Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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superior, o Curso exige do aluno um empenho e atenc¸a˜o muito
diferente daquele exigido nos seus contatos anteriores com a matema´tica.

Principalmente o aluno deve usar de modo preciso os conceitos que va˜o sendo
apresentados (por ex. limites, continuidade, derivada). Se na˜o os entender, per-
gunte ao professor ate´ ter esclarecido o conceito. Pois embora a`s vezes parec¸am ape-
nas conceitos qualitativos, sa˜o de fato bastante precisos e mais tarde da˜o resultados
quantitativos de absoluta precisa˜o.

1Veja, por exemplo, que o gra´fico do seno esta´ errado em va´rias edic¸o˜es do livro do Anton,
pois ele na˜o usou as mesmas escalas nos eixos x e y, portanto a inclinac¸a˜o na origem na˜o fica bem
representada

CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 17

Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirmac¸o˜es,
sem ler todas as demonstrac¸o˜es. Mas de fato, so´ se entende completamente um fato
matema´tico quando se entende a sua demonstrac¸a˜o.

Por u´ltimo, e´ muito importante que o estudante pense nos exerc´ıcios propostos em
cada Cap´ıtulo. Mesmo que na˜o responda todos, ao tentar fazer exerc´ıcios o conteu´do
vai sendo assimilado concretamente. E se o aluno na˜o consegue fazer quase que
nenhum exerc´ıcio, enta˜o precisa voltar a refletir no conteu´do dado.

Alguns teˆm soluc¸a˜o bastante detalhada, apresentada no Cap´ıtulo 52. Mas que so´
devem ser lidas apo´s muito trabalho pessoal do aluno.

Ao longo do livro aparecem problemas da prestigiadaW. L. Putnam Mathematical
Competition, que ocorre anualmente desde sua Primeira Edic¸a˜o em 1938. Va˜o apare-
cendo a` medida que desenvolvemos material suficiente para poder resolveˆ-los. Nessa
competic¸a˜o aparecem problemas dif´ıceis, mas tratei de selecionar alguns simples e
acess´ıveis.

Minhas fontes foram o site:
http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
(onde esta˜o as Competic¸o˜es de 1985-2009) e o livro The W. L. Putnam Mathemat-

ical Competition, Problems and solutions, 1938-1964., Math. Association of America.
Esses problemas devem ser pensados pelo leitor e so´ depois do leitor apresentar a

sua resposta, do seu jeito de ver o problema, e´ que pode ler as respostas. Foi assim
que eu fiz: eu resolvi sozinho cada um dos que apresento, e minhas respostas na˜o teˆm
a pretensa˜o de serem as mais elegantes poss´ıveis.

Lembro o que um professor muito bom me disse: So´ se aprende matema´tica re-
solvendo problemas !

5. Livros-texto e Refereˆncias

Livros ruins de Ca´lculo ha´ va´rios, de cuyos nombres no quiero acordarme.
Bastante razoa´vel o livro do G. Thomas, dispon´ıvel na biblioteca em va´rias edic¸o˜es.
Curto, direto e bom prec¸o: R. Silverman, Essential Calculus with applications,

Dover.
Para mim um dos melhores livros de Ca´lculo e´ o de Michael Spivak, Calculus

(edic¸o˜es em espanhol e ingles na biblioteca da UFRGS). Aprende-se muito nesse livro
e me foi u´il em alguns momentos na hora em que se fez necessa´rio a precisa˜o que falta
em outros livros. Claro que e´ bastante dif´ıcil como primeiro livro de Ca´lculo, mas o
esforc¸o de ler qualquer sec¸a˜o dele e´ sempre recompensado.

Na Primeira Parte usei coisas que aprendi:

• no enciclope´dico livro de R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and
Analysis, Interscience, 1965.

• no curso de Elon Lima Curso de Ana´lise, Projeto Euclides, SBM.
• no cla´ssico E. T. Whittaker e G. Watson, A course of modern Analysis,
Cambridge, reimpressa˜o de 1996.

• no belo livro de C.H. Edwards, The historical development of the Calculus,
Springer, 1979.

• no livro de S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader,
Oxford University Press , 1995.

6. PROGRAMAS U´TEIS 18

As refereˆncias usadas no Apeˆndice sobre a Lei de Kleiber, Cap´ıtulo 34, esta˜o dadas
la´.

Na Parte 2, sobre Equac¸o˜es diferenciais, usei material do Courant-John, bem como

• o excepcional livro de M. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical
systems and linear algebra, Academic Press, 1974,

• o muito bem escrito e motivante livro de G. Simmons Differential equations
with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1972. Alguns Exerc´ıcios
propostos neste livro me serviram de guia para diversas Sec¸o˜es. Usei bastante
esse livro.

• o livro de H. S. Bear, Differential Equations, a Concise Course, Dover, 1962
e´ pequeno mas muito informativo. Nele se encontra uma prova perfeitamente
leg´ıvel do Teorema de existeˆncia de soluc¸o˜es de Picard, por exemplo.

• o de J. W. Bruce e P. j. Giblin, Curves and singularities, Cambrige U. Press,
1984.

• o cla´ssico G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions , Cam-
brige, 1958.

• o livro de A. Gray e G. B. Mathews, A treatise on Bessel functions and their
applications to Physics, McMillan and co, 1895.

• ademais usei no Cap´ıtulo 37 artigos de A. Bernhardt e de A. Lotka, bem
como

• o cla´ssico livro de F. Gomes Teixeira, Traite´ des courbes speciales remar-
quables, planes et gauches, reimpressa˜o de 1971, Chelsea Publishing Com-
pany.

• last but not least, E. Kamke, Differentialgleichungen- Losungsmethoden und
losungen, T. I, Chelsea Publisinhg Company, 1948.

6. Programas u´teis

Programas como o Maple podem ser um grande auxiliar para o estudo: para
conferir contas, plotar curvas, etc, mas so´ sera˜o u´teis se o estudante tentar fazer
sozinho e depois usar os programas para checar seus resultados.

Para usua´rios do Windows existe o programa gra´tis WXMaxima, que voceˆ baixa
em instantes no site:

http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/
5.21.1-Windows/maxima-5.21.1.exe/download
Esse programa faz tudo: resolve equac¸o˜es alge´bricas e diferenciais, deriva, integra,

faz gra´ficos, etc.
O Maple e´ programa ana´logo pago.
Tambe´m existe um site, http://www.wolframalpha.com, onde se pode fazer online

gra´ficos, integrais, limites e derivadas, o que e´ u´til quando se esta´ estudando fora de
casa.

Agradecimentos:

Agradec¸o ao Professor Mark Thompson, da Matema´tica da UFRGS, por ter
me disponibilizado Notas que serviram para a elaborac¸a˜o da Sec¸a˜o sobre Cine´tica

CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 19

qu´ımica. E tambe´m pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus,
with illustrations from Geometry, Mechanics and Physics, reimpressa˜o de 1956 da
edic¸a˜o de 1901, que me foi u´til.

Agradec¸o ao Professor Vı´tor Pereira, da Geologia da UFRGS, que me explicou o
belo fenoˆmeno da meia-vida da luz das super-novas.

As notas de Aula do Professor Eduardo Brietzke, da Matema´tica da UFRGS, para
a disciplina de Equac¸o˜es Diferenciais II, me serviram de fio-condutor entre os diversos
temas poss´ıveis. Abordei alguns dos exemplos que la´ aparecem de um ponto vista um
pouco diferente. Lhe sou grato.

Agradec¸o a`s estudantes que fizeram Ca´lculo comigo em 2008: Paˆmela Lukasewicz
Ferreira, por ter tomado notas do curso que dei e que me serviram de roteiro para
este texto e Moˆnica Hoeveler, por participac¸o˜es em aula e por sugesto˜es de temas.

Agradec¸o aos estudantes Luciano Bracht Barros e Magno V. F. Teixeira da
Silva por conversas no fim da aula que me motivaram a escrever a Sec¸a˜o 6 do Cap´ıtulo
32.

O estudante Walter Ferreira Diniz Ju´nior resolveu va´rios problemas de modo
original, produziu exemplos, e ate´ me indicou como escrever melhor a Sec¸a˜o 5 do
Cap´ıtulo 26 !

CAP´ıTULO 2

Alguns dos objetivos do Ca´lculo

A descric¸a˜o matema´tica dos fenoˆmenos se faz principalmente a partir da noc¸a˜o de
func¸a˜o y = f(x) e de seu gra´fico.

Se pudermos entender:

• se f(x) assume somente valores Reais, onde f(x) se anula, onde e´ positiva
ou negativa,

• se e onde f(x) cresce ou decresce a` medida que x cresce,
• se f(x) se aproxima de um certo valor quando x cresce muito,
• se e onde f(x) tem valor ma´ximo ou mı´nimo,
• no caso de y = f(x) ≥ 0, qual a a´rea sob seu gra´fico