Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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Ilustro isso nas Figura a seguir:

1

0,6

-0,2

0,8

0,4

-0,4

x

0,80,60,40
0

0,2

0,2

Figura: Reflexa˜o na diagonal de um gra´fico e de sua reta tangente

Quero motivar com isso o seguinte fato:

Teorema 0.1. Seja y = f(x) deriva´vel com f ′(x) 6= 0 e com uma func¸a˜o inversa
f−1(x) tambe´m deriva´vel. Enta˜o:

f−1
′
(x) =

1

f ′(f−1(x))
.

Demonstrac¸a˜o. Considero a composic¸a˜o entre f e g = f−1, que resulta em uma
anular o efeito da outra:

(f ◦ f−1)(x) ≡ x.
Enta˜o o Teorema 1.1 da´:

(f ◦ f−1)′(x) = f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x).
Mas por outro lado:

1 ≡ (f ◦ f−1)′(x)
221

1. DERIVADA DE Y =
√
X 222

pois (f ◦ f−1)(x) ≡ x. Asim que:
1 ≡ f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x),

de onde

(f 1)
′
(x) =

1

f ′(f−1(x))
.

�

1. Derivada de y =
√
x

Vejamos o que e´ a derivada de y =
√
x de dois modos distintos, um pela definic¸a˜o

e outro lembrando que
√
:R>0 → R>0 e´ a inversa de y = x2 : R>0 → R>0.

Pela definic¸a˜o temos:

√
x
′
(x) := lim

h→0

√
x+ h−√x

h
e para x > 0 e h com |h| suficientemente pequeno para que x+ h > 0, escrevo:

lim
h→0

√
x+ h−√x

h
= lim

h→0

√
x+ h−√x

h
·
√
x+ h+

√
x√

x+ h+
√
x
.

Agora uso que (�+4) · (�−4) = �2 −42, para obter que:
√
x
′
(x) = lim

h→0
x+ h− x

h · (√x+ h+√x) =

= lim
h→0

1√
x+ h+

√
x
.

E agora uso a continuidade de y =
√
x (por ser inversa de func¸a˜o cont´ınua definida

num intervalo) para fazer:

√
x
′
(x) = lim

h→0
1√

x+ h+
√
x
=

1

2 · √x.

Observe que

lim
x↘0

1

2 · √x = +∞

o que diz que o gra´fico de y =
√
x fica vertical na origem.

Agora quero comparar esse resultado com o que obtemos pelo Teorema 0.1 sobre
a derivada da inversa.

Seja f : R>0 → R>0 dada por f(x) = x2 e sua inversa f−1(x) = √x. Como
f ′(x) = 2x, enta˜o

f ′(
√
x) = 2 · √x

e portanto pelo Teo 0.1:
√
x ′(x) =

1

2 · √x,
como quer´ıamos.

CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 223

2. Distaˆncia versus quadrado da distaˆncia

No Cap´ıtulo 11 usamos a func¸a˜o que dava o quadrado da distaˆncia desde um
ponto, ao inve´s da distaˆncia ela mesma, para evitar derivar a ra´ız quadrada, que
aparece na definic¸a˜o de distaˆncia (euclidiana) entre dois pontos.

A Afirmac¸a˜o a seguir justifica isso:

Afirmac¸a˜o 2.1. Seja f : [a, b]→ R, deriva´vel, com f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b].
Enta˜o f tem ponto de mı´nimo/ma´ximo global em x ∈ [a, b] se e somente se f 2(x)

tem tem ponto de mı´nimo/ma´ximo global em x ∈ [a, b].
Demonstrac¸a˜o.

Se a e´ tal que 0 < f(a) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b] enta˜o 0 < f 2(a) ≤ f 2(x), pois a func¸a˜o
y = z2 e´ estritamente crecente em (0,+∞).

Se a e´ tal que 0 < f 2(a) ≤ f 2(x) ∀x ∈ [a, b] enta˜o
0 <

√
f 2(a) ≤

√
f 2(x),

pois a func¸a˜o y =
√
z e´ estritamente crescente em (0,+∞), ja´ que sua derivada e´

1
2
√
z
> 0. Ou seja, 0 < f(a) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b].
Analogamente para o caso 0 < f(x) ≤ f(a) e para o caso do outro extremo b de

[a, b].
Se x e´ ponto do intervalo aberto (a, b) que e´ mı´nimo global de f enta˜o f ′(x) = 0,

f ′(x) ≤ 0 num pequeno intervalo a` esquerda de x e f ′(x) ≥ 0 num pequeno intervalo
a` direita de x. Mas enta˜o

(f 2)′(x) = 2 · f(x) · f ′(x) = 0
e (f 2)′ tem os mesmo sinais que f ′ pro´ximos de x. Logo x e´ mı´nimo global de f 2(x).

Reciprocamente, se x ∈ (a, b) e´ mı´nimo global de f 2(x) enta˜o (f 2)′(x) = 0, com
(f 2)′ ≤ 0 a` esquerda de x e (f 2)′ ≥ 0 a` direita de x. Mas como

(f 2)′(x) = 2 · f(x) · f ′(x) e f(x) > 0,
enta˜o f ′(x) = 0 e os sinais de f ′ pro´ximo a x sa˜o os mesmos de (f 2)′: concluo que x
e´ mı´nimo global de f(x).

Analogamente para ponto do intervalo aberto (a, b) que seja ma´ximo global de f
ou f 2. �

O Exerc´ıcio 6.10 usa de outro modo o que aprendemos na prova da Afirmac¸a˜o 2.1.

3. Derivada da “func¸a˜o”x
1
n , de x

m
n e de x

−m
n

Seja a func¸a˜o f(x) = xn. Se n e´ par, precisamos restringir f a um semi-eixo para
termos uma func¸a˜o inversa f−1 (uma ra´ız n-e´sima).

Com essa ressalva, considere g = f−1 a inversa de f(x) = xn. Ou seja g(f(x)) = x.
A notac¸a˜o usual para g(x) e´ g(x) = x

1
n , feita de propo´sito a que valha

g(f(x)) = (xn)
1
n = x = x

n
n .

3. DERIVADA DA “FUNC¸A˜O”X
1
N , DE X

M
N E DE X

−M
N 224

Afirmac¸a˜o 3.1. Considere a func¸a˜o x
1
n , para n ∈ N, (com a ressalva acima). Enta˜o

para x 6= 0 vale que
(x

1
n )
′
(x) =

1

n
x

1
n
−1.

Demonstrac¸a˜o.

O Teorema 0.1 diz que para x 6= 0, combinado com a derivada de xn, da´:

(x
1
n )
′
=

1

n · (x 1n )n−1
.

De a´ı em diante basta fazer algumas manipulac¸o˜es (usando (x
1
n )k = x

k
n ):

x
1
n

′
=

1

n
· 1
x
n−1
n

=
1

n
· x−n−1n = .

=
1

n
· x 1−nn = 1

n
· x 1n−1.

�

Podemos agora derivar func¸o˜es do tipo x
m
n com m,n ∈ N usando as regras da

composta e da inversa, pois

x
m
n = (x

1
n )m.

Enta˜o pelo Teorema 1.1 (a regra da composta) e o que ja´ sabemos para x
1
n :

(x
1
n )

m′
= m · (x 1n )m−1 · ( 1

n
· x 1n−1) =

=
m

n
· xm−1n · x 1n−1 = m

n
· xmn −1

Para podermos derivar func¸o˜es do tipo x−
m
n com m,n ∈ N podemos escrever

x−
m
n = 1

x
m
n
e usar o que sabemos de quocientes e de x

m
n :

(
1

x
m
n

)
′
=
−m

n
x
m
n
−1

x
2m
n

= −m
n
· xmn −1− 2mn =

−m
n
· x−mn −1.

Qual o sentido de dizermos que em geral se f(x) = xα enta˜o f ′(x) = αxα−1 ?
E se α 6∈ Q? Por exemplo α = √2 ou α = pi? Apo´s darmos um sentido a essa

expressa˜o (e precisaremos da func¸a˜o exponencial para isso), sera´ que essa func¸a˜o e´
deriva´vel ? Sera´ que sua derivada tambe´m e´ α · xα−1 ? Voltaremos...

CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 225

4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno

E´ claro que o seno visto como func¸a˜o perio´dica sin : R → R ou mesmo visto em
sin : [0, 2pi]→ R na˜o tem uma func¸a˜o inversa.

Mas sua restric¸a˜o sin : (−pi
2
, pi
2
) → (−1, 1) mostrada na Figura a seguir sim tem

func¸a˜o inversa ! De fato, nessa regia˜o (−pi
2
, pi
2
) o seno e´ uma func¸a˜o injetora, pois sua

derivada sin′(x) = cos(x) e´ sempre positiva em (−pi
2
, pi
2
), logo sin(x) e´ estritamente

crescente e portanto uma func¸a˜o injetora.

0,5

1

-0,5

0

-1

x

1,510,50-0,5-1,5 -1

Figura: Restric¸a˜o do seno ao intervalo ((−pi
2
, pi
2
).

A inversa de sin : (−pi
2
, pi
2
) → R e´ chamada de valor principal do arco seno ou

apenas arcoseno, no sentido de que dado sin(θ) em (−1, 1) ela diz de que arco θ ele
proveio, pi

2
< θ < pi

2
.

E´ denotada arcsin. Guardaremos o s´ımbolo sin(x)−1 para denotar 1
sin(x)

.

1

1,5

0

0,5

-0,5

-1

-1,5

x

10,50-0,5-1

Figura: Gra´fico de arcoseno, domı´nio (−1, 1) e imagem (−pi
2
, pi
2
).

Como explicado no Teorema que trata da inversa de func¸o˜es cont´ınuas, o arcoseno
e o arcocosseno sa˜o func¸o˜es cont´ınuas. Mas vamos assumir que seja deriva´vel, para
calcularmos sua derivada.

Agora considere na Figura a seguir a restric¸a˜o do cosseno ao intervalo [0.pi].

4. DERIVADAS DO ARCOSENO E DO ARCOCOSSENO 226

0,5

1

-0,5

0

-1

x

32,521,510 0,5

E´ uma func¸a˜o estritamente decrescente, cuja inversa (tambe´m estritamente de-
crescente) e´ denotada arccos : [−1, 1]→ [pi, 0].
Afirmac¸a˜o 4.1.

i) A derivada de arcsin : (−1, 1)→ (−pi
2
, pi
2
) e´

arcsin′(x) =
1√

1− x2 .

Para a > 0, a derivada de arcsin(x
a
) : (−a, a)→ (−pi

2
, pi
2
) e´:

arcsin′(
x

a
) =

1√
a2 − x2 .

ii) A derivada de arccos : (−1, 1)→ [pi, 0] e´
arccos′(x) = − 1√

1− x2 .

iii) arccos(x) = pi
2
− arcsin(x), ∀x ∈ [���1, 1].

Demonstrac¸a˜o.

De i):

Pelo Teorema 0.1:

arcsin′(x) =
1

sin′(arcsin(x))
.

Mas ja´ sabemos que a derivada do seno e´ o cosseno,