento.
I
Definição: Uma variável aleatória discreta é uma variável que
pode assumir somente certos valores claramente separados (em
descontinuidade) resultantes, por exemplo, de uma contagem
de algum item de interesse.
I
Exemplo: Seja X o número de caras quando uma moeda é
jogada 3 vezes. Aqui os valores de X são 0,1,2 ou 3 (são
claramente separados, em descontinuidade).
Nota: uma variável aleatória discreta não precisa necessariamente
assumir apenas valores inteiros. Poderia, por exemplo, ser uma
variável que apresentasse os seguintes valores: 0, 23/7 , 72/25, etc.
A condição que deve ser cumprida é seus valores sejam
descontínuos.
I
Exemplo 1: Considere um experimento aleatório no qual uma
moeda é jogada 3 vezes. Seja X o número de caras. Seja H o
resultado cara e T o resultado coroa.
I
O espaço amostral para este experimento será:
TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH
I
Assim, os possíveis valores de X (número de caras) serão: X =
0, 1, 2, 3.
Nota: Neste experimento, há 8 possíveis resultados no espaço
amostral. Desde que eles são todos igualemente prováveis de
ocorrer, cada resultado tem uma probabilidade de 1/8 de ocorrer.
I
A figura a seguir ilustra a associação existente entre resultados
do experimento (no espaço amostral) e os valores assumidos
pela variável X.
Distribuição de probabilidade
Uma distribuição de probabilidade atribuida a uma variável
aleatória discreta é uma associação que relaciona a cada valor da
variável aleatória um único valor de probabilidade. Assim no
exemplo de jogar duas moedas e contar o numero de caras, a
distribuição de probabilidade será:
X P(X)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
Então podemos dizer que uma função de probabilidade é uma
relação que estabelecemos entre cada valor da variável aleatória e
suas respectivas probabilidades.Podemos dizer que uma distribuição
de probabilidade somente pode se referida em relação a uma
variável aleatória discreta.
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
ˆ Definição: Uma variável aleatória contínua é uma variável que
pode assumir um número infinitamente grande de valores (com
certas limitações práticas).
Exemplo: (a) Peso de um estudante (b) comprimento de um carro
Podemos também definir variáveis aleatórias contínuas e um ponto
de vista teórico. Esse é o caso da variava aleatória normal, da
variável aleatória uniforme contínua, da variável t d e Student, da
variável Qui-quadrado, etc.
Função densidade de probabilidade
Para as variáveis aleatórias discretas definimos o conceito de
distribuição de a probabilidade. E esta distribuição de probabilidade
só pode ser definida para uma variável aleatória discreta. Para uma
variável aleatória continua temos que definir uma função de
densidade de probabilidade.
Seja f(x) uma função densidade de probabilidade (ou simplemente
função densidade). Então esta função dever cumprir as seguintes
propriedades.
1. f (x) ≥ 0 para qualquer x
2. P(a ≤ X ≤ b) = ´ b
a
f (x)dx
3.
´ +∞
−∞ f (x)dx = 1
Vejamos o exemplo da variável aleatória contínua uniforme.
Dizemos que esta varuável aleatória tem uma distribuição uniforme.
Ela pode ser definida como:
f (x) = 1
b−a para a ≤ X ≤ b
Uma caso particular desta distribuição seria:
f (x) = 1
10−5 =
1
5
para 5 ≤ X ≤ 10
P(7 ≤ X≤ 9) = ´ 9
7
1
5
dx = X
5
|9
7
= 9
5
− 7
5
= 2
5
O Valor Esperado (média) de uma
Distribuição de Probabilidade Discreta
I
Como vimos, uma variável aleatória é qualquer variável cujo
valor não pode ser predito exatamente.
I
Uma variável aleatória discreta é aquela que tem um conjunto
específico de possíveis valores.
I
Um exemplo de variável aleatória discreta é o valor da soma
quando se jogam dois dados.
I
Um exemplo de variável aleatória contínua é a temperatura
que será observada em um determinado dia do ano.
I
O valor esperado de uma variável discreta é a média
ponderadaa de todos os seus possíveis valores considerando-se
como peso os valores das probabilidades de cada resultado.
I
Esta média ponderada pode ser calculada através da soma
acumulada (somatório) do produto dos valores (resultados)
por suas respectivas probabilidades.
I
Em termos matemáticos, se a variável aleatória é denotada por
X e seu valor esperado simbolizado por E(X), temos:
E (X ) = x
1
P(X = x
1
) + x
2
P(X = x
2
) + ...+ x
n
P(X = x
n
) =∑
n
i=1 xiP(X = xi )
I
Vejamos o exemplo do experimento dos dois dados. Neste
caso, a variável aleatória discreta associada a este experimento
pode assumir os valores X=1,2,...,12 com distribuição de
probabilidade dada por:
X P(X = x
i
) x
i
× P(X = x
i
)
2
1
36
2
36
3
2
36
6
36
4
3
36
12
36
5
4
36
20
36
6
5
36
30
36
7
6
36
42
36
8
5
36
40
36
9
4
36
32
36
10
3
36
30
36
11
2
36
22
36
12
1
36
12
36
soma 1 E (X ) = 252
36
= 7
I
Interpretação do valor esperado (ou esperança matemática) de
uma variável aleatória discreta: o valor esperado é a média de
�longo prazo� - a média dos resultados de uma variável
aleatória se pudéssemos realizar o experimento um número
infinito de vezes.
A Variância e o Desvio Padrão de uma
Distribuição de Probabilidade Discreta
I
A variância mede a quantidade de dispersão ou variabilidade
de uma distribuição. Ela é denotada pela letra grega σ2(sigma
ao quadrado).
I
O desvio padrão é obtido através da raiz quadrada de σ2.
I
A variância de uma distribuição de probabilidade discreta é
calculada através da fórmula:
V (X ) = σ2
X
=
∑
(X − µ)2P(X )
I
Outra expressão para a variância de uma variável aleaatória
discreta é dada por:
V (X ) = σ2
X
=
∑
(X − µ)2P(X ) =∑(X 2 − 2Xµ+ µ2)P(X ) =∑
X
2
P(X )− 2µ∑XP(X ) + µ2P(X ) =∑X 2P(X )− µ2
Exemplo
Uma empresa especializa-seno aluguel de carros para famílias que
necessitam de um carro adicional para um período curto de tempo.
O presidente da empresa tem estudado seus registros para as
últimas 20 semanas e apresentou os seguintes números de carros
alugados por semana.
X f (semanas) P(X) XP(X) X
2
X
2
P(X )
10 5
5
20
50
20
100 100× 5
20
= 500
20
11 6
6
20
66
20
121 121× 6
20
= 726
20
12 7
7
20
84
20
144 144× 7
20
= 1008
20
13 2
2
20
26
20
169 169× 2
20
= 338
20
Soma 20 1 E (X ) = 11, 3 128, 6
Var(X ) = E (X 2)− µ2 = 128, 6− 11, 32 = .91
Alguns teoremas para a esperança
matemática (média) e para a variância
1. Se c é uma constante, então:E (cX ) = cE (X )
2. Se X e Y são quaiquer variáveis aleatórias,
então:E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
3. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes,
então:E (XY ) = E (X )E (Y )
4. Se c é uma constante, então: var(cX ) = c2var(X )
5. A quantidade E (X − a)2é mínima quando:a = µ = E (X )
6. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então:
var(X + Y ) = var(X ) + var(Y ) e
var(X − Y ) = var(X ) + var(Y )
Exemplo: Sejam X e Y variáveis aleatórias associadas ao
experimento �jogar dois dados e ver o resultado de ambos�. X é o
resultado do primeiro dado e Y é o resultado do segundo dado.
Calcule o valor esperado e a variância de X+Y e de X-Y.
x
i
1 2 3 4 5 6
P(X = x
i
) 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
E (X ) = E (Y ) =
∑
XP(X ) = 3, 5
VAR(X ) = VAR(Y ) = E (X 2)− µ2
X
= 91
6
− 3, 52 = 2, 9167
Portanto:
E (X + Y ) = 3, 5+ 3, 5 = 7 ; E (X − Y ) = 3, 5− 3, 5 =
0;VAR(X + Y ) = VAR(X − Y ) = 2, 9167× 2 = 5, 8334
Veja que não podemos usar o teorema 4 para calcular
V (X + Y )como sendo var(X + X ) = var(2X ) porque X não é
indendente dela mesma. desta froma, o cálculo produz resultado
incorreto: var(X + X ) = var(2X ) = 22 o 2, 9167 = 11, 6788
Covariância de duas variáveis aleatórias
discretas
I
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Define-se covariância de
X e Y como sendo:
cov(X ,Y ) = E [(X − µ
x
)(Y − µ
y
)] = E (XY )− E (X )E (Y )
I
Duas variáveis aleatórias tem covariância positiva quando as
mesmas covariam no mesmo sentido, ou seja, quando a
primeira se eleva a outra também se eleva e quando a primeira
se reduz, a segunda também se reduz. Duas variáveis aleatórias
tem covariância negativa quando as mesmas covariam em
sentidos opostos, ou seja, quando a primeira se eleva a outra
se reduz e quando a primeira se reduz, a segunda se eleva.
I
Quando duas variáveis aleatórias X e Y não são independentes,
então:
var(X + Y ) = var(X ) + var(Y ) + 2cov(X ,Y )
Exemplo: Seja o experimento aleatório �joga-se um dado e
observa-se o número de sua face�. Seja X, o número da face e
Y=2X+3. Então temos:
X P(X) Y X+Y X × P(X ) Y × P(Y ) (X + Y )× P(X + Y )
1
1
6
5 6 1× 1
6
= 1
6
5× 1
6
= 5
6
6× 1
6
= 6
6
2
1
6
7 9 2× 1
6
= 2
6
7× 1
6
= 7
6
9× 1
6
= 9
6
3
1
6
9 12 3× 1
6
= 3
6
9× 1
6
= 9
6
12× 1
6
= 12
6
4
1
6
11 15 4× 1
6
= 4
6
11× 1
6
= 11
6
15× 1
6
= 15
6
5
1
6
13 18 5× 1
6
= 5
6
13× 1
6
= 13
6
18× 1
6
= 18
6
6
1
6
15 21 6× 1
6
= 6
6
15× 1
6
= 15
6
21× 1
6
= 21
6
soma 1 E(X ) = 21
6
E(Y ) = 10 E(X + Y ) = 81
6
X Y XY XY × P(XY )
1 5 5 5× 1
6
= 5
6
2 7 14 14× 1
6
= 14
6
3 9 27 27× 1
6
= 27
6
4 11 44 44× 1
6
= 44
6
5 13 65 65× 1
6
= 65
6
6 15 90 90× 1
6
= 90
6
soma E(XY ) = 245
6
I
Vemos pela tabela acima que E (X + Y ) = 81
6
e que
E (X ) + E (Y ) = 21
6
+ 10 = 81
6
= E (X + Y ).
I
Também podemos calcular a covariância de X e Y:
cov(X ,Y ) = E (XY )− E (X )× E (Y ) = 245
6
− 21
6
× 10 = 35
6
I
Agora vamos calcular as variâncias em outro quadro:
X Y X+Y X
2
P(X ) Y 2P(Y ) (X + Y )2P(X + Y )
1 5 6 1
2 × 1
6
= 1
6
5
2 × 1
6
= 25
6
6
2 × 1
6
= 36
6
2 7 9 2
2 × 1
6
= 4
6
7
2 × 1
6
= 49
6
9
2 × 1
6
= 81
6
3 9 12 3
2 × 1
6
= 9
6
9
2 × 1
6
= 81
6
12
2 × 1
6
= 144
6
4 11 15 4
2 × 1
6
= 16
6
11
2 × 1
6
= 121
6
15
2 × 1
6
= 225
6
5 13 18 5
2 × 1
6
= 25
6
13
2 × 1
6
= 169
6
18
2 × 1
6
= 324
6
6 15 21 6
2 × 1
6
= 36
6
15
2 × 1
6
= 225
6
21
2 × 1
6
= 441
6
soma E(X 2) = 91
6
E(Y 2) = 670
6
E((X + Y )2) = 1251
6
I
Podemos calcular a variãncia de X + Y de duas formas. A
primeira é a forma direta:
var(X +Y ) = E ((X +Y )2)− E (X +Y )2 = 1251
6
− (81
6
)2 = 26, 25
I
A segunda forma é através de:
var(X + Y ) = var(X ) + var(Y ) + 2cov(X ,Y ) =
E (X 2)− E (X )2 + E (Y 2)− E (Y )2 + 2cov(X ,Y ) =
91
6
− (21
6
)2 + 670
6
− (10)2 + 2× 35
6
= 26, 25
I
No caso deste exemplo a covariância entre X e Y é positiva e
não poderia ser de outra forma já que o coeficiente angular da
reta y=2X+3 é postivo e igual a 2.
I
Poderiamos aproveitar esta expressão e fazer os seguintes
cálculos:
var(X + Y ) = var(X + 2X + 3) = var(3X + 3) = var(3X ) =
9var(X ) = 9× (91
6
− (21
6
)2) = 26, 25
cov(X ,Y ) = cov(X , 2X +3) = E (X (2X +3))−E (X )E (2X +3) =
E (2X 2 + 3X )− E (X )(2E (X ) + 3) =
2× 91
6
+ 3× 21
6
− 21
6
(2× 21
6
+ 3) = 35
6