Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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diz que � sera´ feito ta˜o pequeno quanto
quisermos,

• veremos logo abaixo que o δ depende do �, da natureza da f e tambe´m, em
geral, de cada ponto x.

• a cla´usula 0 < |x− x| existe para que possamos ter func¸o˜es com f(x) 6= L =
limx→x f(x).

Um pouco mais sobre o u´ltimo item: suponha que temos uma f com f(x) bem
diferente dos valores f(x), para x pro´ximos de x pore´m diferentes de x. Por exemplo
suponha que |f(x) − L| ≥ 1 , embora |f(x) − L| < � e´ pequeno se x 6= x, mas x
pro´ximo de x. Enta˜o |x−x| = 0 < δ, ∀δ > 0 e no entanto |f(x)−L| ≥ 1. Por isso na
Definic¸a˜o 2.1 estamos interessados apenas em controlar os valores f(x) para x 6= x.

Vejamos agora que essa nova Definic¸a˜o 2.1 tem o mesmo conteu´do da Definic¸a˜o
0.1 do Cap´ıtulo 4, mesmo que a princ´ıpio na˜o parec¸am o mesmo.

Afirmac¸a˜o 2.1. A Definic¸a˜o 2.1 e´ equivalente a` Definic¸a˜o 0.1 do Cap´ıtulo 4.

Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
Provar a equivaleˆncia de duas definic¸o˜es e´ mostrar que uma implica a outra e

vice-versa.
Suponha por um momento a Definic¸a˜o 0.1 e por absurdo negue a Definic¸a˜o 2.1.
Enta˜o existe um �0 > 0 especial tal que ∀δ > 0 existe um xδ com

0 < |xδ − x| < δ, mas |f(xδ)− L| ≥ �0.

2. A DEFINIC¸A˜O USUAL COM � E δ 60

Ja´ que vale para todo δ > tomo-os da forma δ(n) := 1
n
. Enta˜o concluo que os

xδ(n) formam uma sequeˆncia de I \ {x} que tende a x, pois

0 < |xδ(n) − x| < 1
n

e ja´ sabemos que os 1
n
ficam ta˜o pequenos quanto quisermos. Com essa sequeˆncia

(xδ(n))n no domı´nio da f , formo outra sequeˆncia f(xδ(n)) na imagem da f , que na˜o
tende a L ja´ que

|f(xδ(n))− L| ≥ �0, ∀n,
ou seja, na˜o se aproxima do nu´mero L mais que �0. Isso contradiz a Definic¸a˜o 0.1.

Agora suponha Definic¸a˜o 2.1 e vamos obter a informac¸a˜o dada pela Definic¸a˜o 0.1.
Considere qualquer sequeˆncia xn de I \ {x} que tenda a x: queremos saber enta˜o

se e´ verdade que f(xn) tende a L. Ou seja, se dado � > 0 existe n� ∈ N tal que
∀n ≥ n� temos |f(xn)− L| < �.

O que sei pela Definic¸a˜o 2.1 e´ que existe um δ > 0 tal que:

0 < |x− x| < δ ⇒ |f(x)− L| < �.
Enta˜o tomo esse δ > 0 e, para ele, tomo um nδ ∈ N tal que:

∀n ≥ nδ ⇒ 0 < |xn − x| < δ
(o que funciona pois xn tende a x).

Logo |f(xn)−L| < � pois os xn entraram na regia˜o adequada em torno de x, que
e´ (−δ + x, x+ δ).

A Figura ilustra:

x

L

L−ε

ε+L

δ−x x + δ

x_n

f (x_n)

Lembrando que o δ = δ(�), pois depende de �, obtivemos o que quer´ıamos, ja´ que
|f(xn)− L| < � a partir de um certo tempo nδ(�).

�

Exemplos:

CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 61

1)- f(x) = ax+ b, polinoˆmio de grau ≤ 1, tem limx→x f(x) = ax+ b. De fato, se
a = 0 e´ claro que a f ≡ b constante tende a b. Caso a 6= 0, quando for dado � > 0
tome por exemplo δ(�) := �|a| . Enta˜o se |x− x| < �|a| temos:

|f(x)− L| = |ax+ b− (ax+ b)| = |a||x− x| < |a| · �|a| = �,

como quer´ıamos.
2)- No exemplo 1) o δ so´ dependeu do �. Agora dou um exemplo em que o δ

depende tambe´m do x, ficando cada vez menor a` medida que o x vai sendo escolhido
mais perto de um extremo do domı´nio da f .

Seja f : R>0 → R, f(x) = 1
x
. Veremos na pro´xima Sec¸a˜o que limx→x f(x) = 1x .

Mas a Figura a seguir ilustra como vai ficando mais dif´ıcl encontrar o δ adequado a`
medida que x > 0 se aproxima do 0.

2 ε

2 ε

2 ε

Figura: Para um mesmo �, preciso cada vez menores valores de δ

3. Limites quando x tende ao infinito

Quando um cientista quer entender um fenoˆmeno, ele pode querer entender na˜o
apenas o comportamento agora, mas sim a longo prazo. Por exemplo, pode se per-
guntar se a longo prazo a Lua permanecera´ girando em torno da Terra.

Na linguagem do Ca´lculo isso se expressa numa pergunta assim: a que tende o
fenoˆmeno quando o tempo x fica arbitrariamente grande ? O que se po˜e em s´ımbolos:

lim
x→+∞

f(x) = L ∈ R, ou lim
x→−∞

f(x) = L ∈ R.
Ambos s´ımbolos admitem dois tipos de definic¸o˜es (equivalentes)

Definic¸a˜o 3.1. Dizemos que

lim
x→+∞

f(x) = L ∈ R
se ∀� > 0 existe K > 0 tal que |f(x)− L| < �, se x > K.

Ou

3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 62

Definic¸a˜o 3.2. Dizemos que

lim
x→+∞

f(x) = L ∈ R
se ∀(xn)n contida no domı´nio de f com limn→+∞ xn = +∞ temos limn→+∞ f(xn) =
L.

(onde limn→+∞ xn = +∞ foi apresentado na Definic¸a˜o 3.2).

Deixo para o leitor verificar a equivaleˆncia dessas duas Definic¸o˜es 3.1 e 3.2.
Analogamente se define limx→−∞ f(x) = L ∈ R.
Geometricamente, as Definic¸o˜es 3.1 ou 3.2 se ilustram na Figura a seguir, em que

o gra´fico se aproxima da altura L cada vez mais:

0,98

0,96

0,94

0,92

x

30025020015010050

Figura: Quando x aumenta o gra´fico se aproxima de uma altura definida.

As propriedades ba´sicas dessas noc¸o˜es sa˜o ana´logas a`quelas do Teorema 1.1:

Teorema 3.1. Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo ilimitado a` direita.1

Suponha2

lim
x→+∞

f(x) = L1 ∈ R e lim
x→+∞

g(x) = L2 ∈ R.
Enta˜o:
1) A func¸a˜o soma f + g tem

lim
x→+∞

(f + g)(x) = L1 + L2.

2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g tem
lim

x→+∞
(f − g)(x) = L1 − L2.

3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(x) := C · f(x) tem
lim

x→+∞
(C · f)(x) = C · L1

4 ) Suponha uma func¸a˜o q(x) com o mesmo domı´nio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K,
∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Enta˜o

lim
x→+∞

( f(x) · q(x) ) = 0.
1Enuncio apenas para x→ +∞, pois e´ ana´logo se x→ −∞
2Atenc¸a˜o que L1, L2 teˆm que ser nu´meros, na˜o podem ser substitu´ıdos pelos s´ımbolos +∞ ou

−∞

CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 63

5) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem
lim

x→+∞
(f · g)(x) = L1 · L2.

6) Se L2 6= 0, enta˜o:
i) se x e´ suficientemente grande enta˜o g(x) 6= 0 e

ii) limx→+∞
f(x)
g(x)

= L1
L2
.

7) Suponha uma outra func¸a˜o q(x) definida no mesmo domı´nio e que adicional-
mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Enta˜o

lim
x→+∞

q(x) = lim
x→+∞

f(x) = L1.

Demonstrac¸a˜o.

Prova do item 1): Quero saber se a sequeˆncia soma f(xn)+g(xn) tende a L1+L2,
se a sequeˆncia xn tem limn→+∞ xn = +∞. Mas por hipo´tese f(xn) tende a L1 e
g(xn) tende a L2. Logo pelo item 1) do Teorema 3.1 aplicado a`s sequeˆncias f(xn) e
g(xn) obtemos que f(xn) + g(xn) tende a L1 + L2.

Os outros itens se demonstram da mesma maneira. �

Exemplos:

1) Obviamente a func¸a˜o constante f ≡ C tem limx→+∞ C = C.

2) A func¸a˜o f : R<0 ∪ R>0 → R, f(x) = 1
x
tem

lim
x→+∞

1

x
= lim

x→−∞
1

x
= 0.

De fato, | 1
x
| < � se |x| > K := 1

�
, o que esta´ de acordo com a Definic¸a˜o 3.1.

3)

lim
x→+∞

C

x
= C · lim

x→+∞
1

x
= C · 0 = 0

usando o Teorema 3.1.
4) Tambe´m

lim
x→+∞

1

x2
= lim

x→+∞
(
1

x
· 1
x
) = 0 · 0,

pelo Teorema 3.1.

5)

lim
x→+∞

(C +
1

x
) = C + lim

x→+∞
1

x
= C + 0 = C

usando o Teorema 3.1.

3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 64

6)

lim
x→+∞

C1 x

C2 x+ C3
=

C1
C2

,

onde C1, C2, C3 sa˜o constantes na˜o nulas. De fato, primeiro observe que se x se faz
ta˜o grande quanto quisermos, em particular x > 0. Logo posso escrever:

lim
x→+∞

C1 x

C2 x+ C3
= lim

x→+∞
xC1

x (C2 +
C3
x
)
= lim

x→+∞
C1

(C2 +
C3
x
)

e agora uso o Teorema 3.1 e os Exemplos anteriores , concluindo que

lim
x→+∞

C1

(C2 +
C3
x
)
=
C1
C2

.

7) O mesmo tipo de argumento do Exemplo 6) da´ que:

lim
x→+∞

an x
n + an−1xn−1 + . . .+ a0

bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
=

an
bn
,

onde ai, bi sa˜o constantes, an 6= 0, bn 6= 0.
De fato, como posso supor x > 0:

lim
x→+∞

an x
n + an−1xn−1 + . . .+ a0

bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
=

= lim
x→+∞

xn · (an + an−1x + . . .+ a0xn )
xn · (bn + bn−1x + . . .+ b0xn )

=

= lim
x→+∞

(an +
an−1
x

+ . . .+ a0
xn
)

(bn +
bn−1
x

+ . . .+ b0
xn
)
=

an
bn