Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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arcsin′(x) =
1

cos(arcsin(x))
.

Agora uso a relac¸a˜o trigonome´trica

cos2(arcsin(x)) + sin2(arcsin(x)) ≡ 1
e

sin2(arcsin(x)) = ( sin(arcsin(x) )2 = x2

para obter:
cos2(arcsin(x)) = 1− x2,

e como cos(arcsin(x)) > 0 quando arcsin(x) ∈ (−pi
2
, pi
2
) enta˜o obtenho:

cos(arcsin(x)) = +
√
1− x2

CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 227

e portanto

arcsin′(x) =
1√

1− x2 ,
como quer´ıamos.

Quando tomo a > 0, enta˜o pela regra da derivada da composta:

arcsin′(
x

a
) =

1√
1− (x

a
)2
· 1
a
=

=
1√
a2

1√
1− (x

a
)2

=
1√

a2 − x2 .

De ii):
Pelo Teorema 0.1:

arccos′(x) =
1

cos′(arccos(x))
.

Mas ja´ sabemos a derivada do cosseno, logo:

arccos′(x) =
−1

sin(arccos(x))
.

Exatamente como fizemos antes, a relac¸a˜o trigonome´trica entre seno e cosseno e o
fato de que o seno restrito a [0, pi] e´ ≥ 0, da˜o:

arccos′(x) =
−1√
1− x2 .

De iii):

Os itens i) e ii) ja´ provados da˜o que:

arccos′(x) = − arcsin′(x), ∀x ∈ (−1, 1).
Portanto existe uma constante C ∈ R tal que:

arccos(x) = − arcsin(x) + C, ∀x ∈ (−1, 1).
Mas

pi

2
= arccos(0) = − arcsin(0) + C = 0 + C,

o que nos diz que

C =
pi

2
.

Ademais tambe´m:

pi = arccos(−1) = pi
2
+
pi

2
= − arcsin(−1) + pi

2
,

bem como:

0 = arccos(1) = −pi
2
+
pi

2
= − arcsin(1) + pi

2
.

�

5. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 228

O Exerc´ıcio 6.8 propo˜e comprovar geometricamente (qualitativamente ao menos)
que arccos(x) = − arcsin(x) + pi

2
.

Note agora que a func¸a˜o 1√
1−x2 para x ∈ (−1, 1) e´ sempre positiva, vale 1 na

origem e tem

lim
x↗1

1√
1− x2 = +∞, e limx↘1

1√
1− x2 = +∞.

Tudo isso se veˆ na figura abaixo, onde plotei o arcoseno e sua derivada, para
x ∈ [−0.95, 0.95] (na˜o posso me aproximar demais de −1 ou de 1 se na˜o o gra´fico fica
muito alto !)

3

1

2

0

-1

x

0,4 0,80-0,8-0,4

Figura: Gra´fico de y = arcsin(x) (vermelho) e de sua derivada y = 1√
1−x2 (verde).

Essa figura e´ ta˜o parecida (qualitativamente) com a que ja´ vimos no Cap´ıtulo
anterior da func¸a˜o y = tan(x) e sua derivada que resolvi plota´-las juntas, para que o
leitor possa fazer comparac¸o˜es:

2

0

1

-1

0,8
x

-0,8-0,4 0,40

Figura: y = tan(x) (vermelho), sua derivada (verde), y = arcsin(x)
(amarelo) e sua derivada (azul) restritas a (−0.9, 0.9).

5. Derivada do arcotangente

Se x ∈ (−pi
2
, pi
2
) enta˜o

tan′(x) =
1

cos2(x)
> 0,

CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 229

o que diz que para x ∈ (−pi
2
, pi
2
) a func¸a˜o y = tan(x) e´ estritamente crescente.

Logo e´ injetora e tem func¸a˜o inversa denotada:

arctan : R→ (−pi
2
,
pi

2
).

Afirmac¸a˜o 5.1.

arctan′(x) =
1

1 + x2
, ∀x ∈ R

e para a > 0 :
1

a
· arctan′(x

a
) =

1

a2 + x2
, ∀x ∈ R

Demonstrac¸a˜o.

Pelo Teorema 0.1 e pela derivada da func¸a˜o tan(x):

arctan′(x) =
1

tan′(arctan(x))
=

=
1

( 1
cos2(arctan(x))

)
=

= cos2(arctan(x)).

Agora arctan(x) e´ um arco/aˆngulo e portanto vale para ele a relac¸a˜o trigonome´trica
ba´sica:

sin2(arctan(x)) + cos2(arctan(x)) = 1

e da´ı, dividindo por cos2(arctan(x)) > 0, temos:

sin2(arctan(x))

cos2(arctan(x))
+ 1 =

1

cos2(arctan(x))

ou seja

tan2(arctan(x)) + 1 =
1

cos2(arctan(x))
,

e como
tan2(arctan(x)) = (tan(arctan(x)))2 = x2,

x2 + 1 =
1

cos2(arctan(x))

quer dizer:

cos2(arctan(x)) =
1

1 + x2

Logo

arctan′(x) =
1

1 + x2
.

Se a > 0 a derivada da composta da´:

arctan′(
x

a
) =

1

1 + (x
a
)2
· 1
a
= a · 1

a2 + x2
.

�

5. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 230

1

0

0,5

-0,5

-1
x

2-2 31-3 -1 0

Figura: A func¸a˜o arcotangente (vermelho) e sua derivada
(verde) restritas a (−4, 4)

Exemplo:
Para completar essa Sec¸a˜o, vou mostra neste Exemplo como informac¸a˜o qualita-

tiva pode servir para dar informac¸a˜o quantitativa !
Considere

y = F (x) =
x

2
− 2 arctan(x

2
).

A pergunta e´: em que pontos F (x) se anula, ale´m do x = 0 ? Ou pelo menos, como
dar uma aproximac¸a˜o dessas ra´ızes ? Nem pensar em tentar resolver explicitamente
F (x) = 0 ...

Ja´ inicialmente e´ bom observar que F (x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, F (−x) = −F (x).
Portanto vamos pensar no eixo x > 0 apenas, depois fica fa´cil o eixo x < 0.

Note que

F ′(x) =
1

2
− 2 · 1

2
· 1
1 + (x

2
)2

=
1

2
− 4
x2 + 4

e esta u´ltima func¸a˜o teve seu gra´fico esboc¸ado na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 14.
Vimos la´ naquela Sec¸a˜o que F ′(x) se anula, no eixo x > 0, em x = 2, que F ′(x) < 0

em (0, 2) e que F ′(x) > 0 em (2,+∞).
Enta˜o, como F (0) = 0, concluo que y = F (x) < 0 em (0, 2), assume um mı´nimo

em x = 2 e depois comec¸a a crescer.
Como

lim
x+∞

arctan(
x

2
) =

pi

2

temos

lim
x+∞

F (x) = +∞.
Ou seja, como F (x) e´ cont´ınua, tem que voltar a se anular em algum ponto a` direita
de x = 2.

So´ que, para x > 0,

F (x) =
x

2
− 2 arctan(x

2
) >

x

2
− 2 · pi

2
.

CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 231

Como a reta y = x
2
− pi corta o eixo x > 0 em x = 2pi ∼ 6.3, concluo que F (x) se

anula1 em x ∈ (2, 6.3).
Pela propriedade ı´mpar, F (x) se anula em −x ∈ (−6.3, 2).
Note que:

lim
x+∞

F ′(x) = lim
x−∞

F ′(x) =
1

2

ou seja que a inclinac¸a˜o tende a 1/2 quando |x| → ∞.
Como

lim
x−∞

arctan(
x

2
) = −pi

2

vemos que o gra´fico de y = F (x) se aproxima de

y =
x

2
+ pi

quando x→ −∞.
A figura a seguir ilustra F (x) em vermelho, F ′(x) em verde, y = y = x

2
+ pi em

azul e y = x
2
− pi em amarelo.

8

0

4

-4

x

-8

-5-10 5 100

6. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 6.1. (resolvidos: iii, iv, v, xv.)
Derive usando regras de derivac¸a˜o de +,−, x, /,√ e a derivada da composta:

i)
√
sin(x3), se sin(x3) > 0 ii) cos5(x) + sin(x5),

1Com o me´todo de Newton do Cap´ıtulo 18, comec¸ando com 6.3 obtive na quinta iterac¸a˜o x ∼
4.662244741

6. EXERCI´CIOS 232

iii) sin3(x3), iv) sin(x) cos(x), v)
x4 + x2 + 1

3x4 + 4x2 + 1
,

vi)
√
1− x2, se |x| < 1, vii) sin(x3), viii) cos3(x) + sin3(x),

ix)
x7 − x2 − 1
x4 + 4x2 + 8

, x)
x3 − x+ 1

x4 − x3 + x2 − 1 ,

xi) sin3(x)− sin(x3), xii) 2
x3
, 0 < x,

xiii) (sin(x) · cos2(x))2, xiv) (x+ 3)100, xv) (3x+ 4)100.
Exerc´ıcio 6.2. Determine o domı´nio de cada uma das quatro func¸o˜es a seguir e em
que que pontos do domı´nio existe a derivada. Derive-as usando as regras de derivac¸a˜o
(produto, soma, composic¸a˜o, etc).

i) y =

√
x

x2 − 1 , ii) y =
1

sin(x)
,

iii) y = tan(x) · sin(cos(x)), iv) y = x4 · x 14 .
Exerc´ıcio 6.3. No Cap´ıtulo 28 vamos definir

κ(x) :=
| f ′′(x) |

(1 + (f ′(x))2)
3
2

como sendo a curvatura do gra´fico de y = f(x) em cada ponto x.
Verifique que
i) κ(x) ≡ 0 para uma reta y = a · x+ b e
ii) κ(x) ≡ 1

r
para a parte do c´ırculo x2 + y2 = r2 que fica no primeiro quadrante.

Exerc´ıcio 6.4. Suponha que voceˆ so´ conhece a reta tangente ao C´ırculo como o
fizemos aqui neste curso de Ca´lculo, ou seja, como reta cujo coeficiente angular e´
dado por uma derivada, etc.

Prove que essa reta tangente e´ ortogonal ao raio do C´ırculo, ou seja, que coincide
com a definic¸a˜o do Ensino Me´dio (dica: basta considerar pontos do c´ırculo x2+y2 = 1
com coordenada y > 0).

Exerc´ıcio 6.5. Considere a func¸a˜o f : R>0 → [−1, 1] dada por f(x) = sin( 1
x
).

i) derive-a pela regra da composta, ii) comprove que |f ′(x)| fica arbitrariamente
grande quando x tende a zero, iii) interprete geometricamente o resultado, sobre o
que acontece com o gra´fico de f pro´ximo a` origem, iv) agora considere a func¸a˜o dada
por f(x) = x2 · sin( 1

x
) (para x > 0). v) derive-a , vi) veja se o mo´dulo da derivada

f ′(x) fica arbitrariamente grande pro´ximo a`