que e´ uma equac¸a˜o de grau 4 em x.
Portanto na˜o podemos esperar mais de 4 ra´ızes (contando alguma com multipli-

cidade).
Tambe´m noto que se um ponto P1 := (a, b) ∈ Cα ∩Dα e tem

a 6= b
enta˜o tambe´m o outro ponto P2 := (b, a) ∈ Cα ∩Dα.

Esses pontos P1 6= P2 esta˜o em lados opostos da diagonal y = x. Por exemplo, se
b > a enta˜o e´ P1 = (a, b) que esta´ acima da diagonal enquanto que P2 = (b, a) esta´
abaixo da diagonal.

Nesse caso

b = α · a2 + α · a+ 1
24

> a

e

a = α · b2 + α · b+ 1
24

< b.

Ou seja que a func¸a˜o cont´ınua

φ(x) := α · x2 + α · x+ 1
24
− x

definida em [a, b] tem φ(a) > 0 e φ(b) < 0. Logo pelo Teorema do Valor Intermedia´rio,
existe um ponto ξ ∈ (a, b) com

ψ(ξ) = 0,

ou seja, existe um ponto do plano

P3 := (ξ, α · ξ2 + α · ξ + 1
24

)

que pertence a` diadonal, pois tem

ξ = α · ξ2 + α · ξ + 1
24

e ademais P3 ∈ Cα ∩Dα. Ora enta˜o ξ e´ ra´ız de E e ξ 6= a, b: ha´ ra´ızes demais dessa
equac¸a˜o de grau 4, contradic¸a˜o.

CAPI´TULO 9. A DERIVADA 121

Concluo enta˜o que so´ pode haver tangeˆncia dessas para´bolas em algum ponto que
esteja na diagonal y = x.

Enta˜o esse ponto P := (x, x) verifica:

x = α · x2 + α · x+ 1
24

de onde ponho α em evideˆncia como:

α =
x− 1

24

x2 + x
.

Mas nesse P = (x, x), onde as curvas sa˜o tangentes, qual a inclinac¸a˜o poss´ıvel ?
Como Cα e Dα sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o a` diagonal, se a inclinac¸a˜o da reta

tangente a` Cα em P e´ τ enta˜o a inclinac¸a˜o da reta tangente a` Dα em P e´
1
τ
. Como

ha´ tangeˆncia das curvas, τ = 1
τ
o que da´ τ = ±1.

Para Cα:
y′(x) = 2 · α · x+ α

logo
±1 = 2 · α · x+ α

de onde

α =
1

2 · x+ 1 ou α =
−1

2 · x+ 1 .
Portanto temos duas poss´ıveis equac¸o˜es para x:

x− 1
24

x2 + x
=

1

2 · x+ 1
ou

x− 1
24

x2 + x
=

−1
2 · x+ 1 .

Elas produzem duas equac¸o˜es quadra´ticas em x, que resolvo por Ba´skara. Uma tem
as soluc¸o˜es

x =
1

4
ou x =

−1
6

e a outra

x =
−23
72

+

√
601

72
ou x =

−23
72

−
√
601

72
.

Usando

α =
1

2 · x+ 1 ou α =
−1

2 · x+ 1
em cada caso obtemos 4 valores poss´ıveis para α:

α1 :=
2

3
, α2 =

3

2
ou

α3 =
−36

13 +
√
601

, α4 =
−36

13−√601 .
As Figuras a seguir ilustram as posic¸o˜es das para´bolas Cα eDα para esses 4 valores

α1, α2, α3, α4, bem como a reta diagonal:

4. PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 68, 1993 122

0y

-2

1

x

21-2 -1

2

0

-1

y

1

2

0

x

210-1

-2

-2

-1

y

1

2

0

x

20 1

-2

-1-2

-1

CAPI´TULO 9. A DERIVADA 123

y

0,5

-1,5

1

0

-2

x

10,50-0,5-2 -1,5

-1

-0,5

-1

5. A segunda derivada

Um exemplo do dia-a-dia: pisando no acelerador do carro vemos o ponteiro do
veloc´ımetro mudar de posic¸a˜o, pois aumentamos a velocidade instantaˆnea. Enquanto
que, pisando no freio do carro, desaceleramos o carro, diminuimos sua velocidade
instantaˆnea.

Vamos usar o s´ımbolo da derivada

f ′(x)

para denotar a velocidade instantaˆnea em cada tempo x. O veloc´ımetro da´ uma ide´ia
de quanto vale f ′(x).

Note que antes t´ınhamos uma func¸a˜o f(x) que dava a posic¸a˜o em cada instante.
Agora estamos interessados em variar na˜o a posic¸a˜o f(x) em cada instante, mas sim
a velocidade f ′(x) em cada instante.

Enta˜o podemos perguntar agora quanto f ′(x) variou num tempo determinado, ou
seja podemos falar da acelerac¸a˜o me´dia:

f ′(x2)− f ′(x1)
x2 − x1

.

Exemplo dessa grandeza no dia-a-dia: nas revistas especializadas em carros sempre
falam do carro que passa de zero a 100 km/h em tantos segundos.

Agora passando ao limite:

lim
h→0

f ′(x1 + h)− f ′(x1)
h

.

obtemos a acelerac¸a˜o instantaˆnea no instante x1. Um s´ımbolo para ela e´:

f ′′(x1) := (f
′)′(x1)

e em geral, em cada instante x:

f ′′(x) := (f ′)′(x)

Infelizmente nos carros de passeio normais na˜o temos uma aparelho que mec¸a isso,
um aceleroˆmetro, para nos dizer qual a acelerac¸a˜o instantaˆnea. Pore´m num escaˆndalo
recente na Fo´rmula 1 se soube que se registra tambe´m os valores de acelerac¸a˜o em

6. EXERCI´CIOS 124

cada instante dos carros de corrida. Na Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 10 daremos um Exemplo
em que a acelerac¸a˜o/velocidade/posic¸a˜o de um carro contradiz o senso comum.

Na F´ısica de Newton a acelerac¸a˜o instantaˆnea f ′′(x) := (f ′)′(x) joga um papel
primordial, pois ela (multiplicada pela massa) e´ a resultante de todas as forc¸as que
agem sobre um corpo.

O que ele descobriu foi como, matematicamente, passar da acelerac¸a˜o instantaˆnea
(f ′)′(x) para a velocidade instantaˆnea f ′(x) e dai finalmente para a posic¸a˜o f(x) do
objeto em cada instante de tempo.

Comec¸ou postulando um formato para a acelerac¸a˜o resultante da forc¸a de atrac¸a˜o
gravitacional do sol sobre os planetas, e chegou, matematicamente, no formato exato
das o´rbitas dos planetas (elipses,coˆnicas) (ou seja na f(x) ) e em suas velocidades
f ′(x) (a lei de Kepler). Com isso transformou a astronomia em cieˆncia.

No Cap´ıtulo 39 entenderemos o me´todo que ele usou.

6. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 6.1. Qual o gra´fico de f(x) = |x+ 1|?
Onde e´ cont´ınua e onde na˜o tem derivada ?

Exerc´ıcio 6.2. Consider as func¸o˜es definidas por:

f(x) = x2 + x+ 2, se x < 1,

f(x) = −x2 + b · x+ c, se x ≥ 1.
Ajuste os paraˆmetros b, c para que f seja cont´ınua e deriva´vel em x = 1.
Dica: impondo a continuidade se produz uma relac¸a˜o entre c = c(b). E o valor de

b sai de impoˆr-se a derivabilidade.

Exerc´ıcio 6.3. Usando apenas a definic¸a˜o, derive (onde C e´ uma constante ):
i) y ≡ C
ii) y = C · x,
iii) y = C · x2
iv) y = C · x3,
v) y = ( x− C )2
vi) y = ( x− C )3
Interprete geometricamente seus resultados, ou seja, explique que relac¸o˜es os

gra´ficos teˆm entre si.

Exerc´ıcio 6.4. A Figura a seguir mostra uma parte do gra´fico de y = f(x) = x| x |+1
(vermelho) (estudada na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 5) e parte do gra´fico de y = x (verde).

1

0

x

0,5

1-1

-1

-0,5 0,5

-0,5

0

CAPI´TULO 9. A DERIVADA 125

Ela sugere que f ′(0) = 1. Prove isso mostrando separadamente que:

lim
h↘0

( h
h+1

)

h
= 1

e

lim
h↗0

( h−h+1)

h
= 1

Exerc´ıcio 6.5. Para fazer este Exerc´ıcio, lembre que x =
√
y e´ inversa de f : R>0 →

R>0, y = f(x) = x2 e que, pela Afirmac¸a˜o 3.1, x =
√
y e´ uma func¸a˜o cont´ınua.

i) Sem calcular a derivada de f : R>0 → R>0, f(x) = √x, o que podemos prever
que acontec¸a com a derivada de

√
x quando x > 0 tende a zero?

ii) Usando apenas a definic¸a˜o de derivada, calcule a derivada da func¸a˜o f : R>0 →
R>0, f(x) =

√
x (Dica: quando ficar complicado lidar com a ra´ız quadrada, lembre

que (a− b)(a + b) = a2 − b2.)
iii) compare a fo´rmula obtida em ii) com o que previu em i).

Exerc´ıcio 6.6. (resolvido)
Seja f : R<0 ∪ R>0 → R, f(x) = 1

x
.

i) Sem calcular a derivada de f o que se pode pre-dizer do sinal dessa derivada ?
Em que intervalos e´ positiva ou negativa ? Pode se anular ?

ii) para calcular a derivada de f via a definic¸a˜o, so´ e´ preciso sabe somar e subtrair
duas frac¸o˜es e saber que as func¸o˜es racionais sa˜o cont´ınuas. Calcule-a via definic¸a˜o.

Exerc´ıcio 6.7. Defino uma func¸a˜o f : R→ R condicionalmente por:
f(x) = 3x2 + 2, se x < 1, e f(x) = 3x+ b, se x ≥ 1.

i) Escolha o coeficiente linear b para que f : R→ R seja uma func¸a˜o cont´ınua em
todos os pontos.

ii) Da´ para escolher b de modo que f : R → R ale´m de cont´ınua tambe´m fique
deriva´vel em todos os pontos ? Ou ha´ algum ponto onde na˜o havera´ derivada ? Por
queˆ ?

iii) com b escolhidos para f ser cont´ınua, qual o gra´fico de f ′(x) ?

Exerc´ıcio 6.8. (resolvido)
Se existe f ′(x) enta˜o:

f ′(x) = lim
h→0

f(x+ h)− f(x− h)
2 h

.

Deˆ um exemplo simples onde existe limh→0
f(x+h)−f(x−h)

2h