3 FuncaoModular

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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Função modular
As funções que estudamos até o momento foram definidas por uma única sentença
(uma única equação), mas isso nem sempre ocorre.
Há funções que, em um dado subconjunto D1 do domínio da função são definidas por
uma equação e, em um outro subconjunto D2, mudam de comportamento, obededendo
outra equação. Exemplo disso é a função modular ou função valor absoluto.
A função modular, ou função valor absoluto, é definida por
fx = |x| ou fx = x se x ≥ 0
−x se x < 0
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Revisão rápida: MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO de um número real
Em Física, lidamos com problemas em que, ao calcular a velocidade de um móvel, podemos
obter resultado negativo, por exemplo, -90Km/h. Esse resultado significa que, em módulo ou
valor absoluto, a velocidade do móvel é de 90Km/h; o sinal negativo apenas indica que o
móvel está andando no sentido contrário ao sentido da trajetória preestabelecido como
positivo.
O módulo, ou valor absoluto, de um número real x, indicado por |x|, é definido como:
|x| = x, se x ≥ 0 e |x| = −x, se x < 0
Por exemplo:
|3| = 3 − 2 = 2 54 = 54 |−0, 25| = 0, 25
Geometricamente, o módulo de um número real x corresponde, na reta real, à distância
entre o ponto associado ao número real x e a origem da reta.
Veja figura:
− 17 = 17 (distância do ponto associado a − 17 até a origem da reta)
17 = 17 (distância do ponto associado a 17 até a origem da reta)
|−2| = 2 (distância do ponto associado a −2 até a origem da reta)
|2| = 2 (distância do ponto associado a 2 até a origem da reta)
1
Outra forma de definir o módulo, ou valor absoluto, de um número real x é: |x| = x2 .
Veja alguns exemplos:
|3| = 32 = 9 = 3 |−3| = −32 = 9 = 3 |−0, 25| = −0, 252 = 0, 0625 = 0, 25
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Voltando à definição da função modular, observamos que ela é definida por duas sentenças,
cada uma delas, relacionada a uma reta: y = x e y = −x. Dessa forma, para construir seu
gráfico, procedemos como se estivéssemos construindo o gráfico dessas duas retas, apenas
cuidando de considerar a restrição para os valores de x correspondentes. Na realidade,
vamos ter dois ”pedaços” de retas: para x ≥ 0, teremos um pedaço da reta y = x e, para
x < 0, teremos um pedaço da reta y = −x. O domínio da função modular é R e a imagem é
R+ (conjunto dos números reais não negativos, formado pelo zero e pelos números reais
positivos).
Assim, o gráfico da função fx = x é como segue.
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
Além de considerarmos a função modular fx = |x|, também é importante estudarmos
funções obtidas pela composição da função modular com outras funções. Por exemplo,
consideremos a função definida por
gx = |3x − 1|
Essa função é obtida fazendo a composição da função modular fx = |x| com a função do 1º
grau hx = 3x − 1. Podemos redefiní-la, considerando a definição de módulo. Assim,
gx = |3x − 1| = 3x − 1 se 3x − 1 ≥ 0
−3x − 1 se 3x − 1 < 0
ou seja,
gx =
3x − 1 se x ≥ 13
−3x + 1 se x < 13
Veja, então, que gx é definida por duas sentenças, cada uma delas, relacionada a uma
reta: y = 3x − 1 e y = −3x + 1.
Para construir seu gráfico, procedemos como se estivéssemos construindo o gráfico dessas
duas retas, apenas cuidando de considerar a restrição para os valores de x correspondentes.
Teremos dois ”pedaços” de retas: para x ≥ 13 , teremos um pedaço da reta y = 3x − 1 e, para
x < 13 , teremos um pedaço da reta y = −3x + 1. O gráfico fica como a seguir.
2
-4 -2 0 2 4
5
10
15
x
y
Outra forma de obter o gráfico da função (gx = |3x − 1|) é considerar a reta de equação
y = 3x − 1 (função que está dentro do módulo), projetando em relação ao eixo x a parte
negativa do gráfico, isto é, tomando a parte do gráfico que fica abaixo do eixo x e
considerando os valores simétricos das imagens em cada ponto. Veja:
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
x
y
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
x
y
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
Veja que a parte positiva da reta (parte que fica acima do eixo x) é mantida exatamente igual
e que a parte negativa da reta (parte que fica abaixo do eixo x) sofre uma simetria em
relação ao eixo x (obtida trocando o sinal das imagens em cada ponto). dessa forma, o
gráfico da função fica como segue:
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
Exercícios de aula 4
1) Redefina a função gx = 2|−x − 2| e, com base nisso, construa seu gráfico.
2) Construa o gráfico das funções a seguir, tendo como base os gráficos das funções que
estão "dentro" dos módulos.
2.1) lx = |2x + 4|
2.2) Hx = |−x2 + 1|
3) A exemplo das funções do 2∘ grau, também podemos obter o gráfico de funções
modulares, relacionando as equações que as definem com a função modular mais simples
fx = |x|. Considerando isso, construa o gráfico das funções definidas a seguir sobre o
3
sistema que já contem o gráfico de y = |x|. Também determine o domínio e a imagem das
funções.
3.1) gx = |x| − 2
3.2) hx = |x − 3|
3.3) Gx = 2|x|
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Exercícios extraclasse 3
1) Redefina a função fx = |4 − 3x|4 e, com base nisso, construa seu gráfico.
2) Construa os gráficos das funções, tendo como base os gráficos das funções internas aos
módulos.
2.1) fx = |x + 4|
2.2) hx = |2x − 3|
2.3) Gx = |x2 − 4|
2.4) Hx = |−2x2 + 8x − 6|
3) Construa o gráfico da função fx = |x2 + 2x| − 3 procedendo da seguinte forma: (1º)
construa o gráfico da parábola de equação y = x2 + 2x; (2º) com base nesse gráfico construa
o gráfico de y = |x2 + 2x|; (3º) desloque esse último gráfico três unidades para baixo. Em
seguida, determine o conjunto imagem da f.
4) Para cada função definida a seguir: (i) descreva o procedimento para obter o gráfico da
função a partir do gráfico da função modular; (ii) com base na descrição feita, construa o
gráfico da função; e (iii) determine o conjunto imagem da função.
4.1) gx = |x| − 3
4.2) hx = |x + 2|
4.3) Fx = −|x − 3| + 2
5) Escreva a equação que define cada uma das funções descritas a seguir:
5.1) fx é a função cujo gráfico é obtido pelo deslocamento do gráfico de y = |x|, uma
unidade para a esquerda e, em seguida, três unidades para cima.
5.2) gx é a função cujo gráfico é obtido pelo deslocamento do gráfico de y = |x|, meia
4
unidade para a direita e, em seguida, uma unidade para baixo.
5.3) hx é a função cujo gráfico é obtido pela duplicação das imagens dos pontos que estão
sobre o gráfico de y = |x|.
5.4) lx é a função cujo gráfico é obtido dividindo por 3 as imagens dos pontos que estão no
gráfico de y = |x| e, em seguida, deslocando 2, 5 unidades para cima.
6) Construa, no mesmo sistema coordenado, os gráficos das funções fx = −3 e
gx = −|x − 3| + 1. Encontre uma estratégia para determinar os pontos de intersecção dos
gráficos da f e da g. Em seguida, determine esses pontos.
Algumas respostas:
(1) fx = −
3
4 x + 1, se x ≤
4
3
3
4 x − 1, se x >
4
3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
x
y
(2)
-8 -6 -4 -2 2
-1
1
2
3
4
5
x
y
(2.1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
(2.2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
(2.3)
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
x
y
(2.4)
(3)
5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
(4)
(4.1) Desloca o gráfico da função definida por y = |x| 3 unidade para baixo. Img = −3;+∞.
(4.2) Desloca o gráfico da função definida por y = |x| 2 unidades para a esquerda.
Img = 0;+∞.
(4.3) Desloca o gráfico da função definidapor y = |x| 3 unidades para a direita, troca o sinal
das imagens e desloca 2 unidades para cima. Img = −∞; 2.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
gráficos
(5)
(5.1)fx = |x + 1| + 3 (5.2)gx = |x − 0, 5| − 1 (5.3)hx = 2|x| (5.4)lx = |x|3 + 2, 5
(6)
-2 2 4 6 8 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
gráficos
Para determinar os pontos de intersecção fazemos fx = gx e resolvemos a equação
obtendo as abscissas (valores de x) dos pontos de intersecção.
Os pontos são −1,−3 e 7,−3.
6