Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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que leˆ-se assim: zero e´ o limite da sequeˆncia 1/n ou a sequeˆncia tende a zero

Veremos adiante que ha´ sequeˆncias que tendem de diversas maneiras diferentes
a pontos, algumas va˜o decrescendo em valores como a (xn)n = 1/n, outras va˜o
crescendo como−1/n, outras va˜o oscilando e assim por diante, mas o que e´ importante
e´ que:

• elas entram em qualquer cerca estabelecida em torno de seu limite, desde
que se espere o tempo n� suficiente e

• depois de la´ entrarem na˜o mais saem.
Veremos tambe´m que podemos combinar sequeˆncias simples (cujo limite podemos

intuir facilmente) para criar sequeˆncias complicadas, das quais na˜o e´ poss´ıvel ter uma
intuic¸a˜o de seu limite (exceto algue´m com poderes para-normais ...). Mesmo assim
poderemos matematicamente determinar esses limites.

2. Limites de sequeˆncias

O conceito de limite e´ o conceito fundamental do Ca´lculo, de onde surgem out-
ras noc¸o˜es importantes como continuidade, derivada e integral. Por isso este e´ um
Cap´ıtulo um pouco mais extenso.

CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 49

Imagine uma ma´quina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x da´ um certo output f(x). Agora imagine que para um input parecido x + h (com
h pequeno) da´ um output parecido: f(x+ h) = f(x) + δ, com δ pequeno.

Apesar de ser uma situac¸a˜o plaus´ıvel, da qual temos muitos exemplos no dia a dia,
tambe´m sabemos que ha´ exemplos da situac¸a˜o oposta, em que, apesar de x + h ∼ x
temos f(x + h) muito diferente de f(x). Essas duas possibilidades sa˜o t´ıpicas de
processos cont´ınuos e descont´ınuos, respectivamente.

O objetivo deste cap´ıtulo e´ definir essas noc¸o˜es precisamente, pois nelas se apoiam
os dois conceitos centrais do Curso: Derivada e Integral.

3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais

Vamos comec¸ar com a Definic¸a˜o 3.1, que e´ mais precisa e importante do que
parece.

Nela destaco que ha´:

• uma enorme exigeˆncia: onde dizemos ∀� >, e
• uma imposic¸a˜o: a de que a partir de um certo n� a sequeˆncia na˜o mais saia
de uma regia˜o onde entrou.

Definic¸a˜o 3.1. Um sequeˆncia (xn)n tende a um ponto L se ∀� existe n� ∈ N tal que
se n ≥ n� enta˜o xn ∈ (−�+ L, L+ �).

Ha´ diferentes formas pelas quais uma sequeˆncia pode tender a um limite; em
particular, com diferentes velocidades.

Por exemplo, Afirmo que xn =
1
n2

tende a 0 mais rapidamente do que zn =
1
n
o

faz. Ou seja, Afirmo que o tempo n�(zn) de espera para ter zn < � e´ menor que o
tempo n�(xn) que tenho de esperar para ter xn < �. De fato,

1:

n�(zn) = d
√

1

�
e, n�(xn) = d1

�
e,

e e´ claro que
√

1
�
≤ 1

�
para � pequeno.

Nos argumentos discutidos abaixo teremos a`s vezes que esperar o tempo n su-
ficiente para que duas ou mais sequeˆncias se aproximem de onde queremos. Como
podem ser diferentes, por precauc¸a˜o tomamos o maior dentre eles, para que as duas
ou mais sequeˆncias estejam onde queremos.

Teorema 3.1. (Propriedades fundamentais de sequeˆncias)
Sejam (xn)n e (zn)n duas sequeˆncias, com

lim
n→+∞

xn = L1 e lim
n→+∞

zn = L2.

Enta˜o:
1) A sequeˆncia soma (xn + zn)n tem

lim
n→+∞

(xn + zn) = L1 + L2.

1onde d4e significa o primeiro nu´mero Natural maior ou igual que 4 ∈ R.

3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50

2) A sequeˆncia diferenc¸a (xn − zn)n tem
lim

n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.

3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a sequeˆncia (C · xn) tem
lim

n→+∞
(C · xn) = C · L1.

4) Seja (qn)n uma sequeˆncia qualquer tal que

∀n, |qn| ≤ K,
para algum K. Se L1 = 0 enta˜o limn→+∞(qn · xn) = 0

5) A sequeˆncia produto (xn · zn)n tem
lim

n→+∞
(xn · zn) = L1 · L2.

6) Se L2 6= 0, enta˜o:
• i) a partir de um certo n, zn 6= 0 e
• ii) limn→+∞ xnzn = L1L2 .

7) Suponha adicionalmente que a partir de um certo n, xn ≤ L1 e que, para uma
sequeˆncia qualquer qn, a partir de um certo n temos

xn ≤ qn ≤ L1.
Enta˜o

lim
n→+∞

qn = lim
n→+∞

xn = L1.

Demonstrac¸a˜o. (de alguns itens do Teorema 3.1)
Prova de 1) Nesse primeiro item, o ponto a lembrar e´ que xn e zn se aproximam

cada uma de um nu´mero a princ´ıpio distinto e que cada uma delas o faz possivelmente
com velocidade diferente.

O que queremos provar? Queremos saber se, esperando um tempo n� suficiente,
conseguimos que:

xn + zn ∈ (−�+ L1 + L2, L1 + L2 + �),
ou seja, como ja´ explicamos, se |xn+ yn− (L1+L2)| < �. Vamos traduzir esta u´ltima
condic¸a˜o de outro modo, que leva em conta as duas hipo´teses sobre xn e zn

2:

|xn + yn − (L1 + L2)| = |xn − L1 + yn − L2| ≤
≤ |xn − L1|+ |yn − L2|.

Agora fazemos o seguinte: esperamos tempo suficiente n� para que tenhamos

∀n ≥ n�, |xn − L1| < �
2

e |zn − L2| < �
2
.

2No u´ltimo passo uso uma desigualdade (chamada desigualdade triangular, ver Exerc´ıcio 6.3)
que vale para quaisquer nu´meros Reais � e 4:

|�+4| ≤ |�|+ |4|
, no nosso caso aplicadoa para � = xn − L1 e 4 = yn − L2

CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 51

Enta˜o obtemos de acima:

|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2| < �
2
+
�

2
= �,

exatamente o que quer´ıamos provar.
Prova de 2): Ana´loga a` do 1), apenas fazendo agora:

|(xn − yn)− (L1 − L2)| = |xn − L1 + L2 − zn| ≤ |xn − L1|+ |L2 − zn|.
Prova de 3): agora queremos que a partir de um certo n�:

|C · xn − C · L1 | < �.
E´ claro que posso supor C 6= 0, sena˜o tudo e´ o´bvio.

Ora enta˜o o que queremos e´ provar que:

|C · (xn − L1) | < �,
ou seja3 queremos que

|C| · |xn − L1| < �.
Noto agora que, se espero tempo n� suficiente, tenho:

|xn − L1| < �
C
, onde C 6= 0

pois xn se aproxima tanto quanto quisermos de L1. Enta˜o juntando as informac¸o˜es:

|C · xn − C · L1| = |C| · |xn − L1| < C · �
C

= �,

exatamente o que quer´ıamos.
Prova de 4): Aqui o que fazemos e´ esperar o tempo n� suficiente para que |xn| < �K

(estou supondo que K 6= 0, pois se K = 0, enta˜o a h´ıpo´tese |qn| ≤ 0 diz que qn = 0
∀n e tudo e´ o´bvio, pois a sequeˆncia 0 · xn e´ a sequeˆncia constante, igual a 0). Enta˜o
para n ≥ n� :

|qn · xn| = |qn| · |xn| < K · �
K

= �,

como quer´ıamos.
Prova de 5): Queremos fazer

| xn · zn − L1 · L2 | < �.
dese que n cresc¸a o suficiente.

Mas posso escrever:
| xn · zn − L1 · L2 | =

= | xn · zn−xn · L2 + xn · L2︸ ︷︷ ︸
0

−L1 · L2 | =

= | xn · (zn − L2) + L2 · (xn − L1) | ≤
≤ | xn · (zn − L2) |+ |L2 · (xn − L1) | =
= | xn| · | (zn − L2) |+ |L2 | · | (xn − L1) |

3Para quaiquer nu´meros Reais � e 4 sempre vale:
|� · 4| = |�| · |4|;

no nosso caso, uso para � = C e 4 = xn − L1

3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52

E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
| (xn−L1) | quanto | (zn−L2) | se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, pois zn tende a
L2 e xn tende a L1.

Logo | xn · zn − L1 · L2 | fica ta˜o pequeno quanto quisermos.

Prova de 6): Primeiro afirmo que a partir de um certo n temos

|L2
2
| < |zn|.

Se L2 > 0, a partir de um certo n temos

0 <
L2
2

< zn

pois L2
2
< L2 = lim zn. E se L2 < 0, a partir de um certo n

zn <
L2
2

< 0

pois lim zn = L2 <
L2
2
.

Ou seja, a partir de um certo n:

|L2
2
| < |zn|

e em particular a partir desse n, temos zn 6= 0.
No que segue ja´ suponho que tomei esse n para que a partir dele:

|L2
2
| < |zn|.

Enta˜o ale´m de podermos dividir pelos zn, podemos afirmar que

|L2|2
2

< |zn| · |L2|
e portanto

1

|zn · L2| <
2

|L2|2 .
Portanto

| 1
zn
− 1
L2
| = |L2 − zn

zn · L2 | =

= | 1
zn · L2 | · |L2 − zn| ≤

≤ 2|L2|2 · |L2 − zn|.
Mas |L2−zn| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, desde que esperemos possivelmente
um tempo n ainda maior, ja´ que lim zn = L2.

Por exemplo, podemos esperar um n a partir do qual valha |L2
2
| < |zn| e tambe´m

|L2 − zn| < � · L
2
2

2
,

CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 53

o que da´

| 1
zn
− 1
L2
| < 2|L2|2 ·

� · L22
2