Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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,

usando novamente o Teorema 3.1 e Exemplos pre´vios.
Ilustro o Exemplo 7) nas Figura que segue, onde an = a2 = 2 e bn = b2 = 1:

1,6

0,8

1,2

x

2001501000 50

2

1,8

1,4

1

0,6

Figura: Gra´fico de 2x
2+x+4

x2+3x+7
com x ∈ [0, 200].

8)
Se m < n, am 6= 0, bn 6= 0:

lim
x→+∞

am x
m + am−1xm−1 + . . .+ a0

bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
= 0.

CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 65

De fato,

lim
x→+∞

xm · (am + am−1x + . . .+ a0xm )
xm · xn−m · (bn + bn−1x + . . .+ b0xn )

=

= lim
x→+∞

1

xn−m
(am +

am−1
x

+ . . .+ a0
xm

)

(bn +
bn−1
x

+ . . .+ b0
xn
)

= 0 · am
bn

= 0,

usando o Teorema 3.1.
Ilustro este Exemplo 8) na Figura a seguir, com am = a2 = 20 e bn = b3 = 0.01.

Escolhi o coeficiente b3 = 0.01 bem pequeno em relac¸a˜o ao a2 = 20 de propo´sito,
para indicar que na˜o adianta, pois a longo prazo o grau 3 do denominador e´ mais
importante.

6000

4000

2000

0

x

302520155 10

8000

Figura: Gra´fico de 20x
2+30x+40
(0.01)x3

, para x ∈ [1, 30]

Estes dois Exemplos 7) e 8) ilustram o seguinte princ´ıpio: a longo prazo o que im-
porta sa˜o os graus mais altos dos polinoˆmios envolvidos num quociente de polinoˆmios.

9) Lembrando apenas que a func¸a˜o seno tem | sin(x)| ≤ 1, enta˜o

lim
x→+∞

sin(x)

x
= 0

pois limx→+∞ 1x = 0 (use o Teorema 3.1).

0,4

0,2

-0,2

0,3

0,1

x

12080

-0,1

0
20 40 10060

Figura: O gra´fico de sin(x)
x

para x ∈ [2, 130]

4. QUANDO A PARTE E´ DO MESMO TAMANHO DO TODO 66

4. Quando a parte e´ do mesmo tamanho do todo

Nesta Sec¸a˜o proponho explicar o seguinte Teorema, que parece um total absurdo:

Afirmac¸a˜o 4.1. A reta inteira de nu´meros Reais tem tantos pontos quanto o intervalo
aberto (−1, 1).

Em primeiro lugar preciso lembrar o que significa dois conjuntos terem o mesmo
nu´mero de elementos. O exemplo que mais gosto, para explicar essa noc¸a˜o, li num
um livro de Tarski.

Imagine num garc¸om colocando, para cada cliente, um garfo e uma faca ao lado
do prato. Ao final da tarefa, ele teˆm a seguinte conversa com o cozinheiro:

• cozinheiro: para preparar a refeic¸a˜o, gostaria de saber quantos clientes temos
hoje.

• garc¸om: na˜o contei, na˜o sei.
• cozinheiro: mas voceˆ na˜o estava pondo os garfos e facas para cada um deles
?

• garc¸om: sim, mas so´ o que tenho certeza e´ que ha´ tantos garfos quanto facas
a` mesa.

• cozinheiro: mas como voceˆ pode ter certeza disso, sem saber quantos garfos
e facas voceˆ poˆs, ja´ que na˜o contou ?

• garc¸om: ora, e´ fa´cil, sei que ha´ tantos garfos quanto facas porque para cada
faca colocada, coloquei um garfo, e na˜o mais de um garfo.

A moral dessa histo´ria e´ a seguinte: dois conjuntos teˆm o mesmo nu´mero de
elementos quando ha´ uma func¸a˜o f sobrejetora (nenhuma faca sem garfo) e injetora
(na˜o mais de um garfo) entre eles. Apesar de que na˜o saibamos exatamente quantos
elementos os conjuntos teˆm.

Um exemplo conhecido ja´ por Galileu e´ que ha´ tantos nu´meros Naturais N quanto
nu´meros Pares 2N: de fato, existe a bijec¸a˜o

f : N→ 2N, f(n) = 2n,
cuja inversa da´ f−1(2n) = n. Apesar disso 2N ⊂ N, por isso se diz que, nesse caso, a
parte e´ do tamanho do todo !

Para provar a Afirmac¸a˜o 4.1, considero a seguinte func¸a˜o:

f : R→ R, f(x) := x| x |+ 1 .

Primeiro noto que esta´ bem definida em todos os Reais, pois seu denominador nunca
se anula. Agora afirmo que f(R) ⊂ (−1, 1), ou seja, que

∀x ∈ R, −1 < x| x |+ 1 < 1.

CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 67

De fato, primeiro f(0) = 0 e se x > 0 enta˜o |x| = x e portanto:

0 <
x

x+ 1
< 1,

pois 0 < x < x+ 1. E se x < 0, enta˜o |x| = −x e portanto:

−1 < x−x+ 1 < 0,

pois −1 · (−x+ 1) = x− 1 < x.
O que na˜o esta´ ainda nada claro e´ se f e´ sobrejetora, ou seja, se

(−1, 1) ⊂ f(R), ou seja f(R) = (−1, 1).
Estou assumindo neste momento, sem demonstrar, que a imagem de f e´ algum

intervalo f(R) = (a, b) ⊂ (−1, 1).
O que quero mostrar agora e´ que na˜o acontece que −1 < a nem que b < 1. Para

isso meu argumento e´ o seguinte: vou mostrar que

lim
x→+∞

x

| x |+ 1 = 1 e limx→−∞
x

| x |+ 1 = −1,

ou seja, pela Definic¸a˜o de limite, que f atinge valores ta˜o pro´ximos de 1 e de −1
quanto quisermos. Isso impedira´ que −1 < a e que b < 1.

Mas se x→ +∞ enta˜o em particular x > 0 e

lim
x→+∞

x

| x |+ 1 = limx→+∞
x

x+ 1
= lim

x→+∞
x · 1

x · (1 + 1
x
)
= 1,

pelo Teorema 3.1 e Exemplos que o seguem.
E se x→ −∞ enta˜o em particular x < 0 e

lim
x→−∞

x

| x |+ 1 = limx→−∞
x

−x+ 1 = limx→−∞
x · 1

x · (−1 + 1
x
)
= −1,

pelo Teorema 3.1 e Exemplos que o seguem.
Agora so´ falta ver que f e´ injetiva: mas note que se x > 0, de y = x

x+1
obtenho

y = x− xy e da´ı:
x =

y

1− y ,

que e´ bem definido pois y < 1. E se x < 0 enta˜o de y = x−x+1 obtenho y = x + xy e
da´ı:

x =
y

1 + y
,

que e´ bem definido pois −1 < y.
Isso mostra que y = f(x) e´ injetiva, ja´ que tenho explicitamente sua func¸a˜o inversa

x = f−1(y).

As Figuras a seguir mostram parte dos gra´ficos de f e de f−1, respectivamente:

5. EXERCI´CIOS 68

0,4

-0,4

0,8

0

-0,8x
42-2 0-4

2

-2

4

0

-4

x

0,80,4-0,40-0,8

Para terminar, chamo a atenc¸a˜o do leitor que f−1 : (−1, 1)→ R faz uma espantosa
expansa˜o do intervalo (−1, 1). A expansa˜o feita por f−1(y) depende sensivelmente
de y e aumenta cada vez mais a` medida que y vai para os extremos do intervalo. Na
Parte 2 do Curso poderemos justificar e explicar melhor a seguinte Afirmac¸a˜o sobre
f−1:

Afirmac¸a˜o 4.2. Se y ∈ [0, 1) enta˜o a taxa de expansa˜o de f−1 e´ de 1
(1−y)2 e a taxa

de expansa˜o de f−1(y) para y ∈ (−1, 0] e´ de 1
(1+y)2

.

Uma comparac¸a˜o e´ natural: um dos fenoˆmenos mais bizarros do Universo e´ que
na˜o apenas ele se expande, e que quanto mais longe mais ele se expande, mas tambe´m,
como se descobriu faz pouco tempo, que essa expansa˜o esta´ aumentando...

5. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.1. A seguir dado � > 0 determine δ > 0 (em func¸a˜o de �) tal que
|x− x0| < δ implique |f(x)− L| < �:

a): x0 = 1, f(x) = 555x, L = 555,

CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 69

b): x0 = 0, f(x) = x
2, L = 0,

c): x0 = 0, f(x) = 555x
2, L = 0.

Exerc´ıcio 5.2.

0,5

1

-0,5

0

-1

50
x

30 4010 200

A figura mostra o gra´fico da func¸a˜o f : R>0 → (−1, 1) dada por

f(x) =
x− 1
x+ 1

.

Prove aquilo que e´ sugerido pelo gra´fico, ou seja, que

lim
x↘0

f(x) = −1 e lim
x→+∞

f(x) = 1.

Exerc´ıcio 5.3. Determine:
a): limx→2 x

2+5x+6
x+2

,

b): limx→2 1(x−2)2 ,

c): limx→−6 −1(x+6)2 ,

d): limx↗−6 −1x+6 ,

e): limx↘−6 −1x+6 .

Exerc´ıcio 5.4. Considere os seguintes limites

lim
x→1

x3 − 3x+ 2
x− 1 e limx→1

x3 − 3x+ 2
(x− 1)2 .

i) Antes de fazer contas, diga qual a diferenc¸a qualitativa que ha´ entre os dois
casos.

ii) Calcule os limites.
iii) sera´ que existe o

lim
x→1

x3 − 3x+ 2
(x− 1)3 ?

5. EXERCI´CIOS 70

Exerc´ıcio 5.5. Calcule

lim
x→1

x3 − 2x2 − 4x+ 8
x− 2 e limx→1

x3 − 2x2 − 4x+ 8
(x− 2)2 .

Exerc´ıcio 5.6. i) Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por partes:
f(x) = −x, se x < −1,

f(x) = x2 + x+ 1, se − 1 ≤ x ≤ 1,
f(x) = 2 · x, se 1 < x.

Existem os limites lim
x→−1

f(x) ou lim
x→1

f(x)?

ii) Ajuste os paraˆmetros b, c para que g : R→ R definida por partes:
g(x) = −x, se x < −1,

g(x) = x2 + b · x+ c, se − 1 ≤ x ≤ 1,
g(x) = 2 · x, se 1 < x.

tenha ambos os limites lim
x→−1

g(x) e lim
x→1

g(x)

CAP´ıTULO 6

A noc¸a˜o de Continuidade

Na Definic¸a˜o a seguir pediremos um pouco mais que o que foi exigido na Definic¸a˜o
0.1, pois vamos pedir que:

• x ∈ I (domı´nio da func¸a˜o) e que
• limx→x f(x) = f(x)

ou seja que o limite