Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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regra da corrente, pois uma corrente e´ algo feito de elos simples.

A regra de derivac¸a˜o da func¸a˜o composta combina as derivadas de cada constitu-
inte da corrente de um modo bem determinado, como veremos.

Antes de enuncia´-la em geral, considero algumas composic¸o˜es espec´ıficas, que nos
ajudara˜o a entender a regra geral.

Considere as func¸o˜es fn(x) := n·x, com n ∈ N fixado, g(x) = sin(x) e as compostas
(g ◦ fn)(x) = sin(n · x ). Suponha que fazemos a restric¸a˜o g : [0, 2pi] → R. Enta˜o
quando x percorre [0, 2pi] o paraˆmetro z := n · x percorre n vezes esse intervalo. Ou
seja que o gra´fico da a func¸a˜o sin(n · x ) e´ formado por n co´pias do gra´fico do seno,
claro que mais comprimidas. Abaixo pot o seno e sin(3x):

1

0

x

0,5

621 53

-1

-0,5
40

Figura: Gra´fico de y = sin(x) (vermelho) e de y = sin(3x)
(verde) para x ∈ [0, 2pi].

Como vimos no Cap´ıtulo 12, o cosseno e´ a derivada do seno: onde o cosseno e´
positivo (negativo) o seno e´ crescente (decrescente), onde o cosseno se anula o seno
tem seus ma´ximos ou mı´nimos, etc. Ora, a func¸a˜o cos(nx) satisfaz qualitativamente
todas essas exigeˆncias, ou seja, se comporta qualitativamente como se fosse a derivada
de sin(nx). Ou seja, como fizemos na Parte 1 deste curso, onde os gra´ficos de f ′ e f
eram corretos apenas qualitativamente.

179

1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 180

Veja isso na pro´xima Figura, com n = 3:

1

0

0,5

-0,5

x

21,50,5 10

-1

Figura: Gra´fico de y = sin(3x) (vermelho) e de y = cos(3x)
(verde) para x ∈ [0, 2pi].

Mas o que esta Figura na˜o tem de quantitativamente correto e´ o fato de que para
que sin(3x) fac¸a 3 vezes o que o seno usual faz quando x percorre [0, 2pi], sin(3x) tem
que ser mais ra´pido que o seno usual. Ou seja, em cada ponto as inclinac¸o˜es das
tangentes de sin(3x) sa˜o maiores que as do seno usual. Quanto maiores? Exatamente
3 vezes maiores.

Por isso a derivada de sin(3x) quantitativamente correta na˜o e´ cos(3x) mas sim:

sin(3x)′ = 3 cos(3x)

e mais em geral:

sin(nx)′ = n cos(nx)

Mostro isso na Figura a seguir:

3

1

-3

2

0

-2

-1
x

1,510,50 2

Figura: Gra´fico de y = sin(3x) (vermelho) e de sua
derivada (verde) para x ∈ [0, 2pi].

Agora consider uma outra composic¸a˜o: f(x) = x2 e g(x) = sin(x), ou seja (g ◦
f)(x) = sin(x2). A diferenc¸a para o exemplo anterior, sin(3x) e´ que a` medida que x
se aproxima de 2pi x2 cresce cada vez mais ra´pido e a func¸a˜o sin(x2) faz aquilo que o
seno faz em cada vez menores intervalos, como mostra a figura a seguir:

CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 181

1

0

0,5

6
-0,5 x

53 4

-1

0 1 2

Figura: Gra´fico de y = sin(x) (vermelho) e
de y = sin(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].

Qualitativamente falando, cos(x2) se comporta como esperamos da derivada de
sin(x2):

1

0

0,5

6
-0,5 x

53

-1

0 1 2 4

Figura: Gra´fico de y = sin(x2) (vermelho) e
de y = cos(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].

De novo, o que esta´ quantitativamente errado: as inclinac¸o˜es do gra´fico de y =
sin(x2) esta˜o ficando cada vez maiores quando x se aproxima de 2pi. De quanto pre-
cisamos multiplicar a func¸a˜o qualitativamente correta da derivada para termos uma
func¸a˜o quntitativamente exata da derivada ? A resposta como vermos e´: precisamos
multiplicar pela func¸a˜o 2x ! Ou seja, para cada x > 0 a correc¸a˜o muda neste exemplo:

A Figura a seguir superpo˜e os gra´ficos y = sin(x2) e de sua derivada, que veremos
e´ cos(x2) · 2x, e, ademais da´ os gra´ficos de y = 2x e y = −2x. Essas retas passam
pelos pontos de ma´ximo e mı´nimo locais da derivada.

1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 182

10

0

5

-5

-10

x

630 21 54

Figura: y = sin(x2) (vermelho), sua derivada (verde), y = 2x e
y = −2x, para x ∈ [0, 2pi].

Por u´ltimo, volto num limite calculado como Exerc´ıcio 5.4 do Cap´ıtulo 8:

lim
x→0

sin(k · x)
x

= k.

Podemos olha´-lo do seguinte modo:

lim
x→0

sin(k · x)− sin(k · 0)
x

= k

e reconhecemos enta˜o a definic¸a˜o da derivada da composta sin(k · x) em x = 0.
O Teorema a seguir generaliza essas observac¸o˜es:

Teorema 1.1. Sejam f : I → J e g : K → L func¸o˜es definidas em intervalos, com
a imagem J de f contida no domı´nio K de g, J ⊂ K. Se f e g sa˜o seriva´veis enta˜o
a func¸a˜o composta (g ◦ f) : I → L, definida por (g ◦ f)(x) := g(f(x)) tambe´m e´
deriva´vel e ademais:

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).

A notac¸a˜o de Leibniz:
A notac¸a˜o de G. Leibniz para a derivada de y = f(x) e´ dy

dx
. O valor de sua notac¸a˜o

fica claro quando escrevemos a regra da derivada da composta. Para y = f(x),
u = g(y) e u = g(f(x)):

du

dx
=

du

dy
· dy
dx

.

O leitor vera´, por exemplo no Cap´ıtulo 37, como e´ u´til e conforta´vel a notac¸a˜o de
Leibniz.

A prova da Afirmac¸a˜o 1.1 e´ te´cnica, prefiro tirar consequeˆncias.

A primeira consequeˆncia e´ que se pode derivar um nu´mero qualquer de com-
posic¸o˜es. Por exemplo, para tres func¸o˜es podemos afirmar:

CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 183

Afirmac¸a˜o 1.1. Sejam f : I → J , g : K → L e h : M → N , com J ⊂ K e L ⊂ M .
Se f, g, h sa˜o deriva´veis, enta˜o a func¸a˜o composta (h ◦ g ◦ f) : I → L, definida por
(h ◦ g ◦ f)(x) := h(g(f(x))) e´ deriva´vel e ademais:

(h ◦ g ◦ f)′(x) = h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).
Demonstrac¸a˜o. De fato, associo h ◦ g ◦ f = h ◦ (g ◦ f) e uso o Teorema 1.1 duas

vezes:

(h ◦ (g ◦ f))′(x) = h′(g(f(x))) · (g ◦ f)′(x) =
= h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).

�

No Cap´ıtulo 16 sobre func¸o˜es inversas vamos dar aplicac¸o˜es importantes da derivada
da composta.

Vejamos agora alguns exemplos simples:

• f = sin(x), g = x2, enta˜o (g ◦ f)′ = 2 · (sin(x)) · cos(x)
• f = cos(x), g = x2, (g ◦ f)′ = 2 · (cos(x)) · (− sin(x)) = −2 · cos(x) · sin(x).
• como consequeˆncia desse dois itens e da derivada da soma:

(sin(x)2 + cos(x)2)′ = 2 · sin(x) · cos(x)− 2 · cos(x) · sin(x) ≡ 0,
o que e´ natural ja´ que sin(x)2 + cos(x)2 ≡ 1.

• f(x) = x2 e g(x) = sin(x), enta˜o (g ◦ f)′(x) = cos(x2) · 2 · x.

2. A derivada do quociente

Agora uma aplicac¸a˜o da regra da composta aos quocientes de func¸o˜es:

Afirmac¸a˜o 2.1. Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis com g nunca nula. Enta˜o

(
f(x)

g(x)
)′(x) =

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)

.

Em particular:

(
1

g
)′(x) = − g

′(x)
g2(x)

.

Demonstrac¸a˜o.

Vou escrever primeiro
f(x)

g(x)
= f(x) · 1

g(x)

e derivar esse produto:

(
f(x)

g(x)
)′(x) = f ′(x) · 1

g(x)
+ f(x) · ( 1

g(x)
)′(x),

Agora olho 1
g(x)

como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es f1(x) = g(x) e f2(x) =
1
x
= x−1:

1

g(x)
= (f2 ◦ f1)(x).

2. A DERIVADA DO QUOCIENTE 184

Ja´ sabemos derivar f2(x) =
1
x
= x−1, de fato: f ′2(x) = − 1x2 = −x−2. Enta˜o a regra

da composta da´:

(
1

g(x)
)′(x) = (f2 ◦ f1)′(x) =

= f ′2(f1(x)) · f ′1(x) =

= − 1
g2(x)

· g′(x).

Junto tudo:

(
f(x)

g(x)
)′(x) = f ′(x) · 1

g(x)
+ f(x) · ( 1

g(x)
)′(x) =

= f ′(x) · 1
g(x)

+ f(x) · (− 1
g2(x)

· g′(x)) =

=
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g2(x)
,

como quer´ıamos. �

Exemplos:

• Func¸o˜es racionais sa˜o quocientes de polinoˆmios f
g
. Onde g na˜o se anula, a

fo´rmula da Afirmac¸a˜o 2.1 nos diz como deriva´-las.
• A tangente e´ um quociente de func¸o˜es deriva´veis tan(x) = sin(x)

cos(x)
. Onde o

cosseno na˜o se anula podemos deriva´-la obtendo:

tan′(x) =
cos(x) · cos(x)− sin(x) · (− sin(x))

cos2(x)
=

=
1

cos2(x)

e com a nomenclatura conhecida sec(x) := 1
cos(x)

o que temos e´

tan′(x) = sec2(x).

Enta˜o claramente tan′(0) = 1
cos2(0)

= 1 e

lim
x↗pi

2

tan′(x) = lim
x↙−pi

2

tan′(x) = +∞.

A seguir plotei os gra´ficos da tangente e de sua derivada restritas ao
intervalo (−1, 1). Na˜o pude usar um intervalo