Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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expl´ıcita da Legendre em torno de x = 0 647
4. Polinoˆmios de Legendre e expansa˜o em se´rie do potencial gravitacional 649
5. Ortogonalidade dos polinoˆmios de Legendre 650

Cap´ıtulo 42. Equac¸a˜o com ponto singular: Hipergeome´trica de Gauss 653
1. Integral el´ıptica como se´rie hipergeome´trica 656

Cap´ıtulo 43. Equac¸a˜o com ponto singular: a Equac¸a˜o de Bessel 659
1. A definic¸a˜o original de Bessel 659
2. Zeros de func¸o˜es de Bessel 661
3. Ortogonalidade das func¸o˜es de Bessel 664

Cap´ıtulo 44. Equac¸o˜es com pontos singulares do tipo regular 667
1. A Equac¸a˜o de Euler e sua reduc¸a˜o a coeficientes constantes 667
2. Soluc¸a˜o direta da equac¸a˜o de Euler 670
3. Definic¸o˜es gerais e exemplos de pontos singulares regulares 672
4. In´ıcio do Me´todo de Frobenius 673
5. Soluc¸o˜es expl´ıcitas de algumas equac¸o˜es Bessel 676
6. A Equac¸a˜o de Bessel com ν = 1

3
e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Airy 679

7. Equac¸a˜o hipergeome´trica com c 6∈ Z 680
Cap´ıtulo 45. Equac¸o˜es de Riccati 681
1. Soluc¸o˜es de Riccati segundo Daniel Bernoulli 682
2. Ass´ıntotas verticais de soluc¸o˜es de equac¸o˜es de Riccati 687
3. Soluc¸o˜es das Riccati segundo Euler 688
4. A Equac¸a˜o de Bessel com ν = 1

4
e a soluc¸a˜o da Riccati y′ = x2 + y2 691

5. Exerc´ıcios 691

Parte 3. Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es diferenciais parciais 693

Cap´ıtulo 46. Se´ries de Fourier 695
1. Se´ries de Fourier e seus coeficientes 696
2. Se´ries de Fourier so´ de senos ou so´ de cossenos 699
3. Convergeˆncia pontual da Se´rie de Fourier 699
4. Se´ries de Fourier de cos(r · sin(x)) e de sin(r · sin(x)), r ∈ R 706
5. Convergeˆncia absoluta da Se´rie de Fourier 707
6. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Kepler via se´rie de Fourier e func¸o˜es de Bessel 710
7. Exerc´ıcios 713

Cap´ıtulo 47. Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 715
1. Observac¸o˜es gerais, tipos, separac¸a˜o de varia´veis, soluc¸o˜es cla´ssicas 715
2. Equac¸o˜es parciais de primeira ordem e o me´todo das caracter´ısticas 717
3. A Equac¸a˜o da difusa˜o do Calor 717
4. Problemas de esfriamento unidimensionais 720

12 I´NDICE

Cap´ıtulo 48. O operador de Laplace e as equac¸o˜es do calor e da onda 725
1. Laplaciano em coordenadas polares e esfe´ricas 725
2. Estado estaciona´rio do calor num disco e expansa˜o em se´ries de Fourier 727
3. A fo´rmula integral de Poisson 729
4. Estado estaciona´rio do calor na esfera e se´rie de polinoˆmios de Legendre 731
5. Exerc´ıcios 736

Cap´ıtulo 49. Equac¸a˜o da onda e as vibrac¸o˜es de cordas e membranas 737
1. Vibrac¸a˜o de uma corda com extremos fixos, sem atrito 737
2. Vibrac¸a˜o de uma corda infinita: Fo´rmula de D’Alembert 739
3. Modos normais de vibrac¸a˜o de um tambor circular e as func¸o˜es de Bessel 741

Parte 4. Ca´lculo diferencial e integral sobre os nu´meros Complexos 747

Cap´ıtulo 50. Um portal para o Ca´lculo Complexo 749
1. O Teorema de Green e as Relac¸o˜es de Cauchy-Riemann 759
2. A integral complexa e a ide´ia da primitiva Complexa 761
3. Curvas integrais como parte imagina´ria das primitivas Complexas 764
4. A exponencial Complexa e os ramos do logaritmo Complexo 766
5. O Teorema fundamental do Ca´lculo sobre os Complexos 768
6. Exerc´ıcios 769

Cap´ıtulo 51. Os Teoremas Fundamentais 771
1. A primitiva Complexa 771

Cap´ıtulo 52. Soluc¸o˜es detalhadas de alguns Exerc´ıcios 773

Parte 1

Ca´lculo Diferencial e Integral e primeiras
Aplicac¸o˜es

CAP´ıTULO 1

Introduc¸a˜o

1. O que e´ o Ca´lculo

O Ca´lculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o Ca´lculo, e´ a matema´tica que
esta´ na base da cieˆncia de hoje.

As cieˆncias mais desenvolvidas como F´ısica e Qu´ımica na˜o podem expressar seus
conceitos sem fazerem uso do Ca´lculo. Tambe´m a Economia e a Biologia cada vez
mais sa˜o matematizadas atrave´s do Ca´lculo.

O Ca´lculo foi fundamental na revoluc¸a˜o cient´ıfica dos se´culos XVII e XVIII e de
la´ para ca´ na˜o cessou de produzir resultados e aplicac¸o˜es.

O Ca´lculo e´ uma teoria matema´tica, ou seja, um modo unificado de se ver uma
se´rie de fatos matema´ticos.

Na matema´tica, quando surge uma nova teoria, ao inve´s de se eliminar os resul-
tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz e´:

• reobter os teoremas ate´ enta˜o conhecidos,
• dar generalizac¸o˜es deles,
• produzir resultados completamente novos.

Isso so´ ocorre em matema´tica: em outras cieˆncias uma nova teoria pode tornar
obsoleta e errada a teoria anterior.

Por exemplo, a determinac¸a˜o exata da A´rea de certas regio˜es, que com me´todos
elementares exigiu o geˆnio de Arquimedes, com o Ca´lculo vira uma continha de rotina.
Mas atrave´s do Ca´lculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre A´reas, como o fato
de regio˜es ilimitadas poderem ter A´rea finita.

Ale´m de nos permitir provar tudo que ja´ ouvimos falar de matema´tica no cole´gio,
o Ca´lculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem
que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e
suas misso˜es. Atrave´s do Ca´lculo , so´ com as quatro operac¸o˜es +,−, x vamos poder
no Cap´ıtulo 30 aproximar com a precisa˜o que quisermos :

• func¸o˜es fundamentais como arctan(x), ln(x), etc
• nu´meros como √p (p primo), pi, e = exp(1).

Uma das inspirac¸o˜es fundamentais para o Ca´lculo foi a F´ısica, ou F´ısica-matema´tica
com a qual Isaac Newton revolucionou a cieˆncia da e´poca. Va´rios fenoˆmenos f´ısicos
tiveram enta˜o uma explicac¸a˜o completa e unificada, atrave´s das te´cnicas do Ca´lculo.

Essas te´cnicas so´ ficara˜o aparentes a` medida que o leitor entre na Segunda Parte
do Curso, que e´ a parte de Equac¸o˜es Diferenciais.

15

4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16

2. Sobre o Curso

Um alerta: este curso trata de matema´tica superior. Em va´rias universidades,
inclusive a nossa, ha´ uma a tentativa de se ensinar o Ca´lculo como se fosse uma
continuac¸a˜o do Ensino Me´dio, seu ensino sendo feito atrave´s de tabelas, regrinhas,
macetes.

Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farma´cia, Economia,
Biologia, o Ca´lculo e´ uma das poucas disciplinas de matema´tica que tera˜o na univer-
sidade. Desse modo, imitando o Ensino Me´dio, se cursaria um Curso Superior sem
ter contato com a Matema´tica Superior. A formac¸a˜o cient´ıfica desses cursos ficaria
prejudicada e de fato na˜o poderiam chamar-se cursos universita´rios.

Por isso neste Curso sempre que for poss´ıvel (exceto quando a explicac¸a˜o for
te´cnica demais) vamos tentar dar justificac¸o˜es matema´ticas corretas, sem apelar para
a credulidade do estudante e argumentos de autoridade, do tipo acreditem em mim.

Os argumentos que damos sa˜o concatenac¸o˜es de ide´ias simples, mas a`s vezes ex-
igem um certo foˆlego do leitor para acompanha´-lo do comec¸o ao fim. Esse treino de
concentrac¸a˜o certamente ira´ colaborar na formac¸a˜o te´cnico-cient´ıfica do estudante.

3. Sobre os Gra´ficos e Figuras

Tentei fazer o ma´ximo poss´ıvel de gra´ficos para ilustrar o conteu´do, usando o pro-
grama Maple 9 para fazeˆ-lo numericamente, ou seja, realisticamente. Este programa e´
pago, mas o estudante pode usar o XMaxima ou o Gnuplot que sa˜o programas livres,
do Linux, como auxiliar no estudo. Sempre que poss´ıvel usei a mesma escala nos dois
eixos, pois isso determina inclinac¸o˜es das retas e essas inclinac¸o˜es sa˜o importantes no
Ca´lculo1.

Mas nem sempre isso foi poss´ıvel, por exemplo quando as func¸o˜es crescem muito
ra´pido, onde na˜o da´ para manter as mesmas escalas nos eixos x e y.

A teoria tem que ser sempre nossa guia na confecc¸a˜o de gra´ficos, pois os computa-
dores erram ao representar func¸o˜es descont´ınuas ou func¸o˜es que esta˜o muito pro´ximas
de um certo valor sem alcanc¸ar esse valor.

Tambe´m fiz figuras qualitativas e diagramas usando o programa Winfig, que e´
pago, e o Xfig, do Linux, que e´ gra´tis.

4. Alerta aos estudantes

Por ser matema´tica