Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes


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+ a2n\u22122
x
+ . . .
a0
x2n\u22121
)
e´ o mesmo sinal de a2n\u22121x2n\u22121, que e´ a2n\u22121x2n\u22121 > 0.
Argumentando do mesmo jeito para x\u2192 \u2212\u221e, concluimos que o sinal de
a2n\u22121x2n\u22121 · (1 + a2n\u22122
x
+ . . .
a0
x2n\u22121
)
para x < 0 suficientemente grande e´ o mesmo sinal de a2n\u22121x2n\u22121, que nesses pontos
e´ a2n\u22121x2n\u22121 < 0.
Enta\u2dco
f(x) = a2n\u22121 · x2n\u22121 + a2n\u22122 · x2n\u22122 + . . .+ a1 · x+ a0
assumiu valores negativos e positivos.
Pelo T.V.I. e pela continuidade do polino\u2c6mio f(x), tem que haver um ponto onde
f(x) = 0.
Caso a2n+1 < 0: completamente ana´logo.
\ufffd
Esse teorema (e sua prova) na\u2dco da\u2dco nenhuma pista de como achar concretamente
algum ponto x onde f(x) = 0.
Em dois trabalhos, de 1690 e 1691, Michel Rolle tentou estabelecer um me´todo
para determinar concretamente esses zeros.
Ele o fez de um modo bem confuso, pois na\u2dco tinha uma boa definic¸a\u2dco de Derivada,
mas seu nome ficou associado ao teorema que estabeleceremos mais adiante no Cap´\u131tulo
10 e que nos permitira´ criar me´todos para encontrar ra´\u131zes de polino\u2c6mios (e de func¸o\u2dces
mais gerais).
Um aplicac¸a\u2dco interessante do Teorema de Rolle e do T.V.I. sera´ dada na Sec¸a\u2dco 5
do Cap´\u131tulo 13, para provar a Regra de sinais de Descartes, que da´ uma estimativa
do nu´mero de ra´\u131zes Reais de um polino\u2c6mio.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A\u2dcO DE CONTINUIDADE 81
7. Ra´\u131zes simples e fatorac¸a\u2dco de polino\u2c6mios
Acho que pode ser u´til na formc¸a\u2dco dos estudantes, ter uma prova do seguinte fato
fundamental:
Teorema 7.1. Seja f(x) = anx
n+ an\u22121xn\u22121+ . . .+ a0 um polino\u2c6mio de grau n, com
coeficientes ai \u2208 R.
Sa\u2dco equivalentes:
\u2022 i) f(x) = 0 para alguma ra´\u131z x \u2208 R e
\u2022 ii) f(x) = (x \u2212 x) · g(x) onde g(x) e´ um polino\u2c6mio de grau n \u2212 1 com
coeficientes Reais.
Demonstrac¸a\u2dco.
ii) obviamente implica i), pois:
f(x) = (x\u2212 x) · g(x) = 0.
A prova de que i) implica ii) sera´ dividida em duas etapas.
A parte interessante e´ construir o g(x) que queremos em:
f(x) = (x\u2212 x) · g(x) + r,
onde r e´ uma constante.
Se tivermos feito isso, avaliaremos tudo em x:
0 = f(x) = (x\u2212 x) · g(x) + r = r,
para concluir que r = 0.
Para chegarmos na desejada expressa\u2dco f(x) = (x\u2212x)·g(x)+r, temos um algoritmo
a executar.
Para f(x) = anx
n + an\u22121xn\u22121 + . . .+ a0 , fac¸o
g1(x) := an · xn\u22121
e subtraio
r1(x) := f(x)\u2212 (x\u2212 x) · g1(x).
O g1(x) foi escolhido para que r1(x) na\u2dco tenha termo de grau n. Ou seja que esse
novo polino\u2c6mio r1(x) tem grau \u2264 n\u2212 1. Se por acaso r1(x) \u2261 0 enta\u2dco
f(x) = (x\u2212 x) · g1(x)
e ja´ temos o que queremos, com r = 0 e g(x) := g1(x).
Caso contra´rio r1(x) = bkx
k + bk\u22121xk\u22121 + . . ., onde k \u2264 n\u2212 1; defino
g2(x) :=
xk\u22121
bk
,
e subtraio
r2(x) := r1(x)\u2212 (x\u2212 x) · g2(x).
7. RAI´ZES SIMPLES E FATORAC¸A\u2dcO DE POLINO\u2c6MIOS 82
Pela definic¸a\u2dco do g2(x) esse novo polino\u2c6mio r2(x) tem grau \u2264 n\u2212 2. Se dermos sorte
e r2(x) \u2261 0 enta\u2dco
f(x) = (x\u2212 x) · [g1(x) + g2(x)],
e ja´ temos o que queremos com r = 0 e g(x) = g1(x) + g2(x).
Caso contra´rio continuamos, considerando agora r2(x) = cjx
j + cj\u22121xj\u22121 + . . .,
onde j \u2264 n\u2212 2 e definindo g3(x) e r3(x) como fizemos antes.
O que importa e´ que o grau desse novo r3(x) sera´ \u2264 n \u2212 3. Ou seja, como va\u2dco
caindo os graus dos rk(x) a cada etapa, apo´s no ma´ximo n etapas chegaremos a um
rk(x) (k \u2264 n) que ou bem e´ \u2261 0 ou bem tem grau zero, uma constante. Esse sera´ o
r. E g(x) := g1(x) + . . .+ gk(x), k \u2264 n. \ufffd
Digressa\u2dco sobre o Teorema 7.1:
Se observarmos a prova desse Teorema vemos que, na fatorac¸a\u2dco
f(x) = (x\u2212 x) · g(x)
os coeficientes do polino\u2c6mio g(x) sa\u2dco soma, subtrac¸o\u2dces, produtos, quocientes da ra´\u131z
x e dos coeficientes ai de f(x).
Por isso, se a ra´\u131z x fossse um nu´mero Complexo e a1 sa\u2dco Reais ou Complexos, de-
veria haver uma fatorac¸a\u2dco de f onde o polino\u2c6mio g(x) tivesse coeficientes Complexos.
Por exemplo, temos
x3 \u2212 1 = (x\u2212 1) · (x2 + x+ 1)
e isso e´ tudo que podemos fazer se estamos limitados a trabalhar com coeficientes
Reais.
Mas x2 + x+ 1 tem ra´\u131zes Complexas:
x1 :=
\u22121 \u2212\u221a\u22121\u221a3
2
e x2 :=
\u22121 +\u221a\u22121\u221a3
2
,
ous seja, as ra´\u131zes Reais ou Complexas de x3 \u2212 1 = 0 sa\u2dco 1, x1, x2. Portanto deveria
haver uma fatorac¸a\u2dco:
x3 \u2212 1 = (x\u2212 x1) · g(x),
com os coeficientes desse novo g(x) nos Complexos.
Seguindo os passos do algoritmo dado na prova do Teorema 7.1 (com a mesma
notac¸a\u2dco), fac¸o:
g1(x) := x
2
r1 := x
3 \u2212 1\u2212 x2 · (x\u2212 x1) =
= x1 x
2 \u2212 1.
Agora
g2(x) := x1 x,
r2 := r1 \u2212 x1 x · (x\u2212 x1) =
= x21 x\u2212 1.
E tambe´m
g3(x) := x
2
1,
CAPI´TULO 6. A NOC¸A\u2dcO DE CONTINUIDADE 83
r3 := r2 \u2212 x21 · (x\u2212 x1) =
= \u22121 + x31 = 0.
Portanto
g(x) := g1(x) + g2(x) + g3(x) =
= x2 + x1 x+ x
2
1,
e a fatorac¸a\u2dco e´
x3 \u2212 1 = (x\u2212 x1) · ( x2 + x1 x+ x21 ), onde x1 :=
\u22121\u2212\u221a\u22121\u221a3
2
.
Note que:
(x\u2212 1) · (x\u2212 x2) = x2 \u2212 (x2 + 1) x+ x2 =
= x2 + x1 x+ x
2
1,
pois claramente
x2 + 1 = \u2212x1,
e
x21 = x2.
8. Poss´\u131veis ra´\u131zes Racionais de polino\u2c6mios a coeficientes inteiros
Aproveito o tema das ra´\u131zes de polino\u2c6mios para lembrar o seguinte Teste, que
permite saber se pode haver ra´\u131z Racional de um polino\u2c6mio a coeficientes Inteiros:
Afirmac¸a\u2dco 8.1. Seja p(x) = ak · xk + ak\u22121 ·xk\u22121+ . . .+ a1 ·x+ a0 polino\u2c6mio de grau
k \u2265 1 com coeficientes Inteiros:
ak, ak\u22121, . . . , a1, a0 \u2208 Z.
Suponha que p(x) tem alguma ra´\u131z Racional, ou seja, da forma
x =
m
n
\u2208 Q, com m e n primos entre si.
Enta\u2dco m e´ divisor de a0 e n e´ divisor de ak.
Demonstrac¸a\u2dco.
Suponho que:
p(
m
n
) = ak · m
k
nk
+ ak\u22121 · m
k\u22121
nk\u22121
+ . . .+ a1 · m
n
+ a0 = 0.
Enta\u2dco
ak · m
k
nk
+ ak\u22121 · m
k\u22121
nk\u22121
+ . . .+ a1 · m
n
= \u2212a0
e multiplicando por nk:
ak ·mk + n · ak\u22121 ·mk\u22121 + . . .+ a1 · nk\u22121 ·m = \u2212nk · a0
e da´\u131:
m · [ak ·mk\u22121 + n · ak\u22121 ·mk\u22122 + . . .+ a1 · nk\u22121] = nk · (\u2212a0).
Como
ak ·mk\u22121 + n · ak\u22121 ·mk\u22122 + . . .+ a1 · nk\u22121 \u2208 Z
temos que m e´ um divisor de nk · (\u2212a0).
9. EXERCI´CIOS 84
Como m e n sa\u2dco primos entre si isso implica que m e´ divisor de a0.
Tambe´m temos:
\u2212ak · m
k
nk
= ak\u22121 · m
k\u22121
nk\u22121
+ . . .+ a1 · m
n
+ a0
e portanto, multiplicando por nk:
\u2212ak ·mk = n · ak\u22121 ·mk\u22121 + . . .+ nk\u22121 · a1m+ nk · a0
e da´\u131:
\u2212ak ·mk = n · [ak\u22121 ·mk\u22121 + . . .+ nk\u22122 · a1 ·m+ nk\u22121 · a0].
Como
ak\u22121 ·mk\u22121 + . . .+ nk\u22122 · a1 ·m+ nk\u22121 · a0 \u2208 Z
isso diz que n e´ divisor de \u2212ak ·mk. Como m e n sa\u2dco primos entre si, isso implica
que n e´ divisor de ak.
\ufffd
Na Sec¸a\u2dco 5 do Cap´\u131tulo 13 daremos uma prova da Regra de Sinais de Descartes,
que estima quantos zeros pode ter um polino\u2c6mio a coeficientes Reais.
9. Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 9.1. Considere a func¸a\u2dco definida assim: f(x) = 0 se x e´ um nu´mero
racional e f(x) = 1 se x e´ um nu´mero irracional.
i): Como e´ seu gra´fico ?
ii): em que pontos ela e´ cont´\u131nua ou e´ descont´\u131nua?
Exerc´\u131cio 9.2. A soma, o produto e a composic¸a\u2dco de func¸o\u2dces cont´\u131nuas produz
func¸o\u2dces cont´\u131nuas. Usando isso calcule:
i) lim
x\u21921
(3x\u2212 4x) · (x5 \u2212 2x)4,
ii) lim
x\u21921
\u221a
4x\u2212 3x · (x5 \u2212 2x)4.
Exerc´\u131cio 9.3. De\u2c6 um exemplo de f(x) descont´\u131nua em algum ponto mas tal que
f 2(x) e´ cont´\u131nua em todos os pontos.
Exerc´\u131cio 9.4. (resolvido)
Prove que a func¸a\u2dco definida por f(x) = x · sin( 1
x
), se x > 0 e f(0) = 0 e´ cont´\u131nua.
Exerc´\u131cio 9.5. Prove a Afirmac¸a\u2dco 1.1, que chamei de princ´\u131pio de ine´rcia das func¸o\u2dces
cont´\u131nuas.
Exerc´\u131cio 9.6. Um aluno me disse que, para descobrir em quais intervalos um
polino\u2c6mio y = f(x) de grau n e´ positivo ou negativo, ele faz o seguinte.
Ele primeiro descobre todas as ra´\u131zes Reais x1, x2, . . . , xk, onde k \u2264 n.
Depois considera os intervalos (\u2212\u221e, x1), (x1, x2), etc , (xk\u22121, xk), (xk,+\u221e). Enta\u2dco
para saber o sinal de f em cada intervalo desses, ele examina o sinal de f(x) em um
u´nico x de cada intervalo.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A\u2dcO DE CONTINUIDADE 85
O me´todo dele esta´ correto ? Se esta´,