Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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a um valor espec´ıfico bem de-

terminado ax1
1, quando h→ 0 (independentemente do modo como h se faz pequeno)

?

E´ nesse ponto que se veˆ importaˆncia de podermos falar de algo como o h tender a
zero, sem precisar nunca ser zero: pois simplesmente na˜o podemos dividir por h = 0
e precisamos calcular limh→0 ax1,h.

Atenc¸a˜o ! pois em geral pode na˜o existir esse limite, como algo bem definido.
O exemplo mais simples e´ (que e´ uma func¸a˜o cont´ınua !):

y = f(x) = |x| e x = 0.
De fato, se h > 0 e tende a zero, obtenho:

lim
h→0
h>0

|0 + h| − |0|
h

= lim
h→0
h>0

h

h
=

= lim
h→0
h>0

1 = 1,

1Claro que em geral ax
1
depende do x1 escolhido

CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 109

e no entanto:

lim
h→0
h<0

|0 + h| − |0|
h

= lim
h→0
h<0

−h
h

=

= lim
h→0
h<0

−1 = −1,

0,8

0,4

0

1

0,6

0,2

x

10-0,5-1 0,5

Figura: Gra´fico de y = | x |, para x ∈ [−1, 1].

Definic¸a˜o 2.1. Quando ha´ uma posic¸a˜o limite de secantes, ou seja, quando existe

a := lim
h→0

ax1,h, onde ax1,h :=
f(x1 + h)− f(x1)

h
,

dizemos que existe a Reta Tangente ao gra´fico de f em (x1, f(x1)). E´ a reta dada
por:

y = a · x+ b, pondo a := lim
h→0

ax1,h

e onde b fica determinado pela imposic¸a˜o de que essa reta passe por (x1, f(x1).

De f(x1) = a · x1 + b, obtenho o coeficiente linear:
b = f(x1)− (lim

h→0
ax1,h) · x1.

E´ interessante que, embora as secantes na˜o tenham muito a ver com o gra´fico:
a tangente ao gra´fico em um de seus ponto da´ informac¸a˜o relevante sobre ele, ela

da´ informac¸a˜o do formato do gra´fico naquele ponto.
Dentre todas a retas passando por aquele ponto, a tangente ao gra´fico e´ a mais

informativa do formato do gra´fico.

3. A reta tangente ao seno em (0, 0) e´ a diagonal

Vamos dar uma justificac¸a˜o bem geome´trica para o fato de que no gra´fico do seno
existe uma reta tangente bem definida no ponto (0, 0): de fato sua equac¸a˜o e´ a mesma
da diagonal y = x.

Para isso comec¸amos observando que:

3. A RETA TANGENTE AO SENO EM (0, 0) E´ A DIAGONAL 110

Afirmac¸a˜o 3.1. Valem:

sin(θ) < θ e θ < tan(θ), para 0 < θ < pi/4,

e
tan(θ) < θ e θ < sin(θ), para − pi/4 < θ < 0.

Demonstrac¸a˜o.

Seja 0 < θ < pi/4.

Considere treˆs A´reas envolvidas:

• do triaˆngulo 4 com ve´rtices em (0, 0), (1, 0) e em (cos(θ), sin(θ)). Note que
a base dele mede 1 e que sua altura e´ o sin(θ). Logo A4(θ) =

sin(θ)
2

.
• do Setor circular (fatia do disco) de abertura θ do disco de raio 1, s(θ). Sua
a´rea2 e´ denotada As(θ). Temos As(2pi) = pi e As(θ) =

θ
2
.

• do triaˆngulo ∆ com ve´rtices em (0, 0), (1, 0) e no ponto (1, tan(θ)), que e´ um
triaˆngulo retaˆngulo em (1, 0) Denote sua a´rea por A∆(θ). A base dele mede

1 e que sua altura e´ tan(θ). Logo A∆(θ) =
tan(θ)

2
.

θ
(1,0)(0,0)

tan (1, )θ

( , )θcos θsen

Figura: Observe que 4 ⊂ s(θ) ⊂ ∆

Das incluso˜es:
4 ⊂ s(θ) ⊂ ∆

obtemos:
A4(θ) < As(θ) < A∆(θ)

ou seja para 0 < θ < pi/4:
sin(θ)

2
<

θ

2
<

tan(θ)

2
,

que e´ o que queremos (se eliminamos o 1/2).
Por outro lado, se −pi/4 < θ < 0 (isto e´, θ e´ aˆngulo no sentido hora´rio),

A4(θ) < As(θ) < A∆(θ)

2O Ca´lculo pode provar que a a´rea de um disco de raio r e´ pi · r2, como o faremos nos Cap´ıtulos
sobre Integrac¸a˜o. A A´rea de um setor de abertura θ (em radianos) no disco de raio r e´

θ

2pi
· pir2 = θ · r

2

.

CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 111

agora significa (ja´ que para ca´lculo de a´reas tomo os mo´dulos de nu´meros negativos):

− sin(θ)
2

<
−θ
2

<
− tan(θ)

2
,

ou seja (multiplicando por −1):
tan(θ)

2
<
θ

2
<

sin(θ)

2
o que queremos (eliminando o 1/2).

�

Afirmac¸a˜o 3.2. (Um Limite fundamental)

lim
θ→0

sin(θ)

θ
= 1

Demonstrac¸a˜o.

Para 0 < θ < pi/4, da Afirmac¸a˜o 3.1 temos

θ <
sin(θ)

cos(θ)
,

e obtenho (multiplicando por cos(θ)
θ

> 0):

cos(θ) <
sin(θ)

θ
.

Ainda da Afirmac¸a˜o 3.1, para 0 < θ < pi/4,:

sin(θ) < θ

e obtenho:
sin(θ)

θ
< 1.

Ou seja,

cos(θ) <
sin(θ)

θ
< 1, se 0 < θ < pi/4.

Uso agora o item 6) do Teorema 1.1, combinado com continuidade do cosseno, ob-
tendo:

lim
θ↘0

sin(θ)

θ
= lim

θ→0
cos(θ) = cos(0) = 1.

Por outro lado, quando −pi/4 < θ < 0 ainda temos cos(θ) > 0 e pela Afirmac¸a˜o 3.1
t´ınhamos:

sin(θ)

cos(θ)
< θ,

de onde obtenho (multiplicando por cos(θ)
θ

< 0):

sin(θ)

θ
> cos(θ).

De novo da Afirmac¸a˜o 3.1 para −pi
2
< θ < 0:

θ < sin(θ)

3. A RETA TANGENTE AO SENO EM (0, 0) E´ A DIAGONAL 112

e obtenho (ja´ que θ < 0):
sin(θ)

θ
< 1.

Enta˜o como antes obtenho:

lim
θ↗0

sin(θ)

θ
= lim

θ→0
cos(θ) = cos(0) = 1,

o que e´ suficiente para sabermos que

lim
θ→0

sin(θ)

θ
= 1.

�

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

x

3210-1-3 -2

Figura: Gra´fico de y = f(x) = sin(θ)
θ

para 0 6= θ ∈ [−pi, pi] e f(0) = 0.

Como consequeˆncia da Afirmac¸a˜o 3.2 e da definic¸a˜o de Reta Tangente ao gra´fico
do seno em (0, 0), a tangente ao gra´fico do seno em (0, 0) e´ exatamente a diagonal,
pois os coeficientes angulares de secantes por (0, 0) sa˜o:

sin(θ)− sin(0)
θ − 0

e

lim
θ→0

sin(θ)− sin(0)
θ − 0 = limθ→0

sin(θ)

θ
= 1.

1,5

0,5

-1,5

1

0

-1

-0,5
x

1,510,50-1 -0,5-1,5

CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 113

Figura: A diagonal e´ tangente ao seno em (0, 0)

4. Interpretac¸a˜o F´ısica da reta tangente

Uma das fontes do Ca´lculo e´ a F´ısica. Os conceitos de secantes e tangente a um
gra´fico teˆm uma interpretac¸a˜o f´ısica natural.

Se x e´ pensado como sendo o tempo, podemos pensar em f(x) como a posic¸a˜o
de um objeto, determinada em relac¸a˜o a um ponto de origem, do qual nos afastamos
para a direita (valores positivos de f) ou para a esquerda (valores negativos de f).

Enta˜o

f(x2)− f(x1)
e´ a distaˆncia percorrida no tempo transcorrido x2 − x1 e

f(x2)− f(x1)
x2 − x1

e´ o que se costuma chamar a velocidade me´dia.
E´ o que no dia-a-dia nos perguntam: voceˆ vai de casa ate´ a faculdade em quanto

tempo ? E da´ı se deduz a velocidade me´dia do seu trajeto.
Mas tambe´m poderia haver interesse de algue´m nas velocidades marcadas no ve-

locimetro do seu carro a cada instante, para saber onde pegou engarrafamento, se teve
excesso de velocidade em alguns trechos, etc. O que e´ essa velocidade instantaˆnea
no instante x1 ? Ora, e´ o limite:

lim
h→0

f(x1 + h)− f(x1)
h

.

Ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gra´fico da func¸a˜o posic¸a˜o f no
instante x1 da´ a velocidades instantaˆnea no momento x1. Isso e´ o que marca o
veloc´ımetro do carro.

Essa interpretac¸a˜o que estamos dando dos conceitos que vimos ao caso do movi-
mento de um objeto, nos motiva a falar da acelerac¸a˜o, um conceito que usamos muito
no dia a dia. Falaremos disso na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 9.

5. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.1. i) Determine os intervalos em que coeficientes angulares das secantes
da func¸a˜o f(−∞, 0) ∪ (0,+∞)→ R, f(x) = 1/x sa˜o positivos ou negativos.

ii) Diga (ainda de modo bem intuitivo) o que acontece com esses coeficientes
angulares de secantes quando o ponto fixado x fica pro´ximo de zero (separadamente
se x < 0 ou se x > 0) ou com mo´dulo de x muito grande (x > 0 ou x < 0).

Exerc´ıcio 5.2. Calcule as equac¸o˜es y = ax + b das retas tangentes no ponto (1, 1)
dos gra´ficos de:

i): y = x2

ii): y = x3

iii): y = x4

5. EXERCI´CIOS 114

Exerc´ıcio 5.3. Pedi para o programa Maple plotar y = sin(x)
x

e y = sin
2(x)
x

para
x ∈ [−3, 3] e ele repondeu:

0,8

0

0,4

-0,4

x

31-3 0 2-2 -1

Mas essas func¸o˜es a princ´ıpio na˜o esta˜o sequer definidas em x = 0 ! Explique com os
conceitos de limite e continuidade o que