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que e´ uma equac¸a˜o de grau 4 em x. Portanto na˜o podemos esperar mais de 4 ra´ızes (contando alguma com multipli- cidade). Tambe´m noto que se um ponto P1 := (a, b) ∈ Cα ∩Dα e tem a 6= b enta˜o tambe´m o outro ponto P2 := (b, a) ∈ Cα ∩Dα. Esses pontos P1 6= P2 esta˜o em lados opostos da diagonal y = x. Por exemplo, se b > a enta˜o e´ P1 = (a, b) que esta´ acima da diagonal enquanto que P2 = (b, a) esta´ abaixo da diagonal. Nesse caso b = α · a2 + α · a+ 1 24 > a e a = α · b2 + α · b+ 1 24 < b. Ou seja que a func¸a˜o cont´ınua φ(x) := α · x2 + α · x+ 1 24 − x definida em [a, b] tem φ(a) > 0 e φ(b) < 0. Logo pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, existe um ponto ξ ∈ (a, b) com ψ(ξ) = 0, ou seja, existe um ponto do plano P3 := (ξ, α · ξ2 + α · ξ + 1 24 ) que pertence a` diadonal, pois tem ξ = α · ξ2 + α · ξ + 1 24 e ademais P3 ∈ Cα ∩Dα. Ora enta˜o ξ e´ ra´ız de E e ξ 6= a, b: ha´ ra´ızes demais dessa equac¸a˜o de grau 4, contradic¸a˜o. CAPI´TULO 9. A DERIVADA 121 Concluo enta˜o que so´ pode haver tangeˆncia dessas para´bolas em algum ponto que esteja na diagonal y = x. Enta˜o esse ponto P := (x, x) verifica: x = α · x2 + α · x+ 1 24 de onde ponho α em evideˆncia como: α = x− 1 24 x2 + x . Mas nesse P = (x, x), onde as curvas sa˜o tangentes, qual a inclinac¸a˜o poss´ıvel ? Como Cα e Dα sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o a` diagonal, se a inclinac¸a˜o da reta tangente a` Cα em P e´ τ enta˜o a inclinac¸a˜o da reta tangente a` Dα em P e´ 1 τ . Como ha´ tangeˆncia das curvas, τ = 1 τ o que da´ τ = ±1. Para Cα: y′(x) = 2 · α · x+ α logo ±1 = 2 · α · x+ α de onde α = 1 2 · x+ 1 ou α = −1 2 · x+ 1 . Portanto temos duas poss´ıveis equac¸o˜es para x: x− 1 24 x2 + x = 1 2 · x+ 1 ou x− 1 24 x2 + x = −1 2 · x+ 1 . Elas produzem duas equac¸o˜es quadra´ticas em x, que resolvo por Ba´skara. Uma tem as soluc¸o˜es x = 1 4 ou x = −1 6 e a outra x = −23 72 + √ 601 72 ou x = −23 72 − √ 601 72 . Usando α = 1 2 · x+ 1 ou α = −1 2 · x+ 1 em cada caso obtemos 4 valores poss´ıveis para α: α1 := 2 3 , α2 = 3 2 ou α3 = −36 13 + √ 601 , α4 = −36 13−√601 . As Figuras a seguir ilustram as posic¸o˜es das para´bolas Cα eDα para esses 4 valores α1, α2, α3, α4, bem como a reta diagonal: 4. PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 68, 1993 122 0y -2 1 x 21-2 -1 2 0 -1 y 1 2 0 x 210-1 -2 -2 -1 y 1 2 0 x 20 1 -2 -1-2 -1 CAPI´TULO 9. A DERIVADA 123 y 0,5 -1,5 1 0 -2 x 10,50-0,5-2 -1,5 -1 -0,5 -1 5. A segunda derivada Um exemplo do dia-a-dia: pisando no acelerador do carro vemos o ponteiro do veloc´ımetro mudar de posic¸a˜o, pois aumentamos a velocidade instantaˆnea. Enquanto que, pisando no freio do carro, desaceleramos o carro, diminuimos sua velocidade instantaˆnea. Vamos usar o s´ımbolo da derivada f ′(x) para denotar a velocidade instantaˆnea em cada tempo x. O veloc´ımetro da´ uma ide´ia de quanto vale f ′(x). Note que antes t´ınhamos uma func¸a˜o f(x) que dava a posic¸a˜o em cada instante. Agora estamos interessados em variar na˜o a posic¸a˜o f(x) em cada instante, mas sim a velocidade f ′(x) em cada instante. Enta˜o podemos perguntar agora quanto f ′(x) variou num tempo determinado, ou seja podemos falar da acelerac¸a˜o me´dia: f ′(x2)− f ′(x1) x2 − x1 . Exemplo dessa grandeza no dia-a-dia: nas revistas especializadas em carros sempre falam do carro que passa de zero a 100 km/h em tantos segundos. Agora passando ao limite: lim h→0 f ′(x1 + h)− f ′(x1) h . obtemos a acelerac¸a˜o instantaˆnea no instante x1. Um s´ımbolo para ela e´: f ′′(x1) := (f ′)′(x1) e em geral, em cada instante x: f ′′(x) := (f ′)′(x) Infelizmente nos carros de passeio normais na˜o temos uma aparelho que mec¸a isso, um aceleroˆmetro, para nos dizer qual a acelerac¸a˜o instantaˆnea. Pore´m num escaˆndalo recente na Fo´rmula 1 se soube que se registra tambe´m os valores de acelerac¸a˜o em 6. EXERCI´CIOS 124 cada instante dos carros de corrida. Na Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 10 daremos um Exemplo em que a acelerac¸a˜o/velocidade/posic¸a˜o de um carro contradiz o senso comum. Na F´ısica de Newton a acelerac¸a˜o instantaˆnea f ′′(x) := (f ′)′(x) joga um papel primordial, pois ela (multiplicada pela massa) e´ a resultante de todas as forc¸as que agem sobre um corpo. O que ele descobriu foi como, matematicamente, passar da acelerac¸a˜o instantaˆnea (f ′)′(x) para a velocidade instantaˆnea f ′(x) e dai finalmente para a posic¸a˜o f(x) do objeto em cada instante de tempo. Comec¸ou postulando um formato para a acelerac¸a˜o resultante da forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional do sol sobre os planetas, e chegou, matematicamente, no formato exato das o´rbitas dos planetas (elipses,coˆnicas) (ou seja na f(x) ) e em suas velocidades f ′(x) (a lei de Kepler). Com isso transformou a astronomia em cieˆncia. No Cap´ıtulo 39 entenderemos o me´todo que ele usou. 6. Exerc´ıcios Exerc´ıcio 6.1. Qual o gra´fico de f(x) = |x+ 1|? Onde e´ cont´ınua e onde na˜o tem derivada ? Exerc´ıcio 6.2. Consider as func¸o˜es definidas por: f(x) = x2 + x+ 2, se x < 1, f(x) = −x2 + b · x+ c, se x ≥ 1. Ajuste os paraˆmetros b, c para que f seja cont´ınua e deriva´vel em x = 1. Dica: impondo a continuidade se produz uma relac¸a˜o entre c = c(b). E o valor de b sai de impoˆr-se a derivabilidade. Exerc´ıcio 6.3. Usando apenas a definic¸a˜o, derive (onde C e´ uma constante ): i) y ≡ C ii) y = C · x, iii) y = C · x2 iv) y = C · x3, v) y = ( x− C )2 vi) y = ( x− C )3 Interprete geometricamente seus resultados, ou seja, explique que relac¸o˜es os gra´ficos teˆm entre si. Exerc´ıcio 6.4. A Figura a seguir mostra uma parte do gra´fico de y = f(x) = x| x |+1 (vermelho) (estudada na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 5) e parte do gra´fico de y = x (verde). 1 0 x 0,5 1-1 -1 -0,5 0,5 -0,5 0 CAPI´TULO 9. A DERIVADA 125 Ela sugere que f ′(0) = 1. Prove isso mostrando separadamente que: lim h↘0 ( h h+1 ) h = 1 e lim h↗0 ( h−h+1) h = 1 Exerc´ıcio 6.5. Para fazer este Exerc´ıcio, lembre que x = √ y e´ inversa de f : R>0 → R>0, y = f(x) = x2 e que, pela Afirmac¸a˜o 3.1, x = √ y e´ uma func¸a˜o cont´ınua. i) Sem calcular a derivada de f : R>0 → R>0, f(x) = √x, o que podemos prever que acontec¸a com a derivada de √ x quando x > 0 tende a zero? ii) Usando apenas a definic¸a˜o de derivada, calcule a derivada da func¸a˜o f : R>0 → R>0, f(x) = √ x (Dica: quando ficar complicado lidar com a ra´ız quadrada, lembre que (a− b)(a + b) = a2 − b2.) iii) compare a fo´rmula obtida em ii) com o que previu em i). Exerc´ıcio 6.6. (resolvido) Seja f : R<0 ∪ R>0 → R, f(x) = 1 x . i) Sem calcular a derivada de f o que se pode pre-dizer do sinal dessa derivada ? Em que intervalos e´ positiva ou negativa ? Pode se anular ? ii) para calcular a derivada de f via a definic¸a˜o, so´ e´ preciso sabe somar e subtrair duas frac¸o˜es e saber que as func¸o˜es racionais sa˜o cont´ınuas. Calcule-a via definic¸a˜o. Exerc´ıcio 6.7. Defino uma func¸a˜o f : R→ R condicionalmente por: f(x) = 3x2 + 2, se x < 1, e f(x) = 3x+ b, se x ≥ 1. i) Escolha o coeficiente linear b para que f : R→ R seja uma func¸a˜o cont´ınua em todos os pontos. ii) Da´ para escolher b de modo que f : R → R ale´m de cont´ınua tambe´m fique deriva´vel em todos os pontos ? Ou ha´ algum ponto onde na˜o havera´ derivada ? Por queˆ ? iii) com b escolhidos para f ser cont´ınua, qual o gra´fico de f ′(x) ? Exerc´ıcio 6.8. (resolvido) Se existe f ′(x) enta˜o: f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x− h) 2 h . Deˆ um exemplo simples onde existe limh→0 f(x+h)−f(x−h) 2h