Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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justifique-o com conceitos/ teoremas do
Ca´lculo.

Exerc´ıcio 9.7. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f positiva em um ponto x, mas tal
que f(xn) = 0 em pontos xn que formam um sequeˆncia com limn→+∞ xn = x.

Exerc´ıcio 9.8. Encontre o domı´nio da func¸a˜o racional f(x) = 1
x2−1 . Descreva o que

acontece com o mo´dulo e o sinal de f quando x se aproxima pela esquerda e pela
direita dos pontos onde ela na˜o esta´ definida.

Exerc´ıcio 9.9. (resolvido)
i) Prove que

lim
x→+∞

√
5 · x2 + x
x+ 2

=
√
5

1,8

1,4

1

x

100806040

2,2

20

2

1,6

1,2

0,8

Figura: Gra´fico de y =
√
5·x2+x
x+2

, x ∈ [1, 100], √5 ≈ 2.23.
ii) Prove que

lim
x→−∞

√
5 · x2 + 2
x+ 2

= −
√
5

Exerc´ıcio 9.10. (resolvido) Um exemplo que na˜o parece estar ligado a quocientes,
mas que se calcula introduzindo quocientes:

lim
x→+∞

(
√
x2 + x− x ) = 1

2
.

9. EXERCI´CIOS 86

0,5

0,48

0,46

0,42

0,44

x

100806020 40

Figura: Gra´fico de y =
√
x2 + x− x, x ∈ [1, 100].

Exerc´ıcio 9.11. E´ um fato que o polinoˆmio

y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1
so´ tem uma ra´ız Real. Na˜o e´ fa´cil acha´-la explicitamente. Mas com o Teorema do
Valor Intermedia´rio voceˆ pode concluir que a ra´ız Real e´ um ponto do intervalo [−1, 1].
Por queˆ ?

No Cap´ıtulo 18 daremos um me´todo para determinar essa ra´ız, que foi descoberto
por Newton (para variar ...)

Exerc´ıcio 9.12. (resolvido)
A equac¸a˜o x3 + 1 = 0 e, em geral, as as equac¸o˜es de grau ı´mpar

x2n+1 + 1 = 0, n ∈ N
tem obviamente como u´nica ra´ız Real o x = −1.

Na˜o e´ fa´cil resolver explicitamente a equac¸a˜o x3 + � · x+ 1 = 0, com � ≥ 0 fixado,
a menos que se conhec¸a a fo´rmula de Cardano; com ela se obte´m a ra´ız Real

x =
3

√
−1
2
+

√
1

4
+

�3

27
− 3
√

1

2
+

√
1

4
+

�3

27
.

Torna-se intrata´vel tentar resolver explicitamente o seguinte tipo de equac¸a˜o de
grau ı´mpar:

x2n+1 + �1 · x2n−1 + �2 · x2n−3 + . . .+ �n−1 · x3 + �n · x+ 1 = 0,
com

�i ≥ 0, i = 1, . . . n− 1 e �n > 0
fixados.

i) Prove que cada uma dessas equac¸o˜es teˆm um u´nica ra´ız Real.
ii) Prove que a ra´ız de cada uma delas esta´ em [−1, 0).
iii) Para cada nu´mero em [−1, 0) encontre alguma dessas equac¸o˜es que o tenha

como u´nica ra´ız.

CAP´ıTULO 7

Geometria Anal´ıtica Plana

1. Equac¸o˜es de retas, coeficientes angular e linear

A equac¸a˜o de uma reta vertical por dois pontos (x, y1) e (x, y2) e´

x− x = 0.
Mas a equac¸a˜o de uma reta na˜o-vertical por (x1, y1) e (x2, y2) e´ do tipo:

y = a1 · x+ a0, a1, a0 ∈ R.
Ou seja, sua equac¸a˜o e´ um tipo bem simples de polinoˆmio, cujo grau em x e´ ≤ 1.

Vamos usar uma notac¸a˜o mais habitual:

y = a · x+ b, a, b ∈ R.
Afirmac¸a˜o 1.1. Os coeficientes a, b da equac¸a˜o y = ax + b da reta passando pelos
dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) com x1 6= x2 sa˜o dados por:

a =
y
2
− y

1

x2 − x1
,

e

b = y
1
− a · x1 = y2 − a · x2.

Demonstrac¸a˜o. De

y
1
= a · x1 + b e y2 = a · x2 + b,

subtraindo-as, obtemos:

y
2
− y

1
= a · (x2 − x1),

de onde

a =
y
2
− y

1

x2 − x1
,

(onde e´ crucial que x2 6= x1). E da´ı sai que:

b = y
1
− (y2 − y1

x2 − x1
) · x1,

ou o que da´ no mesmo:

b = y
2
− (y2 − y1

x2 − x1
) · x2.

�

87

1. EQUAC¸O˜ES DE RETAS, COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR 88

Note que esse nu´mero b e´ a altura em que a reta y = ax+ b intersecta o eixo dos
y, que e´ dado por x = 0: de fato,

y = a · 0 + b = b.
Definic¸a˜o 1.1. Dados dois pontos distintos do plano (x1, y1) e (x2, y2) com coor-
denadas x1 6= x2, definimos o coeficiente angular da reta ligando esses dois pontos
por:

y
2
− y

1

x2 − x1
=

y
1
− y

2

x1 − x2
.

Afirmac¸a˜o 1.2. O coeficiente angular e´ uma informac¸a˜o da reta, na˜o dependendo
dos pontos particulares que usamos para calcula´-lo.

Demonstrac¸a˜o.

De fato, se tomo qualquer ponto (x3, y3) da reta y = a · x + b determinada por
(x1, y1) e (x2, y2), como y3 = ax3 + b, enta˜o:

y
3
− y

1

x3 − x1
=

(a · x3 + b)− (ax1 + b)
x3 − x1

= a,

e ja´ vimos na Afirmac¸a˜o 1.1 que

a =
y
2
− y

1

x2 − x1
,

ou seja,
y
3
− y

1

x3 − x1
=

y
2
− y

1

x2 − x1
.

�

Como consequeˆncia temos a seguinte observac¸a˜o u´til para o Curso:

Afirmac¸a˜o 1.3. Dado um ponto (x1, y1) e um coeficiente angular pre´-estabelecido

valendo a, enta˜o a u´nica reta que passa por (x1, y1) e tem esse coeficiente angular e´
dada por

y = a · x+ (y
1
− a · x1).

Demonstrac¸a˜o. De fato, tomando um ponto (x, y) gene´rico dessa reta, enta˜o
pela Afirmac¸a˜o 1.2

y − y
1

x− x1
= a,

o que da´, isolando-se y:
y = a · x+ (y

1
− a · x1).

�

Exemplos:
1)- a diagonal y = x tem coeficente angular 1 e a anti-diagonal y = −x tem

coeficiente angular −1.
2)- A reta horizontal y = b tem coeficiente angular 0, pois y = b = 0 · x+ b.

CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 89

Observac¸o˜es:

• Se x1 = x2 enta˜o a reta que liga (x1, y1) e (x2, y2) e´ vertical e na˜o tem um
coeficiente angular definido.

Temos a tentac¸a˜o de dizer que o coeficiente angular da reta vertical e´
+∞. Mas se comec¸amos com a anti-diagonal e a vamos levantando, os co-
eficientes angulares ficam cada vez mais negativos e ao atingir a posic¸a˜o
vertical ficariam −∞: essa ambiguidade entre +∞ e −∞ para o candidato
a coeficiente angular da reta vertical e´ que faz que seja melhor desistirmos
de atribuir um coeficiente angular a` reta vertical.

• Geometricamente o coeficiente angular a representa o quociente entre o
cateto oposto y

2
− y

1
e o cateto adjacente x2 − x1 do triaˆngulo retaˆngulo

formado pelos pontos (x1, y1), (x2, y1) e (x2, y2): logo a = tan(α) ( tangente

do aˆngulo (anti-hora´rio) α formado pela reta e o eixo horizontal). Vimos
na Sec¸a˜o 2.3 que se um aˆngulo que tende a +pi

2
sua tangente tende a +∞,

enquanto que, se o angulo tende a −pi
2
, sua tangente tende a −∞.

• Se fixamos a e variamos b em y = a · x+ b estamos descrevendo uma famı´lia
de retas paralelas com a mesma inclinac¸a˜o.

2. Ortogonalidade

Deve estar claro pelo que ja´ explicamos que duas retas y = ax+ b1 e y = ax+ b2,
com b2 6= b1, sa˜o de fato paralelas.

Agora gostaria de explicar que uma par de retas y = ax+ b1 e y = − 1a x+ b2, com
a 6= 0, sa˜o ortogonais.

Posso me restringir a considerar retas pela origem: y = ax e y = − 1
a
x, pois

estas sa˜o translac¸o˜es verticais das retas anteriores, e portanto teˆm entre elas o mesmo
aˆngulo que as anteriores. Posso supor tambe´m que a > 0 (caso a < 0 enta˜o − 1

a
> 0

e poderia trabalhar com este coeficiente angular).
Se escrevo a = B

A
, com A,B > 0, enta˜o − 1

a
= −A

B
.

Agora considero 3 triaˆngulos (ilustrados na Figura a seguir):

• ∆1 dados pelos pontos (0, 0), (A, 0) e (A,B) e
• ∆2 dado pelos pontos (0, 0), (−B, 0) e (−B,A).
• ∆3 dado pelos pontos (0, 0), (A,B) e (−B,A).

3. TEOREMA DE TALES NO CI´RCULO 90

x

y

( − B , A )

( − B , 0 ) ( A, 0 )( 0 , 0 )

( A , B )

∆ 1
∆ 2

∆ 3

Observe que ∆1 e ∆2 sa˜o triaˆngulos retaˆngulos e que a reta que conte´m a hipotenusa
de ∆1 e´ y = ax , enquanto que a reta que conte´m a hipotenusa de ∆2 e´ a reta y = − 1ax.
Enta˜o por Pita´goras as hipotenusas de ∆1 e de ∆2 valem o mesmo:

√
A2 +B2.

Por outro lado o comprimento do segmento de reta ligando (−B,A) a (A,B) vale,
por definic¸a˜o: √

(B −A)2 + (A− (−B))2 =
√
2A2 + 2B2.

Portanto o triaˆngulo ∆3 e´ iso´sceles, pois tem dois lados de mesmo tamanho λ :=√
A2 +B2. Esses lados formam um aˆngulo em (0, 0) que denoto por α. E o terceiro

lado de ∆3, oposto a α, mede

√
2A2 + 2B2 =

√
λ2 + λ2.

Lembro agora que e´ va´lida a rec´ıproca do Teorema de Pita´goras (coisa pouco lembrada
no Ensino Me´dio), ou seja, se um lado maior de um triaˆngulo e´ soma