Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
805 pág.

Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

Disciplina:Cálculo II10.666 materiais406.963 seguidores
Pré-visualização50 páginas
(x, y) um polinoˆmio em duas varia´veis.2

Suponha que exista (x, y) com F (x, y) = 03

Se ∂F (x,y)
∂y

6= 0 quando avaliada em (x, y), enta˜o para x, y em (possivelmente pe-
quenos) intervalos abertos centrados em x, y:

• a curva F (x, y) = 0 e´ um gra´fico do tipo y = y(x) e
• y′(x) = −

∂F (x,y)
∂x

∂F (x,y)
∂y

.

Se ∂F (x,y)
∂x

6= 0 quando avaliada em (x, y), enta˜o para x, y em (possivelmente pe-
quenos) intervalos abertos centrados em x, y::

• a curva F (x, y) = 0 e´ um gra´fico do tipo x = x(y) e
• x′(y) = −

∂F (x,y)
∂y

∂F (x,y)
∂x

.

Esse Teorema tem va´rios detalhes, que se veˆem melhor nos Exemplos.

Exemplo 2.1. No c´ırculo F (x, y) = x2+y2−r2 = 0 temos ∂F (x,y)
∂y

= 2y 6= 0 se y 6= 0.
Nesse caso:

y′(x) = −
∂F (x,y)

∂x
∂F (x,y)

∂y

= − 2x
2y(x)

,

como vimos antes.
Mas se P no c´ırculo tem y = 0 enta˜o P = (−r, 0) ou P = (r, 0) e nesse caso

∂F (x,y)
∂x

= 2x 6= 0. Enta˜o e´ preciso usar func¸o˜es x = x(y) para descrever o c´ırculo
como gra´fico.

O Teorema 2.1 tem sutilezas que ficam evidentes no Exemplo a seguir:

2ha´ verso˜es mais gerais desse enunciado, onde F e´ muito geral, sujeito apenas a certas exigeˆncias
de derivabilidade

3Na˜o queremos ter conjuntos vazios como F (x, y) = x2 + y2 + 3 = 0.

2. TEOREMA DA FUNC¸A˜O IMPLI´CITA 210

Exemplo 2.2. Voltando ao exemplo que analisamos acima,

F (x, y) = x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0
temos

∂F (x, y)

∂x
= 2xy2,

que se anula em P = (0, 2), mas temos

∂F (x, y)

∂y
= x22 y − 6 y + 4 y3 − 8 + 6 y2

que na˜o se anula em P = (0, 2). Logo ha´ um gra´fico y = y(x) em torno de (0, 2) e ja´
calculamos y′(0) = 0 acima.

Ate´ agora na˜o comentei o fato de que P = (0,−1) tambe´m satisfaz:
x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0.

Isso e´ interessante pois diz que para o mesmo valor x = 0 ha´ dois valores y que
satisfazem F (x, y) = 0 !

Ou seja que e´ so´ num pequeno entorno de (0, 2) que pode ser descrito como gra´fico
de y = y(x) , mas na˜o todo o conjunto F (x, y) = 0.

Por outro lado, em (0,−1) tanto ∂F (x,y)
∂x

= 2xy2 quanto

∂F (x, y)

∂y
= x22 y − 6 y + 4 y3 − 8 + 6 y2

se anulam !
Nessa caso o Teorema 2.1 na˜o tem nada a dizer ! Ele na˜o pode garantir nenhum

tipo de gra´fico local y = y(x) ou x = x(y).
Ainda bem que o Teorema se calou nessa caso, pois em (0,−1) a curva F (x, y) = 0

tem uma espe´cie de lac¸o, que na˜o se deixa descrever nem como gra´fico de y = y(x)
nem como gra´fico de x = x(y).

A Figura a seguir da´ uma ide´ia da curva, que na˜o por acaso se chama concho´ide:

y

1

2

x

0
40 2-2

-2

-1

-4

CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 211

Figura: Em (0, 2) vemos um pequeno gra´fico horizontal y = y(x). Mas
em (0,−1) forma-se um lac¸o.

Exemplo 2.3. O caso de

x3 + xy2 − 3x
2

2
− y2 = 0

expo˜e outra sutileza do Teorema 2.1.
Note que essa curva tem sobre o eixo dos x exatamente dois pontos: (0, 0) e (0, 3

2
).

Em (0, 3
2
) temos (como o leitor pode verificar)

∂F (x, y)

∂y
= 0,

∂F (x, y)

∂x
=

9

4

e o Teorema 2.1 diz que a curva F (x, y) = 0 se representa localmente como gra´fico
x = x(y). Ademais calcula x′(3

2
) como

x′(
3

2
) = − 0

(9
4
)
= 0,

ou seja que o gra´fico e´ vertical.
Mas em (0, 0) temos

∂F (x, y)

∂y
=

∂F (x, y)

∂x
= 0.

De fato esse ponto e´ completamente isolado do resto da curva ! Ou seja, na˜o pode
ser visto como gra´fico de uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ um intervalo aberto em torno de
x = 0.

Na Figura a seguir o Maple na˜o enxerga o (0, 0) na curva !

2

0

-2

x

1,51,41,31,21,1
y

3

1

-1

-3

3. RETA TANGENTE DE CURVA E PLANO TANGENTE DE SUPERFI´CIE212

3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie

O Teorema 2.1 nos diz que, se uma curva F (x, y) = 0 e´ localmente, em torno de
(x, y), da forma y = y(x) enta˜o

y′(x) = −
∂F
∂x

(x, y)
∂F
∂y

(x, y)
.

A reta tangente em (x, y) ao pedac¸o de gra´fico y = y(x) foi definida na Sec¸a˜o 2 do
Cap´ıtulo 8 como:

y = y′(x) + (y − y′(x) · x),
ou seja,

y = −
∂F
∂x
∂F
∂y

· x+ (y −
∂F
∂x
∂F
∂y

· x).

Multiplicando por ∂F
∂y

(x, y) e simplificando obtemos:

∂F

∂x
(x, y) · (x− x) + ∂F

∂y
(x, y) · (y − y) = 0,

por isso defino:

Definic¸a˜o 3.1. Seja F (x, y) = 0 curva contendo o ponto (x, y) para o qual ∂F
∂x
(x, y) 6=

0 ou ∂F
∂y
(x, y) 6= 0. Enta˜o sua reta tangente em (x, y) e´ definida por:

∂F

∂x
(x, y) · (x− x) + ∂F

∂y
(x, y) · (y − y) = 0,

Podemos dar uma definic¸a˜o ana´loga quando ao inve´s de uma curva no plano (x, y)
tivermos uma superf´ıcie no espac¸o (x, y, z), dada em forma impl´ıcita pela equac¸a˜o
F (x, y, z) = 0:

Definic¸a˜o 3.2.
Seja F (x, y, z) = 0 contendo o ponto (x, y, z).

Se ∂F
∂x
(x, y, z)) 6= 0 ou ∂F

∂y
(x, y, z) 6= 0 ou ∂F

∂y
(x, y, z) 6= 0, enta˜o seu plano tangente

em (x, y, z) e´ definido por:

∂F

∂x
(x, y, z) · (x− x) + ∂F

∂y
(x, y, z) · (y − y) + ∂F

∂z
(x, y, z) · (z − z) = 0.

Exemplos:

• por essa definic¸a˜o a esfera de raio 1 dada por x2 + y2 + z2 − 1 = 0 tem em
(0, 0, 1) o plano tangente

∂F

∂z
(0, 0, 1) · (z − 1) = 2 · (z − 1) = 0,

que e´ o mesmo que o plano horizontal z = 1 no espac¸o (x, y, z).

CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 213

• a equac¸a˜o z2 − x2 − y2 = 0 define uma superf´ıcie conhecida como cone de
duas folhas. No ponto (0, 0, 0):

∂F

∂x
=

∂F

∂y
=
∂F

∂x
= 0,

e nele portanto na˜o esta´ definido um plano tangente. Por isso esse ponto e´
especial ou singular.

4. Tangentes, pontos racionais de cu´bicas e co´digos secretos

Consideremos uma cu´bica em forma impl´ıcita, ou seja, uma curva dada por:

y2 − x3 − b x− a = 0, a, b ∈ R,
ou equivalentemente:

y2 = x3 + b x+ a a, b ∈ R.
Quando se trabalha com computadores, o melhor dos mundos e´ lidar com nu´meros

Racionais. E duas questo˜es muito importantes e atuais, que esta˜o relacionadas com
a aplicac¸a˜o da matema´tica a` criptografia, sa˜o:

Questa˜o 1: Seja a curva dada por

y2 = x3 + b x+ a a, b ∈ Q.
Quem sa˜o ou quantos sa˜o os pontos P = (x, y) da curva que teˆm ambas coordenadas
Racionais ?

Questa˜o 2: Dado um ponto P dessa curva com coordenadas Racionais, como
produzir outros pontos dela que tambe´m tenham coordenadas Racionais ?

Usaremos a notac¸a˜o P = (x, y) ∈ Q×Q para dizer que ambas as coordenadas sa˜o
Racionais.

A seguinte Afirmac¸a˜o e´ um me´todo para atacar a segunda questa˜o:

Afirmac¸a˜o 4.1. (Me´todo das secantes e das tangentes)
Considere uma cu´bica com coeficientes Racionais da forma

F (x, y) = y2 − x3 − b x− a a, b ∈ Q.
• i) sejam P1 = (x1, y1) ∈ Q × Q e P2 = (x2, y2) ∈ Q × Q de F (x, y) = 0,
distintos. Se a reta que os liga na˜o e´ vertical enta˜o ela intersecta a cu´bica
em P3 = (x3, y3) ∈ Q×Q.

• ii) Suponha que ∂F
∂y

= 2y na˜o se anula em P = (x, y) ∈ Q×Q. Enta˜o a reta
tangente a F (x, y) em P intersecta a cu´bica num ponto Q que tambe´m tem
coordenadas Racionais.

Demonstrac¸a˜o.

De i):

4. TANGENTES, PONTOS RACIONAIS DE CU´BICAS E CO´DIGOS
SECRETOS 214

A reta ligando P1 e P2 e´:

y = (
y
2
− y

1

x2 − x1
) · x+ x2y1 − x1y2

x2 − x1
=

= A · x+ b,
ou seja, tem coeficientes angular A e linear B Racionais.

Queremos resolver a equac¸a˜o

(Ax+B)2 − x3 − b x− a = 0,
mas

(Ax+B)2 − x3 − b x− a = (x− x1) · (x− x2) · q(x),
onde o grau do polinoˆmio q(x) e´ 3− 2 = 1.

Mas, como se viu na prova do Teorema 7.1 do Cap´ıtulo 6 e na Digressa˜o que se
seguiu, os coeficientes de q(x) sa˜o Racionais.

Logo a terceira soluc¸a˜o e´ a ra´ız de

p(x) =
p1
q1
· x+ p2

q2
= 0

e portanto produz um ponto P3 da cu´bica com coordenadas Racionais.

De ii):
Pelo Teorema 2.1, F (x, y) localmente em torno de P e´ um gra´fico de y = y(x),

com

y′(x) = −
∂F
∂x
∂F
∂y

= −−3x
2 − b
2y