Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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de semi-latus rectum.

• Num novo sistema cartesiano (x, y) em que o ve´rtice P0 esta´ em (x, y) = (h, k)
e os focos esta˜o na reta y = k, a elipse

x2

a2
+
y2

b2
= 1

se escreve como:
(x− h)2

a2
+

(y − k)2
b2

= 1

que expandido da´ uma expressa˜o do tipo:

a1x
2 + a2x+ a3y + a4y

2 + a5 = 0.

Em Exerc´ıcios pode se pedir para, a partir de uma equac¸a˜o de elipse do tipo

a1x
2 + a2x+ a3y + a4y

2 + a5 = 0

determinar focos, eixos e a excentricidade.
Tambe´m o papel de x e y pode estar trocado.

• A pista para chegar na elipse na forma (x−h)2
a2

+ (y−k)
2

b2
= 1 esta´ em completar

os quadrados, ou seja, agrupar os termos em x separadamente dos em y e
forc¸ar a parecer binoˆmios (x− h)2 e (y − k)2

Definic¸a˜o 2.4. A coˆnica do caso 1 < e da Afirmac¸a˜o 2.2 e´ chamada hipe´rbole e tem
simetria4 no eixo x e no eixo y.

Um reta vertical por F1 = (
√
a2 + b2, 0) intersecta a elipse em dois pontos

(
√
a2 + b2,±b

2

a
).

A distaˆncia de F1 a cada um deles, que e´
b2

a
, e´ o semi-latus rectum da hipe´rbole.

Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
Seja enta˜o R ∈ r o pe´ da perpendicular a r trac¸ada desde F . Considere o segmento

de reta RF .
Afirmo que existe apenas um ponto5 P0 no segmento RF tal que

P0F = e · P0 r.
De fato, se identificamos a reta RF com os Reais, e se usamos a coordenada 0

para R e f > 0 para F , queremos resolver a equac¸a˜o:

f − x = e · (x− 0) = e · x,
o que da´:

(e + 1) · x = f,
cuja u´nica soluc¸a˜o e´ x0 =

f
e+1

. Noto que 0 < x0 < f , pois e > 0.

4Da´ı se obtem que poderia ser definida tambe´m com base num segundo foco F2 := (−
√
a2 + b2, 0)

como o foi com base em F1 := F = (
√
a2 + b2, 0).

5Sera´ chamado de ve´rtice

CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 261

Escolho como sistema cartesiano de coordenadas (x, y) aquele que tem origem em
P0, eixo horizontal P0F (orientado de R para F ) e eixo vertical a perpendicular a
P0F por P0.

Nesse sistema, P0 = (0, 0) e se ρ := P0r > 0 a diretriz e´

x = −ρ e F = (eρ, 0).
Ademais, pela sua Definic¸a˜o, qualquer ponto P = (x, y) da coˆnica verifica:√

(x− eρ)2 + y2 = e ·
√
(x+ ρ)2,

pois PF =
√
(x− eρ)2 + y2 e Pr = √(x+ ρ)2. Portanto os pontos da coˆnica satis-

fazem:
(x− eρ)2 + y2 = e2 · (x+ ρ)2,

ou seja, apo´s simplificar:

(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0.
Caso e = 1:

Nesse caso a equac¸a˜o acima vira:

4ρ · x = y2,
com F = (ρ, 0) e a diretriz vira x = −ρ.

Caso 0 < e < 1:
Nesse caso podemos dividir a equac¸a˜o

(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0
por 1− e2 obtendo:

x2 − 2eρ
1− e · x+

y2

1− e2 = 0.
Introduzo uma constante a e depois uma b pela regra:

a :=
eρ

1− e e b :=
√
a2 · (1− e2).

Ja´ e´ bom notar que:
0 < b < a, pois 0 < 1− e2 < 1.

Enta˜o a u´ltima equac¸a˜o vira:

x2 − 2ax+ a
2

b2
· y2 = 0

que dividida por a2 da´:
x2

a2
− 2
a
· x+ y

2

b2
= 0.

Caso 1 < e: Nesse caso, analogamente ao que fizemos no Caso anterior, mas com

a :=
eρ

e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0

obtemos a equac¸a˜o:
x2

a2
+

2

a
· x− y

2

b2
= 0.

2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 262

�

Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.2)
No caso 0 < e < 1 ja´ temos a equac¸a˜o

x2

a2
− 2
a
· x+ y

2

b2
= 0

para a coˆnica, onde

a :=
eρ

1− e > 0.
Portanto vemos que essa coˆnica intersecta a reta y = 0 em P0 = (0, 0) e em

P1 := (2a, 0).

Considere o ponto me´dio do segmento P0P1:

C := (a, 0).

Vamos transladar a origem do sistema de coordenadas para C. Para isso esta-
belec¸amos um novo sistema de coordenadas (x, y) onde:

x = x− a e y = y.
Enta˜o a equac¸a˜o da coˆnica vira:

(x+ a)2

a2
− 2
a
· (x+ a) + y

2

b2
= 0,

ou seja:
x2

a2
+
y2

b2
= 1.

O foco F tinha coordenada x dada por eρ e agora, no novo sistema, tera´ coorde-
nada x dada por:

eρ− a = eρ− eρ
1− e = −

e2ρ

1− e =

= −
√
e4ρ2

1− e = −
√
e2ρ2 − e2ρ2(1− e2)

1− e =

= −
√

e2ρ2

(1− e)2 −
e2ρ2(1− e2)
(1− e)2 =

= −
√
a2 − b2.

Das duas primeiras igualdades acima temos:

eρ− a = −ae
e do anterior:

e =

√
a2 − b2
a

.

Ja´ no caso 1 < e temos a equac¸a˜o

x2

a2
+

2

a
· x− y

2

b2
= 0

CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 263

para a coˆnica.
Portanto essa coˆnica intersecta a reta y = 0 em P0 = (0, 0) e em

P1 := (−2a, 0).
Considere o ponto me´dio do segmento P0P1:

C := (−a, 0).

ρ ρ

a a

C

r

F

r ’

F ’

Vamos transladar a origem do sistema de coordenadas para C. Para isso usamos
um novo sistema de coordenadas (x, y) onde:

x = x+ a e y = y.

Enta˜o a equac¸a˜o da coˆnica vira:

(x− a)2
a2

+
2

a
· (x− a)− y

2

b2
= 0,

ou seja:

x2

a2
− y

2

b2
= 1.

O foco F tinha coordenada x dada por eρ e agora, no novo sistema, tera´ coorde-
nada x dada por:

eρ+ a = eρ+
eρ

e− 1 =
e2ρ

e− 1 =

=

√
e4ρ2

e− 1 =
√
e2ρ2 + e2ρ2(e2 − 1)

e− 1 =

=

√
e2ρ2

(e− 1)2 +
e2ρ2(e2 − 1)
(e− 1)2 =

=
√
a2 + b2.

2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 264

A simetria no eixo x da equac¸a˜o x
2

a2
− y2

b2
= 1 indica que a hipe´rbole poderia ser

definida em relac¸a˜o a um foco F ′ = (−√a2 + b2, 0) e uma diretriz r′, como mostra a
Figura acima.

A relac¸a˜o e =
√
a2+b2

a
e´ imediata das definic¸o˜es de a e b.

�

Uma observac¸a˜o final. Como para as elipses

e =

√
a2 − b2
a

e para as hipe´rboles

e =

√
a2 + b2

a
,

vemos que as expanso˜es/contrac¸o˜es dadas por

φ(x, y) = (λ · x, λ · y), λ > 0

na˜o mudam a excentricidade. A figuras a seguir mostram elipses e hipe´rboles com a
mesma excentricidade:

y

2

4

x

0
100 5

-4

-2
-10 -5

CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 265

Figura: Elipses de excentricidade igual a e =
√
9−1
3

y
2
4

0

-4x
10-10

-2 15-5 0-15 5

Figura: Hipe´rboles de excentricidade igual a e =
√
9+1
3

Voltaremos ao estudo das coˆnicas na Sec¸a˜o 7 do Cap´ıtulo 39, onde as descrevere-
mos em coordenas polares. Papel especial sera´ desempenhado pelas elipses.

3. A Para´bola e sua propriedade refletiva

A para´bola tambe´m aparecera´ com destaque mais adiante, na Sec¸a˜o 8 do Cap´ıtulo
35, associada a` bal´ıstica.

Um dos casos mais simples em que a reta tangente muda de acordo com o ponto
escolhido no gra´fico e´ o caso das para´bolas.

Mesmo assim ja´ podemos obter algumas informac¸o˜es interessantes, como o mostrara˜o
as Sec¸o˜es seguintes, desde que soubermos calcular essas tangentes.

Afirmac¸a˜o 3.1. Um ponto P satisfaz a equac¸a˜o

y = Cx2, C ∈ R
se e somente se P equidista da reta horizontal y = − 1

4C
e do ponto F = (0, 1

4C
)

(chamado de foco).

Demonstrac¸a˜o.

Para provarmos isso, basta usarmos o caso e = 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, trocando x
por y e fazendo C = 1

4ρ
.

Mas tambe´m podemos fazer uma conta expl´ıcita, como segue.
Temos para P = (x, Cx2):

PF =

√
(x− 0)2 + (Cx2 − 1

4C
)2 =

=

√
x2 + C2x4 − x

2

2
+

1

42C2
=

3. A PARA´BOLA E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 266

=

√
C2x4 +

x2

2
+

1

42C2
=

=

√
(Cx2 +

1

4C
)2

e a distaˆncia de P ate´ a reta y = − 1
4C

e´ dada pelo tamanho√
(Cx2 +

1

4C
)2.

Reciprocamente, se P = (x, y) satisfaz√
x2 + (y − 1

4C
)2 =

√
(y +

1

4C
)2

enta˜o

x2 + (y − 1
4C

)2 = (y +
1

4C
)2

de onde

x2 + y2 − y
2C

+
1

42C2
= y2 +

y

2C
+

1

42C2
,

de onde:

x2 =
y

C
e y = Cx2.

�

Considere enta˜o a para´bola y = Cx2, com foco F := (0, 1
4C
) e reta diretriz hori-

zontal y = − 1
4C
.

Dado um ponto P = (x, Cx2) qualquer de seu gra´fico, denote p sua a projec¸a˜o
vertical na reta diretriz:

p := (x,− 1
4C

).

Afirmac¸a˜o