Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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Segundo Teorema Fundamental e A´reas 335
1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre a´rea 335
2. Segundo Teorema Fundamental do Ca´lculo 336
3. Regio˜es entre dois gra´ficos 337
4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340
5. Integral e centro de gravidade 343
6. Arquimedes e a para´bola: prova versus heur´ıstica 345
7. Exerc´ıcios 348

Cap´ıtulo 24. Integrac¸a˜o por partes 353
1. Exerc´ıcios 356

Cap´ıtulo 25. Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o 359
1. A substituic¸a˜o trigonome´trica x = sin(θ) 362

2. A´reas do C´ırculo e Elipse 363
3.

∫ √
r2 − x2 dx 365

4. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = sin(θ) 365
5. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = tan(θ) 367
6. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = tan(θ) 367
7.

∫ √
r2 + x2 dx 369

8. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = sec(θ) 369
9. Mais exemplos para a substituic¸a˜o x = sec(θ). 370
10.

∫ √
x2 − r2 dx 371

11. E as da forma
∫

1√
Ax3+Bx2+Cx+D

dx ? 371

12. Exerc´ıcios 371

Cap´ıtulo 26. Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais 373
1.

∫
(ax2 + bx+ c)−1 dx 373

2.
∫

αx+β
ax2+bx+c

dx 375

3.
∫

1
Ax3+Bx2+Cx+D

dx 377
4. Frac¸o˜es parciais em geral 380
5.

∫
1

(1+x2)n
dx, n ≥ 2 383

6. Exemplos 384
7. Exerc´ıcios 387

Cap´ıtulo 27. Integrais impro´prias 389
1. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 391

8 I´NDICE

2. As primeiras Transformadas de Laplace, a func¸a˜o Gama e o fatorial 392
3. Fo´rmula de Euler para o fatorial 396
4. Exerc´ıcios 396

Cap´ıtulo 28. A curvatura dos gra´ficos 397
1. O comprimento de um gra´fico 397
2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399
3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399
4. Integrais que ningue´m pode integrar 401
5. Velocidade de um gra´fico ou de uma curva 402
6. Definic¸a˜o de curvatura e sua fo´rmula 403
7. Qual a curvatura de uma quina ? 405

Cap´ıtulo 29. Se´ries convergentes 409
1. Se´ries k-harmoˆnicas, k > 1. 409
2. A se´rie geome´trica 411
3. O teste da raza˜o (quociente) 412
4. Um argumento geome´trico para a se´rie geome´trica 414

Cap´ıtulo 30. Aproximac¸a˜o de Nu´meros e Func¸o˜es importantes 415
1. Aproximac¸o˜es de ra´ızes quadradas por nu´meros racionais 415
2. Ra´ızes quadradas que sa˜o irracionais 415
3. Como tirar ra´ız quadrada so´ com +,−,×, / 416
4. Os Reais atrave´s de sequeˆncias de nu´meros Racionais 418
5. Aproximac¸o˜es de e por nu´meros Racionais 419
6. Arcotangente e cartografia 421
7. A aproximac¸a˜o de pi dada por Leibniz 423
8. Aproximac¸o˜es de logaritmos 425
9. Aproximac¸a˜o de logaritmos de nu´meros quaisquer 426
10. Aproximac¸a˜o de ln(2) 428
11. Exerc´ıcios 428

Cap´ıtulo 31. Se´ries nume´ricas e de func¸o˜es 429
1. Se´ries nume´ricas 429
2. Se´ries de poteˆncias 431
3. Se´ries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434
4. A se´rie binomial e sua se´rie de Taylor 439
5. Um devaneio sobre os nu´meros Complexos 442
6. Exerc´ıcios 443

Cap´ıtulo 32. O discriminante de polinoˆmios de grau 3 445
1. Preparac¸a˜o para a fo´rmula de Cardano 445
2. A fo´rmula de Cardano para as treˆs ra´ızes Reais: viagem nos Complexos 449
3. O discriminante como curva 452
4. A curva discriminante entre as cu´bicas singulares 454
5. Parametrizac¸a˜o dos pontos racionais de cu´bicas singulares 458
6. Cu´bicas singulares aparecem como sec¸o˜es com o plano tangente 459

I´NDICE 9

Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinoˆmios de grau 4 463
1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463
2. Discriminante como envelope de famı´lias de retas ou planos 465

Cap´ıtulo 34. Apeˆndice: O expoente 3
4
comanda a vida ! 467

1. Metabolismo versus massa corporal 467
2. Escalas log/log para um experimento 468
3. Reta de ajuste - me´todo de mı´nimos quadrados 468
4. A Lei experimental de Kleiber 470
5. Justificac¸a˜o racional da Lei de Kleiber 471
6. O argumento 472

Parte 2. Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e Aplicac¸o˜es 479

Cap´ıtulo 35. As primeiras equac¸o˜es diferenciais 481
1. A exponencial e as equac¸o˜es diferenciais 481
2. A definic¸a˜o original de Napier para o logaritmo 482
3. Decaimento radioativo e datac¸a˜o 484
4. Equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes 486
5. Objetos em queda-livre vertical 489
6. Queda ao longo de um gra´fico 493
7. A curva que minimiza o tempo 496
8. Bal´ıstica e o Super Ma´rio 500
9. Equac¸o˜es diferenciais lineares em geral 504
10. Um problema da Putnam Competition, n.14, 1954 504
11. Soluc¸o˜es das equac¸o˜es lineares gerais 506
12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510
13. As equac¸o˜es de Bernoulli e sua reduc¸a˜o a equac¸o˜es lineares 511
14. Exerc´ıcios 512

Cap´ıtulo 36. Aspectos gerais das equac¸o˜es de primeira ordem 515
1. Equac¸o˜es diferenciais e metamorfoses de curvas 515
2. Equac¸o˜es diferenciais em forma normal e as curvas Iso´clinas 517
3. Existeˆncia e unicidade para y′(x) = F (x, y) - Me´todo de Picard 520
4. Equac¸o˜es separa´veis 525
5. A clepsidra 527
6. Equac¸o˜es homogeˆneas 528
7. Equac¸o˜es exatas 530
8. Integral ao longo de um caminho 534
9. Derivada da integral em relac¸a˜o ao paraˆmetro - Fo´rmulas de Leibniz 536
10. Fatores integrantes 539
11. Equac¸o˜es impl´ıcitas, discriminantes e envelopes 542
12. Um problema da Putnam Competition, n. 5, 1942 548
13. Equac¸o˜es de Clairaut e de Lagrange: iso´clinas retas 550
14. Transformac¸a˜o de Legendre, dualidade e resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais553
15. Apeˆndice: Func¸o˜es cont´ınuas de duas varia´veis e continuidade uniforme 556

10 I´NDICE

16. Exerc´ıcios 558

Cap´ıtulo 37. Curvas de Perseguic¸a˜o 559
1. O problema 559
2. As elipses iso´cronas, segundo A. Lotka 566
3. Um envelope que e´ uma curva de perseguic¸a˜o 568
4. Exerc´ıcios 570

Cap´ıtulo 38. Cine´tica qu´ımica e crescimento bacteriano 571
1. Cine´tica qu´ımica 571
2. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de primeira ordem 573
3. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de segunda ordem 574
4. Crescimento bacteriano 576
5. Ponto de inflexa˜o da func¸a˜o log´ıstica 580
6. Equac¸a˜o de Bernoulli e reac¸o˜es qu´ımicas de ordem fraciona´ria 581

Cap´ıtulo 39. Newton e a gravitac¸a˜o 583
1. Atrac¸a˜o segundo o inverso do quadrado da distaˆncia 583
2. Tempo de colisa˜o e velocidade de escape 584
3. N´ıveis de energia 587
4. O´rbitas planeta´rias 589
5. Velocidade e acelerac¸a˜o expressas em coordenadas polares 589
6. Grandezas constantes ao longo das trajeto´rias 592
7. As o´rbitas como coˆnicas em coordenadas polares 597
8. Oscilador harmoˆnico 599
9. A´rea em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as a´reas 601
10. Em torno da proposic¸a˜o XXX do Principia 602
11. A Equac¸a˜o de Kepler para o movimento planeta´rio el´ıptico 606

Cap´ıtulo 40. Equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem 609
1. Reduc¸a˜o de ordem 609
2. Homogeˆneas, a coeficientes constantes 610
3. Na˜o-Homogeˆneas, lineares de segunda ordem 614
4. Na˜o homogeˆnas: Me´todo de Lagrange de variac¸a˜o de paraˆmetros 616
5. Um problema da Putnam Competition, n.58, 1987 617
6. Equac¸a˜o diferencial de um circuito ele´trico simples 619
7. Na˜o-homogeˆneas: Me´todo de coeficientes a determinar 620
8. Sistemas de equac¸o˜es diferenciais 624
9. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 626
10. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: reduc¸a˜o a constantes 627
11. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: Me´todo de D’Alembert629
12. Existeˆncia de soluc¸o˜es de equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-singulares 630
13. Propriedades das soluc¸o˜es de equac¸o˜es lineares de segunda ordem 632
14. Um problema da Putnam Competition, n. 15, 1955 635
15. O Teorema de Comparac¸a˜o de Sturm 638
16. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 639
17. Exerc´ıcios 641

I´NDICE 11

Cap´ıtulo 41. Equac¸o˜es com pontos na˜o-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643
1. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Airy 643
2. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Hermite 645
3. Soluc¸a˜o