Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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do produto escalar de vetores.

Definic¸a˜o 3.1. Dados vetores v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) defino seu produto escalar
como:

v1 · v2 = x1 · x2 + y1 · y2.

CAPI´TULO 17. TAXAS RELACIONADAS 239

Observac¸a˜o:
Quando usar · entre vetores se trata desse produto. Mas. quando fizer, para

λ ∈ R, o produto λ · v trata-se enta˜o de multiplicar cada coordenada de v por λ.
Afirmac¸a˜o 3.2.

i):

v1 · v2 = v2 · v1, v1 · v1 = ||v1||2, e v1 · (v2 + v3) = v1 · v2 + v1 · v3.
ii) Dados vetores v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2), enta˜o

v1 · v2 = ||v1|| · ||v2|| · cos(θ)
onde θ e´ o aˆngulo orientado de v1 para v2 (como cos(−θ) = cos(θ) da´ o mesmo que
considerar o aˆngulo de v2 para v1)

iii) Se ||v2|| = 1 enta˜o
(v1 · v2) · v2

e´ o vetor que corresponde a` projec¸a˜o ortogonal de v1 no eixo orientado gerado por v2.

Demonstrac¸a˜o.

O item i) e´ imediato das definic¸o˜es de mo´dulo, produto escalar e de soma de
vetores.

De ii):
O item i) aplicado ao vetor diferenc¸a v1 − v2:

||v1 − v2||2 = (v1 − v2) · (v1 − v2) = v1 · v1 + v2 · v2 − 2 · v1 · v2 =
= ||v1||2 + ||v2||2 − 2 · v1 · v2,

ou seja:
v1 · v2 = ||v1 − v2||2 − ||v1||2 − ||v2||2.

Mas como mostra a figura a seguir posso aplicar a Lei dos cossenos para ter o
mo´dulo de v1 − v2:

v1 − v2

v1

v2

θ

||v1 − v2||2 = ||v1||2 + ||v2||2 − 2 · ||v1|| cot ||v2|| · cos(θ),
de onde sai ii).

De iii):
O item ii) aplicado a um vetor unita´rio v2 da´

v1 · v2 = ||v1|| · cos(θ).

3. LEI DOS COSSENOS E PRODUTO ESCALAR DE VETORES 240

Enta˜o

(v1 · v2) · v2
esta´ no eixo gerado por v2 e tem mo´dulo:

||v1|| · | cos(θ)|.
Para comprovar que (v1 · v2) · v2 e´ realmente a projec¸a˜o ortogonal de v1 sobre o eixo
gerado por v2, podemos fazer uma conta:

v2 · [v1 − (v1 · v2) · v2] = v2 · v1 − (v1 · v2) · v2 · v2 = v2 · v1 − v1 · v2 = 0
o que diz pelo item ii) que v2 e v1 − (v1 · v2) · v2 sa˜o ortogonais.

Ilustro a seguir:

v1

θ

(v1.v2) . v2
v1 − (v1.v2).v2

v2

�

3.1. Uma interpretac¸a˜o vetorial da Sec¸a˜o 1. A fo´rmula

θ′(t) =
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)

x(t)2 + y(t)2

que demos na Sec¸a˜o 1 deste Cap´ıtulo admite uma interpretac¸a˜o vetorial importante,
que sera´ retomada na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 39.

Considero o vetor velocidade V := (x′(t), y′(t)) e o vetor unita´rio

N :=
(−y(t), x(t))√
x(t)2 + y(t)2

,

que e´ ortogonal ao vetor posic¸a˜o P := (x(t), y(t)). O mo´dulo do vetor posic¸a˜o e´

||P || :=√x(t)2 + y(t)2.
O produto escalar de vetores:

V ·N = (x′(t), y′(t)) · (−y(t), x(t))√
x(t)2 + y(t)2

:=
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)√

x(t)2 + y(t)2

da´ a projec¸a˜o do vetor V := (x′(t), y′(t)) na direc¸a˜o do vetor unita´rio N (item iii) da
Afirmac¸a˜o 3.2). Veja a figura a seguir:

CAPI´TULO 17. TAXAS RELACIONADAS 241

V

V

P

N

E podemos enta˜o escrever na linguagem vetorial:

θ′(t) =
1

||P || · V ·N =

=
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)

x(t)2 + y(t)2
.

4. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 4.1. Considere um paralep´ıpedo reto (ou seja, um objeto com a forma de
um tijolo macic¸o), cuja largura x(t), profundidade 2x(t) e altura y(t) mudam com o
tempo t.

Suponha que, em um instante t0, sua altura e´ 1 cm e aumenta na taxa de 7 cm/s
e sua largura e´ 4 cm e decresce na taxa de −1 cm/s.

Qual a taxa de variac¸a˜o do Volume no instante t0 ? O Volume esta´ aumentando
ou diminuindo em t0 ?

CAP´ıTULO 18

O Me´todo de aproximac¸a˜o de Newton

No Exerc´ıcio 9.11 do Cap´ıtulo 6 vimos que o polinoˆmio

y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1
tem uma ra´ız no intervalo [−1, 1]. Mas para isso de usa o Teorema do Valor Inter-
media´rio, que na˜o diz quanto e´ a ra´ız, apenas que ela existe.

Imagine quantas vezes Newton se viu defrontado com equac¸o˜es como essa, ale´m
de outras na˜o-polinomiais,1 por exemplo:

cos(x) + x · sin(x)− 1 = 0,
e certamente ele precisava ter informac¸a˜o sobre essas Ra´ızes.

A ide´ia do me´todo e´ bastante geome´trica. Se queremos determinar uma ra´ız de
f(x) = 0, trata-se de:

• escolher um ponto no eixo x, chamado de x0, tal que f ′(x0) 6= 0.
• determinar a reta tangente r0 ao gra´fico de y = f(x) em (x0, f(x0))
• intersectar r0 com o eixo dos x, chamando essa intersecc¸a˜o de x1
• recomec¸ar o processo a partir do ponto obtido.

Afirmac¸a˜o 0.1. O x1 obtido pelo me´todo e´ da forma:

x1 = x0 −
f(x0)

f ′(x0)
.

Demonstrac¸a˜o.

A reta tangente r0 ao gra´fico de y = f(x) em (x0, f(x0)) tem equac¸a˜o:

y = f ′(x0) · x+ (f(x0)− f ′(x0) · x0).
Intersecta´-la com y = 0 da´:

x =
f ′(x0) · x0 − f(x0)

f ′(x0)
=

= x0 −
f(x0)

f ′(x0)
.

�

1Como salienta S. Chandrasekhar na pa´gina 142 do seu livro Newton’s Principia for the common
reader, Oxford University Press , 1995.

243

244

Se a tangente num ponto (x, f(x)) do gra´fico for uma reta horizontal enta˜o
ter´ıamos que resolver a equac¸a˜o:

f(x) = f(x),

que e´ ta˜o dif´ıl como o problema original em geral. Ou seja, o me´todo pode parar se
f ′(x) = 0.

Exemplos:

• Para a ra´ız de
y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1

em [−1, 1] comec¸o com
x0 := 1

e obtenho
x1 = 0.

Mas f ′(0) = 0 e pa´ro.
Nova tentativa, partindo agora de

x0 := 1/2,

obtenho

x1 := −0.7058823529, x2 := −0.8206076715,
x3 := −0.7982163995, x4 := −0.7970632182, x5 := −0.7970602776,
e a partir da´ı a calculadora na˜o muda mais o resultado. Enta˜o essa e´ a
aproximac¸a˜o buscada da ra´ız.

A Figura a seguir indica como e´ o gra´fico do polinoˆmio.

1

-1

-2

2

0

x

-0,5-1 10 0,5

• Agora quero uma ra´ız de cos(x)+x·sin(x)−1 = 0 no intervalo [0, pi] e comec¸o
com x0 = 3.14.

Enta˜o:

x1 := 2.504649576, x2 := 2.348555437,

x3 := 2.331341479, x4 := 2.331122406, x5 := 2.331122370

a partir da´ı a calculadora passa desse valor para

x6 := 2.331122371

CAPI´TULO 18. O ME´TODO DE APROXIMAC¸A˜O DE NEWTON 245

e depois volta para o x5, sucessivamente.

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

-2

x

32,521,510 0,5

y = cos(x) + x · sin(x)− 1, x ∈ [0, pi].

CAP´ıTULO 19

O Princ´ıpio de Fermat e a refrac¸a˜o da luz

1. Princ´ıpio de Fermat

Suponhamos dois pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) com coordenadas y > 0.

O problema e´: Encontrar o ponto P = (x, 0) no eixo dos x que minimiza a soma
das distaˆncias PP1 + PP2.

Na˜o e´ uma perda de generalidade muito grande supoˆr que P1 = (0, 1) (basta
escolher sistema de coordenadas adequado).

Chamemos o aˆngulo 1) formado em P pelo eixo dos x e a reta P P1 de aˆngulo de
incideˆncia; e de aˆngulo refletido o aˆngulo formado pelo eixo dos x e a reta P P2.

Afirmac¸a˜o 1.1. (Princ´ıpio de Fermat)

• i) o ponto no eixo dos x que minimiza a soma de distaˆncias a P1 := (0, 1) e
a P2 := (x2, y2), com y2 > 0, e´

P = (x, 0) = (
x2

1 + y
2

, 0).

• ii) os aˆngulos de incideˆncia e refletido formados nesse P sa˜o iguais.

3

2

0

2,5

1,5

x

2,521,510 0,5

0,5

1

3

Figura: Treˆs exemplos do princ´ıpio de Fermat, com P1 = (0, 1)
P2: (3, 1), (3, 2), (3, 3) e P : (

3
2
, 0), (1, 0), (3

4
, 0) respectivamente.

Demonstrac¸a˜o.

Do Item i):
Queremos encontrar o ponto P = (x, 0) no eixo dos x que minimiza a func¸a˜o:

d(x) :=
√
(x− 0)2 + (0− 1)2 +

√
(x− x2)2 + (0− y2)2 =

1convexo, ou seja, 0 ≤ θ ≤ pi, e na˜o-orientado, ou seja, na˜o distingo entre aˆngulos hora´rios e
anti-hora´rios.

247

1. PRINCI´PIO DE FERMAT 248

=
√
x2 + 1 +

√
(x− x2)2 + y22.

Queremos usar o crite´rio da segunda derivada (Afirmac¸a˜o 2.1 do Cap´ıtulo 10)
para determinar o mı´nimo de d(x).

Para isso precisamos calcular d ′(x), o que ainda na˜o sabemos fazer.
Enta˜o, adiantando o que aprenderemos sobre derivadas de func¸o˜es compostas e

da ra´ız quadrada, Afirmo que:

d ′(x) =
x√

x2 + 1
+

x− x2√
(x− x2)2 + y22

=

=
x ·
√
(x− x2)2 + y22 + (x− x2) ·

√
x2 + 1

√
x2 + 1 ·

√
(x− x2)2 + y22

,

e claramente:

d ′(x) = 0 ⇔ x